Локально связанное пространство

В этом топологическом пространстве V является окрестностью точки p и содержит связное открытое множество (темно-зеленый диск), содержащее p .

В топологии и других отраслей математики , топологическое пространство X является локально связным , если каждая точка допускает окрестность базис , состоящий исключительно из открытых , соединенных множеств.

Фон [ править ]

На протяжении всей истории топологии связность и компактность были двумя наиболее широко изученными топологическими свойствами. Действительно, изучение этих свойств даже среди подмножеств евклидова пространства и признание их независимости от конкретной формы евклидовой метрики сыграли большую роль в прояснении понятия топологического свойства и, следовательно, топологического пространства. Однако, в то время как структура компактных подмножеств евклидова пространства была понята довольно рано с помощью теоремы Гейне – Бореля , связные подмножества (для n${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$> 1) оказалось намного сложнее. Действительно, в то время как любое компактное хаусдорфово пространство является локально компактным , связным пространство и даже связное подмножество евклидовой плоскости-потребности не может быть локально подключен (см . Ниже)

Это привело к обширным исследованиям в первой половине двадцатого века, в ходе которых топологи изучали последствия между все более тонкими и сложными вариациями понятия локально связанного пространства. В качестве примера понятие слабой локальной связности в точке и его связь с локальной связностью будут рассмотрены позже в статье.

Во второй половине двадцатого века исследовательские тенденции сместились в сторону более интенсивного изучения пространств, таких как многообразия , которые локально хорошо изучены (будучи локально гомеоморфными евклидову пространству), но имеют сложное глобальное поведение. Это означает, что, хотя основная точечная топология многообразий относительно проста (поскольку многообразия существенно метризуемы в соответствии с большинством определений концепции), их алгебраическая топология намного сложнее. С этой современной точки зрения более сильное свойство локальной связности путей оказывается более важным: например, для того, чтобы пространство допускало универсальное покрытие.он должен быть подключен и подключен локально. Также будет обсуждаться локальная связность путей.

Пространство локально связно тогда и только тогда, когда для каждого открытого множества U компоненты связности U (в топологии подпространства ) открыты. Отсюда, например, следует, что непрерывная функция из локально связного пространства в полностью несвязное пространство должна быть локально постоянной. На самом деле открытость компонентов настолько естественна, что нужно обязательно помнить, что в целом это неверно: например, пространство Кантора полностью разъединено, но не дискретно .

Определения и первые примеры [ править ]

Пусть X топологическое пространство, и пусть й точка из X .

Скажем , что Х является локально связным при х , если для каждого открытого множества V , содержащего х существует соединенное, открытое множество U с . Пространство X называется локально связным , если он подключен локально при х для всех х в X . ^[1] Обратите внимание, что локальная связность и связность не связаны друг с другом; пространство может обладать одним или обоими этими свойствами, либо ни одним из них.${\ Displaystyle х \ в U \ substeq V}$

В отличие от этого , мы говорим , что Х является слабо локально соединен х (или подключен им - Kleinen по х ) , если для каждого открытого множества V , содержащего х существует связное подмножество N из V таким образом, что х лежит в интерьере N . Эквивалентное определение: каждое открытое множество V , содержащее х содержит открытую окрестность U от х таких , что любые две точки в U лежат в некоторой связной подмножество V . ^[2] Пространство Xназывается слабо локально связным , если оно слабо локально связным при х для всех х в X .

Другими словами, единственное различие между этими двумя определениями состоит в том, что для локальной связности в x нам требуется база окрестностей открытых связных множеств, содержащих x , тогда как для слабой локальной связности в x нам требуется только база окрестностей связных множеств, содержащих x .

Очевидно, пространство, локально связное в точке x , слабо локально связно в точке x . Обратное неверно (контрпример, пространство метлы , приводится ниже). С другой стороны, столь же ясно, что локально связное пространство слабо локально связно, и здесь оказывается, что верно и обратное: пространство, которое слабо локально связно во всех своих точках, обязательно локально связно во всех своих точках. точки. ^[3] Доказательство приводится ниже.

Мы говорим, что X является локально связным путем в точке x, если для каждого открытого множества V, содержащего x, существует путь, связанный , открытое множество U с . Пространство Х называется локально линейно связным , если оно локально связно при х для всех х в X .${\ Displaystyle х \ в U \ substeq V}$

Поскольку пространства с линейной связью связаны, локально связанные пространства связаны локально. На этот раз обратное неверно (см. Пример 6 ниже).

Первые примеры [ править ]

1. Для любого натурального числа n евклидово пространство локально линейно связно, а значит, локально связно; это тоже связано.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$
2. В более общем смысле, каждое локально выпуклое топологическое векторное пространство локально связно, поскольку каждая точка имеет локальную базу из выпуклых (и, следовательно, связных) окрестностей.
3. Подпространство реальной линии локально связано, но не связано. Поскольку интервалы не открыты , они открыты в .${\ Displaystyle S = [0,1] \ чашка [2,3]}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$${\ Displaystyle [0,1], [2,3]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle S}$
4. В синусоида тополога в это подпространство евклидовой плоскости , что связано, но не локально связно. ^[4]
5. Пространство из рациональных чисел , снабженных стандартной евклидовой топологией, не является ни связанно , ни локально связным.${\displaystyle \mathbb {Q} }$
6. Пространство гребенки соединено путями, но не локально.
7. Счетно бесконечное множество, наделенное конфинитной топологией , локально связно (действительно, гиперсвязно ), но не локально линейно связно. ^[5]

Дальнейшие примеры приведены ниже в статье.

Свойства [ править ]

1. Локальная связность является, по определению, локального свойства топологических пространств, т.е. топологическим свойством P такой , что пространство X обладает свойством P тогда и только тогда , когда каждая точка х в X допускает окрестность базы множеств, обладающих свойством P . Соответственно, все «метасвойства», принадлежащие местной собственности, сохраняются для локальной связности. Особенно:
2. Пространство локально связно тогда и только тогда, когда оно допускает базу связных подмножеств.
3. Объединение непересекающихся семейства пространств локально связно тогда и только тогда , когда каждый подключен локально. В частности, поскольку одна точка заведомо локально связна, отсюда следует, что любое дискретное пространство локально связно. С другой стороны, дискретное пространство полностью отключено , поэтому подключается только в том случае, если в нем есть не более одной точки.${\displaystyle \coprod _{i}X_{i}}$${\displaystyle \{X_{i}\}}$${\displaystyle X_{i}}$
4. И наоборот, полностью несвязное пространство локально связно тогда и только тогда, когда оно дискретно. Это может быть использовано для объяснения упомянутого выше факта, что рациональные числа не связаны локально.

Компоненты и компоненты пути [ править ]

Следующий результат почти сразу следует из определений, но будет весьма полезен:

Лемма: Пусть X есть пространство, и семейство подмножеств X . Предположим, что это не пусто. Тогда, если каждый из них связан (соответственно, путь связан), то объединение связано (соответственно, путь связан). ^[6]${\displaystyle \{Y_{i}\}}$${\displaystyle \bigcap _{i}Y_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle \bigcup _{i}Y_{i}}$

Теперь рассмотрим два отношения на топологическом пространстве X : для , напишите:${\displaystyle x,y\in X}$

${\displaystyle x\equiv _{c}y}$если существует связное подмножество X, содержащее как x, так и y ; и

${\displaystyle x\equiv _{pc}y}$если существует линейно связное подмножество X, содержащее как x, так и y .

Очевидно, оба отношения рефлексивны и симметричны. Кроме того, если х и у содержатся в связной (соответственно, связно) подмножество и у и г соединены в связной (соответственно, путь соединенного) подмножества B , то из леммы следует , что является связной (соответственно, путь подключен ) подмножество, содержащее x , y и z . Таким образом, каждое отношение является отношением эквивалентности и определяет разбиение X на классы эквивалентности . Рассмотрим эти две перегородки по очереди.${\displaystyle A\cup B}$

Для й в X , множество всех точек у таких , что называется компонента связности от й . ^[7] Из леммы следует, что это единственное максимальное связное подмножество X, содержащее x . ^[8] Так как замыкание также является связным подмножеством, содержащим x , ^[9] следует, что замкнуто. ^[10]${\displaystyle C_{x}}$${\displaystyle y\equiv _{c}x}$${\displaystyle C_{x}}$${\displaystyle C_{x}}$${\displaystyle C_{x}}$

Если X имеет только конечное число компонент связности, то каждая компонента является дополнением к конечному объединению замкнутых множеств и, следовательно, открыта. Вообще говоря, компоненты связности не обязательно должны быть открытыми, поскольку, например, существуют полностью несвязные пространства (т. Е. Для всех точек x ), которые не являются дискретными, как пространство Кантора. Однако связанные компоненты локально связного пространства также открыты и, следовательно, являются открытыми множествами . ^[11] Отсюда следует, что локально связное пространство X является топологическим несвязным объединением его различных компонент связности. Наоборот, если для любого открытого подмножества U в X компоненты связности U${\displaystyle C_{x}=\{x\}}$${\displaystyle \coprod C_{x}}$открыты, то X допускает базу связных множеств и, следовательно, локально связно. ^[12]

Аналогично х в X , множество всех точек у таких , что называется компонент пути от й . ^[13] Как и выше, это также объединение всех линейно связанных подмножеств X , содержащих x , так что по лемме само является линейно связным. Поскольку связно наборы связаны, мы имеем для всех х в X .${\displaystyle PC_{x}}$${\displaystyle y\equiv _{pc}x}$${\displaystyle PC_{x}}$${\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}}$

Однако замыкание линейно связного множества не обязательно должно быть линейно связным: например, синусоидальная кривая тополога - это замыкание открытого подмножества U, состоящего из всех точек (x, y) с x> 0 , и U , гомеоморфного объекту. интервал на реальной прямой, безусловно, связан по пути. Более того, компоненты пути синусоидальной кривой C тополога - это U , который открыт, но не замкнут, и который замкнут, но не открыт.${\displaystyle C\setminus U}$

Пространство локально линейно связно тогда и только тогда, когда для всех открытых подмножеств U компоненты пути в U открыты. ^[13] Следовательно, компоненты путей в пространстве с локальной линейной связностью задают разбиение X на попарно непересекающиеся открытые множества. Отсюда следует, что открытое связное подпространство локально линейно связного пространства обязательно линейно связно. ^[14] Более того, если пространство локально линейно связно, то оно также локально связно, так что для всех x в X , является связным и открытым, следовательно, связным путем, т . Е .. То есть для пространства, связанного локально путями, компоненты и компоненты пути совпадают.${\displaystyle C_{x}}$${\displaystyle C_{x}=PC_{x}}$

Примеры [ править ]

1. Множество I × I (где I = [0,1]) в топологии порядка словаря имеет ровно один компонент (потому что он связан), но имеет несчетное количество компонентов пути. Действительно, любое множество вида { } × I представляет собой компонент пути для каждого а , принадлежащего к I .
2. Пусть f - непрерывное отображение из R в R _ℓ ( R в топологии нижнего предела ). Поскольку R связно и образ связного пространства при непрерывном отображении должен быть связным, образ R при отображении f должен быть связным. Следовательно, образ R при f должен быть подмножеством компонента R _ℓ . Поскольку этот образ непуст, единственные непрерывные отображения из R в R _ℓ, - постоянные карты. Фактически, любая непрерывная карта из связного пространства в полностью отключенное пространство должна быть постоянной.

Квазикомпоненты [ править ]

Пусть X - топологическое пространство. Определим третье отношение на X : если не существует никакого разделения X в открытые множества A и B такие , что х является элементом А , и у представляет собой элемент B . Это отношение эквивалентности на X , и класс эквивалентности , содержащий е называется квазикомпонентом из х . ^[8]${\displaystyle x\equiv _{qc}y}$${\displaystyle QC_{x}}$

${\displaystyle QC_{x}}$также можно охарактеризовать как пересечение всех открыто-замкнутых подмножеств X , содержащих x . ^[8] Соответственно закрыто; в общем, он не обязательно должен быть открытым.${\displaystyle QC_{x}}$

Очевидно , для всех х в X . ^[8] В целом, мы имеем следующие ограничения между компонентами пути, компонентами и квазикомпонентами в точке x :${\displaystyle C_{x}\subseteq QC_{x}}$

${\displaystyle PC_{x}\subseteq C_{x}\subseteq QC_{x}.}$

Если X локально связно, то, как и выше, является замкнутым множеством, содержащим x , так и так . Поскольку из локальной линейной связности следует локальная связность, отсюда следует, что во всех точках x пространства локально линейной связности мы имеем ${\displaystyle C_{x}}$${\displaystyle QC_{x}\subseteq C_{x}}$${\displaystyle QC_{x}=C_{x}}$

${\displaystyle PC_{x}=C_{x}=QC_{x}.}$

Другой класс пространств, для которых квазикомпоненты согласуются с компонентами, - это класс компактных хаусдорфовых пространств.

Примеры [ править ]

1. Примером пространства, квазикомпоненты которого не равны его компонентам, является последовательность с двойной предельной точкой. Это пространство полностью разъединено, но обе предельные точки лежат в одной и той же квазикомпоненте, потому что любое замкнутое множество, содержащее одну из них, должно содержать хвост последовательности, а значит, и другую точку.
2. Пространство локально компактно и хаусдорфово, но множества и являются двумя разными компонентами, лежащими в одной квазикомпоненте.${\displaystyle (\{0\}\cup \{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {Z} ^{+}\})\times [-1,1]\setminus \{(0,0)\}}$${\displaystyle \{0\}\times [-1,0)}$${\displaystyle \{0\}\times (0,1]}$
3. Пространство Аренса – Форта не является локально связным, но тем не менее компоненты и квазикомпоненты совпадают: действительно, для всех точек x . ^[4]${\displaystyle QC_{x}=C_{x}=\{x\}}$

Достаточные условия [ править ]

Некое бесконечное объединение убывающих пространств метел является примером пространства, которое слабо локально связано в определенной точке, но не локально связано в этой точке. ^[15]

Первое счетное пространство Хаусдорфовы локально линейно связное тогда и только тогда , равно окончательной топология на индуцированном множество всех непрерывных путей${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle C\left([0,1];X\right)}$${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau ).}$

Заметки [ править ]

См. Также [ править ]

• Расчесывать пространство
• Подключенное пространство
• Отношение эквивалентности
• Линия Sorgenfrey
• Синусоидальная кривая тополога
• Полностью отключенное пространство
• Локально односвязное пространство
• Полу-локально односвязный

Ссылки [ править ]

• Джон Л. Келли ; Общая топология ; ISBN  0-387-90125-6
• Манкрес, Джеймс (1999), Топология (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN 0-13-181629-2.
• Стивен Уиллард ; Общая топология ; Dover Publications, 2004 г.
• Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту  1382863

Дальнейшее чтение [ править ]

• Коппин, Калифорния (1972), «Непрерывные функции из связанного локально связанного пространства в связанное пространство с точкой рассеяния», Труды Американского математического общества , Американское математическое общество, 32 (2): 625–626, DOI : 10.1090 / S0002-9939-1972-0296913-7 , JSTOR  2037874. Для хаусдорфовых пространств показано, что любая непрерывная функция из связного локально связного пространства в связное пространство с точкой дисперсии постоянна
• Дэвис, HS (1968), «Заметка о связности Im Kleinen», Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 19 (5): 1237–1241, DOI : 10.1090 / s0002-9939-1968-0254814-3 , JSTOR  2036067.