Компактификация Бора

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , то Бор компактификация из топологической группы G является Бикомпакт топологической группы Н , которая может быть канонический связана с G . Его значение заключается в сокращении теории равномерных почти периодических функций на G к теории непрерывных функций на H . Концепция названа в честь Харальда Бора, который первым начал изучение почти периодических функций на реальной прямой .

Определения и основные свойства [ править ]

Учитывая топологическую группу G , то Бор компактификация из G является компактным Хаусдорфово топологической группы Бора ( G ) и непрерывный гомоморфизм

б : G → Бор ( G )

который является универсальным по отношению к гомоморфизмам в бикомпактные группы; это означает, что если K - другая компактная топологическая группа Хаусдорфа и

е : G → K

является непрерывным гомоморфизмом, то существует единственный непрерывный гомоморфизм

Бор ( е ): Бор ( G ) → K

такое, что f = Bohr ( f ) ∘ b .

Теорема . Компактификация Бора существует ^{[ цитата ]} и единственна с точностью до изоморфизма.

Обозначим боровскую компактификацию группы G через Bohr ( G ), а каноническое отображение через

${\ displaystyle \ mathbf {b}: G \ rightarrow \ mathbf {Бор} (G).}$

Соответствие G ↦ Bohr ( G ) определяет ковариантный функтор на категории топологических групп и непрерывных гомоморфизмов.

Компактификация Бора тесно связана с конечномерной унитарной теорией представлений топологической группы. Ядро из Ь состоит в точности из тех элементов G , которые не могут быть отделены друг от идентичности G конечномерными унитарных представлений.

Компактификация Бора также сводит многие проблемы теории почти периодических функций на топологических группах к проблемам теории функций на компактных группах.

Ограниченная непрерывная комплекснозначная функция f на топологической группе G является равномерно почти периодической тогда и только тогда, когда множество правых сдвигов _g f, где

${\ displaystyle [{} _ {g} f] (x) = f (g ^ {- 1} \ cdot x)}$

относительно компактно в равномерной топологии , как г меняется через G .

Теорема . Ограниченная непрерывная комплекснозначная функция f на G является равномерно почти периодической тогда и только тогда, когда существует непрерывная функция f ₁ на Bohr ( G ) (которая определена однозначно) такая, что

${\ displaystyle f = f_ {1} \ circ \ mathbf {b}.}$

Максимально почти периодические группы [ править ]

Топологические группы, для которых компактификационное отображение Бора инъективно, называются максимально почти периодическими (или MAP-группами). В случае, если G - локально компактная связная группа, группы MAP полностью охарактеризованы: они являются в точности произведениями компактных групп с векторными группами конечной размерности.

См. Также [ править ]

• Компактное пространство  - Топологические представления о том, что все точки "близки"
• Компактификация (математика)  - вложение топологического пространства в компактное пространство как плотное подмножество.
• Остроконечный набор
• Каменно-чешская компактификация
• Компактификация Уоллмана

Ссылки [ править ]

• "Компактификация Бора" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]