Кривая заполнения пространства

Три итерации построения кривой Пеано , пределом которой является кривая, заполняющая пространство.

В математическом анализе , А пространство заполнения кривой является кривым , чей диапазон содержит весь 2-мерный единичный квадрат (или более обычно представляет собой п - мерный блок гиперкуб ). Поскольку Джузеппе Пеано (1858–1932) был первым, кто открыл такую кривую , кривые , заполняющие пространство в 2-мерной плоскости , иногда называют кривыми Пеано , но эта фраза также относится к кривой Пеано , конкретному примеру кривой, заполняющей пространство. найден Пеано.

Определение [ править ]

Интуитивно, кривую в двух или трех (или более) измерениях можно рассматривать как путь непрерывно движущейся точки. Чтобы устранить присущую этому понятию расплывчатость, Джордан в 1887 г. ввел следующее строгое определение, которое с тех пор было принято как точное описание понятия кривой :

В наиболее общем виде диапазон такой функции может лежать в произвольном топологическом пространстве , но в наиболее часто изучаемых случаях диапазон будет лежать в евклидовом пространстве, таком как 2-мерная плоскость ( плоская кривая ) или 3-х мерное пространство ( пространственная кривая ).

Иногда кривая отождествляется с изображением функции (набором всех возможных значений функции), а не с самой функцией. Также можно определить кривые без конечных точек как непрерывную функцию на реальной прямой (или на открытом единичном интервале  (0, 1) ).

История [ править ]

В 1890 году Пеано открыл непрерывную кривую, которая теперь называется кривой Пеано , которая проходит через каждую точку единичного квадрата ( Пеано (1890) ). Его цель состояла в том, чтобы построить непрерывное отображение из единичного интервала на единицу площади . Пеано был мотивирован ранее контринтуитивным результатом Георга Кантора о том, что бесконечное число точек в единичном интервале имеет ту же мощность, что и бесконечное число точек в любом конечномерном многообразии., например единичный квадрат. Проблема, которую решил Пеано, заключалась в том, может ли такое отображение быть непрерывным; т.е. кривая, заполняющая пространство. Решение Пеано не устанавливает непрерывного взаимно однозначного соответствия между единичным интервалом и единичным квадратом, и действительно, такого соответствия не существует (см. «Свойства» ниже).

Было принято связывать расплывчатые понятия тонкости и одномерности с кривыми; все обычно встречающиеся кривые были кусочно дифференцируемыми (т. е. имели кусочно-непрерывные производные), и такие кривые не могли заполнить весь единичный квадрат. Таким образом, кривая заполнения пространства Пеано оказалась в высшей степени нелогичной.

Из примера Пеано было легко вывести непрерывные кривые, чьи диапазоны содержат n- мерный гиперкуб (для любого положительного целого n ). Также было легко распространить пример Пеано на непрерывные кривые без концов, которые заполняли все n- мерное евклидово пространство (где n равно 2, 3 или любому другому положительному целому числу).

Наиболее известные кривые, заполняющие пространство, строятся итеративно как предел последовательности кусочно-линейных непрерывных кривых, каждая из которых более точно приближается к пределу заполнения пространства.

Новаторская статья Пеано не содержала иллюстраций его конструкции, которая определяется в терминах троичных разложений и оператора зеркального отображения . Но графическая конструкция была ему совершенно ясна - он сделал орнаментальную плитку с изображением кривой в своем доме в Турине. Статья Пеано также заканчивается замечанием, что эту технику, очевидно, можно распространить на другие нечетные основы помимо базы 3. Его выбор - избегать любых обращений к графической визуализации.был, несомненно, мотивирован желанием получить хорошо обоснованное и строгое доказательство, не связанное с изображениями. В то время (начало основания общей топологии) графические аргументы все еще включались в доказательства, но становились препятствием для понимания часто противоречивых результатов.

Годом позже Давид Гильберт опубликовал в том же журнале вариант конструкции Пеано ( Hilbert 1891 ). Статья Гильберта была первой, которая включала картинку, помогающую визуализировать технику построения, по существу такую ​​же, как показано здесь. Однако аналитическая форма кривой Гильберта сложнее, чем у Пеано.

Схема построения кривой заполнения пространства [ править ]

Обозначим через пространство Кантора .${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {2} ^{\mathbb {N} }}$

Начнем с непрерывной функции из пространства Кантора на всем единичном интервале . (Ограничение функции Cantor к множеству Кантора является примером такой функции.) Из него, мы получаем непрерывную функцию от топологического произведения на весь единичный квадрат , установив${\displaystyle \scriptstyle h}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \scriptstyle [0,\,1]}$${\displaystyle \scriptstyle H}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}}$${\displaystyle \scriptstyle [0,\,1]\;\times \;[0,\,1]}$

${\displaystyle H(x,y)=(h(x),h(y)).\,}$

Так как множество Кантора гомеоморфно произведению , существует непрерывная биекция из множества Кантора на . Композиция из и является непрерывной функцией отображения канторовское устанавливается на всю единицу площади. (В качестве альтернативы мы могли бы использовать теорему о том, что каждое компактное метрическое пространство является непрерывным образом множества Кантора, чтобы получить функцию .)${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \scriptstyle g}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}\;\times \;{\mathcal {C}}}$${\displaystyle \scriptstyle f}$${\displaystyle \scriptstyle H}$${\displaystyle \scriptstyle g}$${\displaystyle \scriptstyle f}$

Наконец, можно продолжить до непрерывной функции , областью определения которой является весь единичный интервал . Это можно сделать либо с помощью теоремы Титце о расширении для каждой из компонент множества , либо просто расширив «линейно» (то есть на каждом удаленном открытом интервале при построении множества Кантора мы определяем часть расширения на, чтобы быть отрезком линии внутри единичного квадрата, соединяющим значения и ).${\displaystyle \scriptstyle f}$${\displaystyle \scriptstyle F}$${\displaystyle \scriptstyle [0,\,1]}$${\displaystyle \scriptstyle f}$${\displaystyle \scriptstyle f}$${\displaystyle \scriptstyle (a,\,b)}$${\displaystyle \scriptstyle F}$${\displaystyle \scriptstyle (a,\,b)}$${\displaystyle \scriptstyle f(a)}$${\displaystyle \scriptstyle f(b)}$

Свойства [ править ]

Если кривая не является инъективной, то можно найти две пересекающиеся подкривые кривой, каждая из которых получена путем рассмотрения изображений двух непересекающихся сегментов из области кривой (единичный отрезок прямой). Две подкривые пересекаются, если пересечение двух изображений не пусто . Может возникнуть соблазн подумать, что значение пересекающихся кривых состоит в том, что они обязательно пересекаются друг с другом, как точка пересечения двух непараллельных прямых, от одной стороны к другой. Однако две кривые (или две подкривые одной кривой) могут касаться друг друга без пересечения, как, например, касательная к окружности прямая.

Несамопересекающаяся непрерывная кривая не может заполнить единичный квадрат, потому что это сделает кривую гомеоморфизмом единичного интервала на единичный квадрат (любая непрерывная биекция из компактного пространства на хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом). Но у единичного квадрата нет точки разреза , и поэтому он не может быть гомеоморфен единичному интервалу, в котором все точки, кроме конечных, являются точками разреза. Существуют несамопересекающиеся кривые ненулевой площади, кривые Осгуда , но они не заполняют пространство.

Для классических кривых Пеано и кривых, заполняющих гильбертово пространство, где две подкривые пересекаются (в техническом смысле), существует самоконтакт без самопересечения. Кривая, заполняющая пространство, может быть (везде) самопересекающейся, если ее аппроксимационные кривые являются самопересекающимися. Аппроксимации кривой заполнения пространства можно избежать, как показано на рисунках выше. В трехмерном пространстве аппроксимирующие кривые с самоизбеганием могут даже содержать узлы . Кривые аппроксимации остаются в пределах ограниченной части n -мерного пространства, но их длина неограниченно увеличивается.

Кривые, заполняющие пространство, являются частным случаем фрактальных кривых . Никакой дифференцируемой кривой, заполняющей пространство, существовать не может. Грубо говоря, дифференцируемость ограничивает скорость поворота кривой.

Теорема Хана – Мазуркевича [ править ]

Теорема Хана - Мазуркевича - это следующая характеризация пространств, которые являются непрерывным образом кривых:

Непустой Хаусдорфова топологическое пространство является непрерывным образом единичного интервала , если и только если оно представляет собой компактное, подключено , локально связное , второй счетного пространство .

Пространства, являющиеся непрерывным образом единичного интервала, иногда называют пространствами Пеано .

Во многих формулировках теоремы Хана – Мазуркевича счетность второй заменяется метризуемой . Эти две формулировки эквивалентны. В одном направлении компактное хаусдорфово пространство является нормальным пространством, и по теореме Урысона о метризации второго счетного пространства следует метризуемость. Наоборот, компактное метрическое пространство счетно до секунды.

Кляйнианские группы [ править ]

В теории дважды вырожденных клейновых групп имеется много естественных примеров кривых, заполняющих пространство или, скорее, сферы . Например, Пушка & Тёрстон (2007) показала , что круг на бесконечности универсальной крышки волокна из более отображений тора в виде карты псевдоаносовской представляет собой сферу заполнения кривой. (Здесь сфера - это бесконечно удаленная сфера гиперболического 3-пространства .)

Интеграция [ править ]

Винер указал в «Интеграле Фурье и некоторых его приложениях», что кривые заполнения пространства могут использоваться для уменьшения интегрирования Лебега в высших измерениях до интегрирования Лебега в одном измерении.

См. Также [ править ]

• Кривая дракона
• Кривая госпера
• Кривая Гильберта
• Кривая Коха
• Кривая Мура
• Многоугольник Мюррея
• Кривая Серпинского
• Дерево, заполняющее пространство
• Пространственный индекс
• R-дерево Гильберта
• B x -дерево
• Z-порядок (кривая) (порядок Мортона)
• Список фракталов по размерности Хаусдорфа

Ссылки [ править ]

• Кэннон, Джеймс У .; Терстон, Уильям П. (2007) [1982], "Групповые инвариантные кривые Пеано", Геометрия и топология , 11 (3): 1315–1355, DOI : 10.2140 / gt.2007.11.1315 , ISSN  1465-3060 , MR  2326947
• Гильберт, D. (1891), "Ueber умереть stetige Abbildung етег Line Ауф Эйн Flächenstück" , Mathematische Анналах (на немецком языке ), 38 (3): 459-460, DOI : 10.1007 / BF01199431 , S2CID  123643081
• Мандельброт, BB (1982), "Глава 7: Использование кривых монстров Пеано", Фрактальная геометрия природы , WH Freeman.
• Маккенна, Дуглас М. (1994), "SquaRecurves, E-Tours, Eddies, and Frenzies: Basic Families of Peano Curves on the Square Grid", в Guy, Richard K .; Вудро, Роберт Э. (ред.), Светлая сторона математики: Материалы конференции Мемориала Юджина Стренса по развлекательной математике и ее истории , Математическая ассоциация Америки , стр.  49–73 , ISBN 978-0-88385-516-4.
• Пеано, Г. (1890), «Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane» , Mathematische Annalen (на французском языке), 36 (1): 157–160, doi : 10.1007 / BF01199438 , S2CID  179177780.
• Саган, Ханс (1994), кривые заполнения пространства , Universitext, Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0871-6 , ISBN 0-387-94265-3, MR  1299533.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с кривыми заполнения пространства .

• Многомерные кривые заполнения пространства
• Доказательство существования биекции при разрубании узла

Аплеты Java:

• Кривые заполнения плоскости Пеано в разорванном виде
• Плоскость Начинка Кривые Гильберта и Мура в вырез на-узел
• Все кривые наполнения плоскости Peano в незамысловатом виде