В математике , Cantor пространство , названное в честь Георга Кантор , является топологической абстракцией классического множества Кантора : а топологическое пространство является Кантор пространством , если оно гомеоморфно к множеству Кантора . В теории множеств топологическое пространство 2 ω называется канторовым пространством.
Примеры [ править ]
Само множество Кантора является канторовым пространством. Но канонический пример пространства Cantor является счетным топологическим произведением из дискретного 2-точечного пространства {0, 1}. Обычно это записывается как or 2 ω (где 2 обозначает 2-элементное множество {0,1} с дискретной топологией). Точка в 2 ω представляет собой бесконечную двоичную последовательность, то есть последовательность, которая принимает только значения 0 или 1. Имея такую последовательность a 0 , a 1 , a 2 , ..., можно отобразить ее на действительное число.
Это отображение дает гомеоморфизм из 2 ω на множество Кантора , демонстрируя, что 2 ω действительно является канторовым пространством.
Пространства Кантора в реальном анализе часто встречаются . Например, они существуют как подпространства в каждом совершенном , полном метрическом пространстве . (Чтобы убедиться в этом, заметьте, что в таком пространстве любое непустое совершенное множество содержит два непересекающихся непустых совершенных подмножества сколь угодно малого диаметра, и поэтому можно имитировать конструкцию обычного канторовского множества .) Кроме того, каждое несчетное, сепарабельное , вполне метризуемое пространство содержит пространства Кантора как подпространства. Это включает в себя большинство обычных типов пространств в реальном анализе.
Характеристика [ править ]
Топологическая характеристика пространств Кантора дается теоремой Брауэра : [1]
Топологическое свойство наличия базы, состоящей из открыто-замкнутых множеств, иногда называют «нулевой размерностью». Теорема Брауэра может быть переформулирована следующим образом:
Эта теорема также эквивалентна (через теорему Стоуна о представлении булевых алгебр ) тому факту, что любые две счетные безатомные булевы алгебры изоморфны.
Свойства [ править ]
Как и следовало ожидать из теоремы Брауэра, пространства Кантора появляются в нескольких формах. Но многие свойства пространств Кантора можно установить с помощью 2 ω , потому что его построение как произведение делает его поддающимся анализу.
Пространства Кантора обладают следующими свойствами:
- Мощность любого Cantor пространства , то есть мощность континуума .
- Произведение двух (или даже любого конечного или счетного числа) канторовских пространств является канторовым пространством. Этот факт, наряду с функцией Кантора , можно использовать для построения кривых, заполняющих пространство .
- (Непустое) хаусдорфово топологическое пространство компактно метризуемо тогда и только тогда, когда оно является непрерывным образом канторова пространства. [2] [3] [4]
Пусть C ( X ) обозначим пространство всех вещественных, ограниченных непрерывных функций на топологическом пространстве X . Пусть K обозначает компактное метрическое пространство, а Δ обозначает канторово множество. Тогда множество Кантора обладает следующим свойством:
- C ( K ) изометрично замкнутому подпространству в C (Δ). [5]
В общем, эта изометрия не уникальна и, следовательно, не является собственно универсальным свойством в категориальном смысле.
- Группа всех гомеоморфизмов пространства Кантора проста . [6]
См. Также [ править ]
- Космос (математика)
- Набор кантора
- Куб Кантора
Ссылки [ править ]
- ^ Брауэр, LEJ (1910), "О структуре совершенных множеств точек" (PDF) , Proc. Koninklijke Akademie van Wetenschappen , 12 : 785–794 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- ↑ NL Carothers, Краткий курс теории банахового пространства , Тексты студентов 64 Лондонского математического общества, (2005) Cambridge University Press. См. Главу 12
- ↑ Willard, op. Cit. , См. Раздел 30.7
- ^ https://imgur.com/a/UDgthQm
- ^ Каротерс, цит.
- ^ Р. Д. Андерсон, Алгебраическая простота некоторых групп гомеоморфизмов , Американский журнал математики 80 (1958), стр. 955-963.
- Кечрис, А. (1995). Классическая описательная теория множеств ( Тексты для выпускников по математике, 156-е изд.). Springer. ISBN 0-387-94374-9.