Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Иллюстрация M 4 , губка после четырех итераций процесса строительства.

В математике , то губка Менгера (также известная как куб менгеровском , менгеровский универсальных кривой , Серпинский куб , или Серпинской губка ) [1] [2] [3] является фрактальным кривой . Это трехмерное обобщение одномерного множества Кантора и двумерного ковра Серпинского . Впервые он был описан Карлом Менгером в 1926 году в его исследованиях концепции топологической размерности . [4] [5]

Строительство [ править ]

Изображение 3: скульптурное изображение итераций от 0 (внизу) до 3 (вверху).

Строение губки Менгера можно описать следующим образом:

  1. Начнем с куба.
  2. Разделите каждую грань куба на девять квадратов, как кубик Рубика . Это делит куб на 27 кубиков меньшего размера.
  3. Удалите меньший куб в середине каждой грани и удалите меньший куб в самом центре большего куба, оставив 20 кубиков меньшего размера. Это губка Менгера 1-го уровня (напоминающая куб пустоты ).
  4. Повторите шаги два и три для каждого из оставшихся меньших кубиков и продолжайте повторять до бесконечности .

Вторая итерация дает губку уровня 2, третья итерация дает губку уровня 3 и так далее. Сама губка Менгера является пределом этого процесса после бесконечного количества итераций.

Иллюстрация итеративного построения губки Менгера до M 3 , третья итерация
Анимация губки Менгера с помощью (4) шагов рекурсии

Свойства [ править ]

Гексагональное сечение губки Менгера 4-го уровня. Посмотрите на серию разрезов, перпендикулярных диагонали пространства.

П - й этап губки Менгера, М н , состоит из 20 п меньших кубов, каждый с длиной стороны (1/3) п . Таким образом, общий объем M n равен (20/27) n . Общая площадь поверхности M n определяется выражением 2 (20/9) n + 4 (8/9) n . [6] [7]Поэтому объем конструкции приближается к нулю, а площадь ее поверхности неограниченно увеличивается. Тем не менее, любая выбранная поверхность в конструкции будет тщательно проколота по мере продолжения строительства, так что предел не будет ни твердым телом, ни поверхностью; он имеет топологическую размерность 1 и, соответственно, обозначается как кривая.

Каждая грань конструкции становится ковром Серпинского , а пересечение губки с любой диагональю куба или любой средней линией граней является канторовым множеством . Поперечное сечение губки через ее центр тяжести и перпендикулярно пространственной диагонали представляет собой правильный шестиугольник с проколотыми гексаграммами, расположенными в шестикратной симметрии. [8] Число этих гексаграмм в порядке убывания равно , с . [9]

Размерность губки по Хаусдорфу составляетжурнал 20/журнал 3≅ 2,727. Размер покрытия Лебега губки Менгера такой же, как и у любой кривой . Менгер показал, в 1926 г. строительства, что губка является универсальной кривой , в том , что каждая кривая  [ RU ] является гомеоморфно некоторому подмножеству губки менгеровского, где кривая означает любое компактное метрическое пространство Лебега покрытия размерность один; сюда входят деревья и графы с произвольным счетным числом ребер, вершин и замкнутых контуров, соединенных произвольным образом. Подобным образом ковер Серпинскогоявляется универсальной кривой для всех кривых, которые можно нарисовать на двумерной плоскости. Губка Менгера, построенная в трех измерениях, расширяет эту идею на графы, которые не являются планарными и могут быть встроены в любое количество измерений.

Губка Менгера - закрытый набор ; поскольку он также ограничен, теорема Гейне – Бореля влечет его компактность . Он имеет меру Лебега  0. Поскольку он содержит непрерывные пути, это несчетное множество .

Эксперименты также показали, что для того же материала кубики со структурой губки Менгера могут рассеивать удары в пять раз лучше, чем кубы без пор. [10]

Кубы с фрактальными структурами Менгера после ударно-волнового нагружения. Цвет указывает на повышение температуры, связанное с пластической деформацией. [10]

Формальное определение [ править ]

Равнопрямоугольная проекция на 360 ° из середины губки Менгера уровня 5
( просмотр как интерактивная панорама на 360 ° )

Формально губку Менгера можно определить так:

где M 0 - единичный куб и

MegaMenger [ править ]

MegaMenger был проектом, направленным на построение самой большой фрактальной модели, пионером которого выступили Мэтт Паркер из Лондонского университета Королевы Марии и Лаура Таалман из Университета Джеймса Мэдисона . Каждый маленький кубик состоит из шести сложенных вместе визитных карточек, что в сумме дает 960 000 штук для губки четвертого уровня. Затем внешние поверхности покрываются панелями из бумаги или картона, на которых напечатан рисунок ковра Серпинского, чтобы сделать его более эстетичным. [11] В 2014 году было сконструировано двадцать губок Менгера третьего уровня, которые в совокупности образовали распределенную губку Менгера четвертого уровня. [12]

  • Один из мегаменжеров из Университета Бата

  • Модель тетрикс, просматриваемая через центр Кембриджского мегаменгера уровня 3 на Кембриджском научном фестивале 2015 года.

Подобные фракталы [ править ]

Куб Иерусалима [ править ]

Иерусалим куб является фрактальный объект описывается Eric Baird в 2011 году создается рекурсивно бурения греческого креста образных отверстий в куб. [13] [14] Название происходит от лица куба, напоминающего узор Иерусалимского креста .

Построение Иерусалимского куба можно описать следующим образом:

  1. Начнем с куба.
  2. Вырежьте крест с каждой стороны куба, оставив восемь кубиков (ранга +1) в углах исходного куба, а также двенадцать меньших кубиков (ранга +2), центрированных по краям исходного куба между кубиками куба. ранг +1.
  3. Повторите процесс с кубиками 1 и 2 ранга.

Каждая итерация добавляет восемь кубов первого ранга и двенадцать кубиков второго ранга, что в двадцать раз больше. (Подобно губке Менгера, но с двумя кубиками разного размера.) Итерация бесконечное количество раз приводит к кубу Иерусалима.

  • Третья итерация куба Иерусалима

  • 3D-печатная модель Иерусалимский куб

  • Снежинка Серпинского-Менгера. Сохраняются восемь угловых кубиков и один центральный куб.

Другое [ править ]

  • Мозли Снежинка представляет собой куб на основе фрактальной с углами рекурсивно удалены. [15]
  • Тетрис является тетраэдр на основе фрактальной сделаны из четырех меньше копий, расположенных в виде тетраэдра. [16]

См. Также [ править ]

  • Аполлонийская прокладка
  • Куб Кантора
  • Снежинка Коха
  • Тетраэдр Серпинского
  • Серпинский треугольник
  • Список фракталов по размерности Хаусдорфа

Ссылки [ править ]

  1. ^ Бек, Кристиан; Шёгль, Фридрих (1995). Термодинамика хаотических систем: введение . Издательство Кембриджского университета. п. 97. ISBN 9780521484510.
  2. ^ Бунде, Армин; Хавлин, Шломо (2013). Фракталы в науке . Springer. п. 7. ISBN 9783642779534.
  3. Перейти ↑ Menger, Karl (2013). Воспоминания о Венском кружке и Математическом коллоквиуме . Springer Science & Business Media. п. 11. ISBN 9789401111027.
  4. ^ Менгер, Карл (1928), Dimensionstheorie , BG Teubner Publishers
  5. ↑ Menger, Karl (1926), «Allgemeine Räume und Cartesische Räume. I.», Сообщения в Амстердамскую академию наук. Английский перевод перепечатан в Edgar, Gerald A., ed. (2004), Классика по фракталам , Исследования в области нелинейности, Westview Press. Продвинутая книжная программа, Боулдер, Колорадо, ISBN 978-0-8133-4153-8, MR  2049443
  6. ^ Проект демонстрации Вольфрама, объем и площадь поверхности губки Менгера
  7. ^ Научно-математическая исследовательская группа Университета Британской Колумбии, Математическая геометрия: Менгер Губка
  8. ↑ Чанг, Кеннет (27 июня 2011 г.). «Тайна губки Менгера» . Проверено 8 мая 2017 г. - через NYTimes.com.
  9. ^ "A299916 - OEIS" . oeis.org . Проверено 2 августа 2018 .
  10. ^ a b Даттельбаум, Дана М .; Ионита, Аксинте; Паттерсон, Брайан М .; Филиал, Бретань А .; Куэттнер, Линдси (01.07.2020). «Рассеяние ударной волны пористыми структурами с преобладанием межфазной границы» . AIP продвигается . 10 (7): 075016. DOI : 10,1063 / 5,0015179 .
  11. ^ Тим Чартье. «Миллион визитных карточек представляют собой математический вызов» . Проверено 7 апреля 2015 .
  12. ^ "MegaMenger" . Проверено 15 февраля 2015 .
  13. ^ Роберт Дикау (2014-08-31). "Крест Менгера (Иерусалим) Куб Фрактал" . Роберт Дикау . Проверено 8 мая 2017 .
  14. ↑ Эрик Бэрд (18.08.2011). «Иерусалимский куб» . Альтернативные фракталы . Проверено 13 марта 2013 ., опубликовано в журнале Tangente 150, "l'art фрактал" (2013), стр. 45.
  15. ↑ Уэйд, Лиззи. «Складывающееся фрактальное искусство из 49 000 визиток» . Дата обращения 8 мая 2017 .
  16. ^ W., Weisstein, Эрик. «Тетрикс» . mathworld.wolfram.com . Дата обращения 8 мая 2017 .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Иванец, Тадеуш ; Мартин, Гавен (2001), геометрическая теория функций и нелинейный анализ , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850929-5, Руководство по ремонту  1859913.
  • Чжоу, Ли (2007), «Проблема 11208: Хроматические числа губок Менгера», American Mathematical Monthly , 114 (9): 842, JSTOR  27642353

Внешние ссылки [ править ]

  • Губка Менгера в Wolfram MathWorld
  • «Визитная карточка Менгера Губка» доктора Жаннин Мозли - онлайн-выставка об этом гигантском фрактале оригами в Институте фигурного моделирования.
  • Интерактивная губка Менгера
  • Интерактивные модели Java
  • Puzzle Hunt - Видео, объясняющее парадоксы Зенона с помощью губки Менгера – Серпинского
  • Menger Sponge Animations - Анимация губки Менгера до уровня 9, обсуждение оптимизации для 3D.
  • Сфера Менгера , визуализированная в SunFlow
  • Post-It Menger Sponge - губка Менгера 3-го уровня, созданная из Post- it
  • Тайна губки Менгера. Нарезанный по диагонали, чтобы раскрыть звезды
  • Последовательность OEIS A212596 (количество карт, необходимых для создания губки Менгера уровня n в оригами)
  • Губка Менгера 2-го уровня в шерстяных мыслях от двух "математиков"
  • Дикау, Р .: Иерусалимский куб. Дальнейшее обсуждение.