Ковер Серпинского является плоской фрактальной впервые описал Серпинский в 1916 году Ковер является обобщением множества Кантора в двух измерениях; другой - канторовская пыль .
Техника разделения фигуры на меньшие копии самой себя , удаления одной или нескольких копий и рекурсивного продолжения может быть распространена на другие фигуры. Например, разделение равностороннего треугольника на четыре равносторонних треугольника, удаление среднего треугольника и повторение приводит к треугольнику Серпинского . В трех измерениях похожая конструкция на основе кубиков известна как губка Менгера .
Строительство [ править ]
Строительство ковра Серпинского начинается с квадрата . Квадрат разрезается на 9 конгруэнтных подквадратов в сетке 3 на 3, а центральный подквадрат удаляется. Затем та же процедура применяется рекурсивно к оставшимся 8 подквадратам до бесконечности . Это может быть реализовано как набор точек в единичном квадрате, координаты которого, записанные в базе три, не имеют цифры «1» в одной и той же позиции, используя представление бесконечно малых чисел . [1]
Процесс рекурсивного удаления квадратов является примером правила конечного подразделения .
Свойства [ править ]
Площадь ковра равна нулю (в стандартной мере Лебега ).
- Доказательство. Обозначим a i область итерации i . Тогда a i + 1 =8/9а я . Итак, a i = (8/9) i , который стремится к 0 при стремлении i к бесконечности.
Интерьер ковра пуст.
- Доказательство. Предположим от противного, что внутри ковра есть точка P. Тогда есть квадрат с центром в точке P, который полностью заключен в ковер. Этот квадрат содержит меньший квадрат, координаты которого кратны1/3 кдля некоторых k . Но этот квадрат должен быть продырявлен на итерации k , поэтому он не может содержаться в ковре - противоречие.
Хаусдорфова ковражурнал 8/журнал 3≈ 1,8928 . [2]
Серпинский продемонстрировал, что его ковер представляет собой универсальную плоскую кривую. [3] То есть ковер Серпинского - это компактное подмножество плоскости с размерностью 1 покрытия Лебега , и каждое подмножество плоскости с этими свойствами гомеоморфно некоторому подмножеству ковра Серпинского.
Эта «универсальность» ковра Серпинского не является истинно универсальным свойством в смысле теории категорий: она не характеризует это пространство однозначно с точностью до гомеоморфизма. Например, непересекающееся соединение ковра Серпинского и круга также является универсальной плоской кривой. Однако в 1958 году Гордон Уайберн [4] однозначно охарактеризовал ковер Серпинского следующим образом: любая кривая, которая локально связна и не имеет «локальных точек разреза», гомеоморфна ковру Серпинского. Здесь местный разрез точка является точкой р , для которых некоторая связная окрестность U от р обладает свойством , что U - { р }не связано. Так, например, любая точка окружности является локальной точкой разреза.
В той же статье Уайберн дал другую характеристику ковру Серпинского. Напомним, что континуум - это непустое связное компактное метрическое пространство. Предположим, что X - континуум, вложенный в плоскость. Предположим, что его дополнение на плоскости имеет счетное число компонент связности C 1 , C 2 , C 3 , ... и предположим:
- диаметр C i стремится к нулю при i → ∞ ;
- граница C i и граница C j не пересекаются, если i ≠ j ;
- граница C i - простая замкнутая кривая для каждого i ;
- объединение границ множеств C я плотно в X .
Тогда X гомеоморфен ковру Серпинского.
Броуновское движение на ковре Серпинского [ править ]
Тема броуновского движения на ковре Серпинского вызывает интерес в последние годы. [5] Мартин Барлоу и Ричард Басс показали, что случайное блуждание по ковру Серпинского распространяется медленнее, чем неограниченное случайное блуждание по плоскости. Последний достигает среднего расстояния, пропорционального √ n, после n шагов, но случайное блуждание по дискретному ковру Серпинского достигает только среднего расстояния, пропорционального β √ n для некоторого β > 2 . Они также показали, что это случайное блуждание удовлетворяет более сильному большому отклонениюнеравенства (так называемые «субгауссовские неравенства») и что оно удовлетворяет эллиптическому неравенству Гарнака, не удовлетворяя параболическому неравенству . Существование такого примера долгие годы оставалось открытой проблемой.
Сито Уоллиса [ править ]
Вариант ковра Серпинского, называемый решето Уоллиса , начинается таким же образом, когда единичный квадрат делится на девять меньших квадратов и удаляется середина из них. На следующем уровне подразделения он делит каждый из квадратов на 25 меньших квадратов и удаляет средний, и продолжается на i- м шаге, разделяя каждый квадрат на (2 i + 1) 2 ( нечетные квадраты [6] ) квадратов меньшего размера и удаления среднего.
По произведению Уоллиса площадь результирующего множества равнаπ/4, [7] [8] в отличие от стандартного ковра Серпинского, который имеет нулевую предельную площадь.
Однако по результатам Уайберна, упомянутым выше, мы видим, что сито Уоллиса гомеоморфно ковру Серпинского. В частности, его интерьер по-прежнему пуст.
Приложения [ править ]
Фрактальные антенны для мобильных телефонов и WiFi были созданы в виде нескольких итераций ковра Серпинского. Благодаря самоподобию и масштабной инвариантности они легко адаптируются к нескольким частотам. Их также легко изготовить, и они меньше обычных антенн с аналогичными характеристиками, что делает их оптимальными для карманных мобильных телефонов.
См. Также [ править ]
- Список фракталов по размерности Хаусдорфа
- Губка менгера
Ссылки [ править ]
- ^ Allouche, Жан-Поль; Шаллит, Джеффри (2003). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения . Издательство Кембриджского университета . стр. 405 -406. ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015 .
- ^ Semmes, Стивен (2001). Некоторые новые типы фрактальной геометрии . Оксфордские математические монографии. Издательство Оксфордского университета. п. 31. ISBN 0-19-850806-9. Zbl 0970.28001 .
- ^ Серпинского, Wacław (1916). "Sur une Courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continue de toute courbe donnée". CR Acad. Sci. Париж (на французском). 162 : 629–632. ISSN 0001-4036 . JFM 46.0295.02 .
- ^ Уайберн, Гордон (1958). «Топологическая характеристика кривой Серпинского» . Фонд. Математика . 45 : 320–324. DOI : 10,4064 / фм-45-1-320-324 .
- ^ Барлоу, Мартин; Басс, Ричард, Броуновское движение и гармонический анализ на коврах Серпинского (PDF)
- ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A016754 (Нечетные квадраты: a (n) = (2n + 1) ^ 2. Также центрированные восьмиугольные числа.)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
- ^ Rummler, Hansklaus (1993). «Квадратная дырочка». Американский математический ежемесячник . 100 (9): 858–860. DOI : 10.2307 / 2324662 . JSTOR 2324662 . Руководство по ремонту 1247533 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Сито Уоллис" . MathWorld .
Внешние ссылки [ править ]
 | Викискладе есть медиафайлы по теме ковра Серпинского . |
- Вариации на тему Tremas II
- Печенье Серпинского
- Проект ковров Серпинского
- Ковер Серпинского решен с помощью модульной арифметики
