Группа покрытия

В математике , А охватывает группа из топологической группы H является накрытие G из H такого , что G является топологической группой , и накрытие р  : G → H является непрерывным групповым гомоморфизмом . Отображение p называется накрывающим гомоморфизмом . Часто встречающийся случай - группа двойного накрытия , топологическое двойное накрытие, в котором H имеет индекс 2 в G ; примеры включаютспиновые группы , булавочные группы и метаплектические группы .

Грубо объяснено, говоря , что, например метаплектические группами Мр _{2 н} является двойной крышкой из симплектической группы Sp _{2 п} означает , что всегда есть два элемента в метаплектической группе , представляющей один элемент в симплектической группе.

Свойства [ править ]

Пусть G накрытие группы H . Ядро К накрытия гомоморфизм является только слой над идентичности в Н и является дискретным нормальная подгруппа из G . Ядро К является закрытым в G , если и только если G является Хаусдорфово (и тогда и только тогда , когда Н отделимо). Если пойти в другом направлении, если G - любая топологическая группа, а K - дискретная нормальная подгруппа группы G, то фактор-отображение p  : G →G / K - накрывающий гомоморфизм.

Если G является подключен , то K , будучи дискретно нормальная подгруппа, обязательно лежит в центре из G и, следовательно , абелева . В этом случае центр H = G / K задается формулой

${\displaystyle Z(H)\cong Z(G)/K.}$

Как и во все охватывающем пространстве, в фундаментальной группе из G впрыскивает в фундаментальную группу Н . Поскольку фундаментальная группа топологической группы всегда абелева, каждая накрывающая группа является нормальным накрывающим пространством. В частности, если G является линейно связным , то фактор - группа изоморфна K . Группа K действует просто транзитивно на слоях (которые являются просто левыми смежными классами ) правым умножением. Группа G является тогда главным К -расслоению над H .${\displaystyle \pi _{1}(H)/\pi _{1}(G)}$

Если G является покрытие группы H , то группы G и H являются локально изоморфны . Более того, для любых двух связных локально изоморфных групп H ₁ и H ₂ существует топологическая группа G с дискретными нормальными подгруппами K ₁ и K ₂ такая, что H ₁ изоморфна G / K _1, а H ₂ изоморфна G / K. ₂ .

Структура группы на покрывающем пространстве [ править ]

Пусть H топологическая группа , и пусть G накрытие пространство H . Если G и Н оба линейно связным и локально линейно связным , то при любом выборе элементов е * в слое над е ∈ H , существует единственное топологическую структуру группы G , с е * в качестве идентификатора, для которого накрывающее отображение p  : G → H является гомоморфизмом.

Конструкция следующая. Пусть a и b - элементы G, а f и g - пути в G, начинающиеся в e * и заканчивающиеся в a и b соответственно. Определим путь h  : I → H как h ( t ) = p ( f ( t )) p ( g ( t )). По свойству накрывающих пространств подъема путей существует единственный подъем hв G с начальной точкой e *. Продукт ab определяется как конечная точка этого пути. По построению p ( ab ) = p ( a ) p ( b ). Необходимо показать, что это определение не зависит от выбора путей f и g , а также что групповые операции непрерывны.

Кроме того , группа закон о G может быть построен путем поднятия закона группы H × H → H в G , используя подъемное свойство накрытия G × G → H × H .

Несвязный случай интересен и изучается в цитируемых ниже работах Тейлора и Брауна-Мучука. По сути, существует препятствие к существованию универсального покрытия, которое также является топологической группой, такое что накрывающее отображение является морфизмом: это препятствие лежит в третьей группе когомологий группы компонент G с коэффициентами в фундаментальной группе G при личности.

Универсальная группа покрытия [ править ]

Если H линейно связная, локально линейно связная и полулокально односвязная группа, то она имеет универсальную оболочку . По предыдущей конструкции универсальное покрытие можно превратить в топологическую группу с отображением покрытия как непрерывным гомоморфизмом. Эта группа называется универсальной накрывающей группы из Н . Существует также более прямая конструкция, которую мы дадим ниже.

Пусть PH будет путь группа из H . То есть PH - это пространство путей в H, основанное на единице вместе с компактно-открытой топологией . Произведение путей дается поточечным умножением, т.е. ( fg ) ( t ) = f ( t ) g ( t ). Это дает PH структуру топологической группы. Существует естественный групповой гомоморфизм PH → H, который отправляет каждый путь к его конечной точке. Универсальная крышка Hзадается как фактор PH по нормальной подгруппе нуль-гомотопических луп . Проекция PH → H спускается до частного, дающего карту покрытия. Можно показать , что универсальная крышка односвязной и ядро только фундаментальная группа из H . То есть у нас есть короткая точная последовательность

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(H)\to {\tilde {H}}\to H\to 1}$

где является универсальной накрывающей Н . Конкретно, универсальная накрывающая группа H - это пространство гомотопических классов путей в H с поточечным умножением путей. Покрывающая карта отправляет каждый класс пути в его конечную точку.${\displaystyle {\tilde {H}}}$

Решетка покрывающих групп [ править ]

Как видно из вышесказанного, если группа имеет универсальную накрывающую группу (если она линейно связна, локально линейно связна и полулокально односвязна) с дискретным центром, то множество всех топологических групп, покрываемых универсальной накрывающей группы образуют решетку, соответствующую решетке подгрупп центра универсальной накрывающей группы: включение подгрупп соответствует накрытию факторгрупп. Максимальный элемент - это универсальная накрывающая группа, а минимальный элемент - это универсальная накрывающая группа по отношению к ее центру .${\displaystyle {\tilde {H}},}$${\displaystyle {\tilde {H}}/Z({\tilde {H}})}$

Это алгебраически соответствует универсальному совершенному центральному расширению (называемому по аналогии «накрывающей группой») как максимальному элементу, а группе, модифицирующей свой центр, как минимальному элементу.

Это особенно важно для групп Ли, поскольку все эти группы являются (связными) реализациями определенной алгебры Ли. Для многих групп Ли центр - это группа скалярных матриц, и, таким образом, группа, модифицирующая ее центр, является проективизацией группы Ли. Эти покрытия важны при изучении проективных представлений групп Ли, а спиновые представления приводят к открытию спиновых групп : проективное представление группы Ли не обязательно происходит из линейного представления группы, но действительно происходит из линейного представления некоторого накрывающая группа, в частности универсальная накрывающая группа. Конечный аналог привел к покрывающей группе или покрытию Шура, как обсуждалось выше.

Ключевой пример возникает из SL 2 ( R ) , который имеет центр {± 1} и основной Z . Это двойное покрытие бесцентровой проективной специальной линейной группы PSL ₂ ( R ), которое получается факторизацией по центру. По разложению Ивасавы обе группы представляют собой круговые расслоения над комплексной верхней полуплоскостью, а их универсальное покрытие - это вещественное линейное расслоение над полуплоскостью, образующее одну из восьми геометрий Терстона . Поскольку полуплоскость стягиваема, все структуры расслоения тривиальны. Прообраз SL ₂ ( Z${\displaystyle {\mathrm {S} {\widetilde {\mathrm {L} _{2}(}}\mathbf {R} )}}$) в универсальном покрытии изоморфна группе кос на трех нитях.

Группы лжи [ править ]

Все приведенные выше определения и конструкции применимы к частному случаю групп Ли . В частности, каждое покрытие многообразия является многообразием, а покрывающий гомоморфизм становится гладким отображением . Аналогично, для любой дискретной нормальной подгруппы группы Ли фактор-группа является группой Ли, а фактор-отображение - покрывающим гомоморфизмом.

Две группы Ли локально изоморфны тогда и только тогда, когда их алгебры Ли изоморфны. Отсюда следует, что гомоморфизм φ: G → H групп Ли является накрывающим гомоморфизмом тогда и только тогда, когда индуцированное отображение на алгебрах Ли

${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$

является изоморфизмом.

Так как для каждой алгебры Ли существует единственная односвязная группа Ли G с алгеброй Ли , из этого следует , что универсальная накрывающей группа связной группы Ли H есть (единственная) односвязная группа Ли G , имеющая ту же самая алгебра Ли, Н .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Примеры [ править ]

• Универсальная накрывающая группа окружности группы Т является аддитивной группа действительных чисел R с сопроводительным гомоморфизмом , заданным экспоненциальной функцией ехром: R → T . Ядро экспоненциального отображения изоморфна Z .
• Для любого целого n у нас есть покрывающая группа круга T → T, которая переводит z в z ⁿ . Ядром этого гомоморфизма является циклическая группа, состоящая из корней n- й степени из единицы .
• Группа вращений SO (3) имеет в качестве универсального покрытия группу SU (2), которая изоморфна группе версоров в кватернионах. Это двойное покрытие, поскольку ядро ​​имеет порядок 2. (см. Танглоиды ).
• Унитарная группа U ( п ) покрывается компактной группы Т × SU ( п ) с покрывающей гомоморфизм заданной р ( г , ) = гА . Универсальное покрытие - это R × SU ( n ).
• Специальная ортогональная группа SO ( п ) имеет двойное покрытие называется спин группы Spin ( п ). При n ≥ 3 спиновая группа является универсальным покрытием SO ( n ).
• При n ≥ 2 универсальное покрытие специальной линейной группы SL ( n , R ) не является матричной группой (т. Е. Не имеет точных конечномерных представлений ).

Ссылки [ править ]

• Понтрягин, Лев С. (1986). Топологические группы . пер. с русского Арлена Брауна и ПСВ Найду (3-е изд.). Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 2-88124-133-6.
• Тейлор, Р. Л. Накрывающие группы несвязных топологических групп , Proc. Амер. Математика. Soc. 5 (1954) 753–768.
• Браун, Р., Мучук, О. Накрывающие группы несвязных топологических групп снова , Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 115 ~ (1) (1994) 97–110.