В геометрии , то кривая Пеано является первым примером заполняющей пространство кривой , чтобы быть обнаруженным, по Пеано в 1890. [1] Кривая Пеано является сюръективны , непрерывная функция от единичного интервала на на единицу площади , однако это не является инъективный . Пеано был мотивирован более ранним результатом Георга Кантора о том, что эти два множества имеют одинаковую мощность . Из-за этого примера некоторые авторы используют фразу «кривая Пеано» для более общего обозначения любой кривой, заполняющей пространство. [2]
Строительство [ править ]
Кривая Пеано может быть построена с помощью последовательности шагов, где i- й шаг строит набор S i квадратов и последовательность P i центров квадратов из набора и последовательности, построенных на предыдущем шаге. В базовом случае S 0 состоит из единственного единичного квадрата, а P 0 - это одноэлементная последовательность, состоящая из его центральной точки.
На шаге i каждый квадрат s из S i - 1 делится на девять меньших равных квадратов, а его центральная точка c заменяется непрерывной подпоследовательностью центров этих девяти меньших квадратов. Эта подпоследовательность формируется путем группирования девяти меньших квадратов в три столбца, упорядочивания центров в каждом столбце, а затем упорядочивания столбцов от одной стороны квадрата к другой таким образом, чтобы расстояние между каждой последовательной парой точек в подпоследовательности равна длине сторон маленьких квадратов. Возможны четыре таких порядка:
- Три левых центра снизу вверх, три средних центра сверху вниз и три правых центра снизу вверх
- Три правых центра снизу вверх, три средних центра сверху вниз и три левых центра снизу вверх
- Три левых центра сверху вниз, три средних центра снизу вверх и три правых центра сверху вниз
- Три правых центра сверху вниз, три средних центра снизу вверх и три левых центра сверху вниз
Среди этих четырех порядков один для s выбирается таким образом, чтобы расстояние между первой точкой порядка и его предшественником в P i также равнялось длине стороны маленьких квадратов. Если c была первой точкой в его порядке, то первый из этих четырех порядков выбирается для девяти центров, которые заменяют c . [3]
Сама кривая Пеано является пределом кривых через последовательности квадратных центров, когда i стремится к бесконечности.
Варианты [ править ]
В определении кривой Пеано можно выполнить некоторые или все шаги, сделав примыкающими центры каждой строки из трех квадратов, а не центры каждого столбца квадратов. Этот выбор приводит к множеству различных вариантов кривой Пеано. [3]
Вариант этой кривой с "множественным основанием" с различным числом подразделений в разных направлениях может использоваться для заполнения прямоугольников произвольной формы. [4]
Кривой Гильберта является более простым вариантом той же самой идеи, на основе разделения квадратов на четыре равные меньшие квадраты вместо на девяти равных меньшие квадраты.
Ссылки [ править ]
- ^ Пеано, Г. (1890), «Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane», Mathematische Annalen , 36 (1): 157–160, DOI : 10.1007 / BF01199438.
- ^ Гугенхаймер, Генрих Вальтер (1963), Дифференциальная геометрия , Courier Dover Publications, стр. 3, ISBN 9780486157207.
- ^ a b Бадер, Майкл (2013), «2.4 Кривая Пеано», Space-Filling Curves , Texts in Computational Science and Engineering, 9 , Springer, pp. 25–27, doi : 10.1007 / 978-3-642-31046- 1_2 , ISBN 9783642310461.
- ^ Коул, AJ (сентябрь 1991), «Полутоновое изображение без дизеринга или улучшения краев», The Visual Computer , 7 (5): 235–238, doi : 10.1007 / BF01905689
