Сюръективная функция

Функция
$х \mapsto е (х)$
Примеры по домену и кодомену
$X$ → $B,$ $B$ → $X,$ $B n$ → $B$ $X$ → $Z,$ $Z$ → $X$ $X$ → $R,$ $R$ → $X,$ $R n$ → $X$ $X$ → $C,$ $C$ → $X,$ $C n$ → $X$
Классы / свойства
Постоянный Личность Линейный Полиномиальный Рациональный Алгебраический Аналитический Гладкий Непрерывный Измеримый Инъекционный Сюръективный Биективный
Конструкции
Ограничение Состав λ Обратный
Обобщения
Частичное Многозначный Скрытый
v т е

В математике , А функция F от множества X до множества Y является сюръективны (также известный как на , или сюръекция ), если для каждого элемента у в кообласть Y из F , существует, по крайней мере , один элемент х в области Х функции f такой, что f ( x ) = y . ^[1]^[2]^[3] Необязательно, чтобы x был уникальным.; функция F может отображать один или несколько элементов X к одному элементу из Y .

Сюръективная функция из области X в кообласть Y . Функция сюръективна, потому что каждый элемент в области значений является значением f ( x ) по крайней мере для одного элемента x в области.

Термин сюръективный и связанные с ним термины инъективный и биективный были введены Николя Бурбаки , ^[4]^[5] группой преимущественно французских математиков 20-го века, которые под этим псевдонимом написали серию книг, представляющих изложение современной продвинутой математики. начиная с 1935 года. Французское слово sur означает « сверх» или « выше» и связано с тем фактом, что образ области сюръективной функции полностью покрывает ее содомен.

Любая функция вызывает сюръекцию, ограничивая область своей области до образа ее области. Каждая сюръективная функция имеет правый обратный , и каждая функция с правым обратным обязательно является сюръекцией. Состав сюръективных функций всегда сюръективно. Любую функцию можно разложить на сюръекцию и инъекцию.

Определение [ править ]

Сюръекция является функцией которого изображения равно его области значений . Эквивалентно, функция с доменом и codomain сюръективна, если для каждого in существует хотя бы один in with . ^[2] Вырезки иногда обозначаются двуглавой стрелкой вправо ( U + 21A0 ↠ ДВУХГОЛОВАЯ СТРЕЛКА ВПРАВО ), ^[6] как в . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle е (х) = у}$ ${\ Displaystyle f \ двоеточие X \ twoheadrightarrow Y}$

Символично,

Если , то называется сюръективным, если

{\ displaystyle f \ двоеточие X \ rightarrow Y}

{\ displaystyle f}

{\ Displaystyle \ forall y \ in Y, \, \ существует x \ in X, \; \; f (x) = y}

. ^[3]^[7]

Примеры [ править ]

Не-Сюръекция из области X в кообласть Y . Меньший желтый овал внутри Y - это изображение (также называемое диапазоном ) f . Эта функция не является сюръективной, потому что изображение не заполняет весь кодомен. Другими словами, Y окрашивается в два этапа: во-первых, для каждого x в X точка f ( x ) окрашивается в желтый цвет; Во-вторых, все остальные точки Y , кроме желтых, окрашены в синий цвет. Функция f было бы сюръективным, только если бы не было синих точек.

Для любого множества X , то функция тождества идентификатор _X на X сюръективно.
Функция $f : Z \to {0, 1},$ определенная как f ( n ) = n mod 2 (то есть, четные целые числа отображаются в 0, а нечетные целые числа в 1), является сюръективной.
Функция $f : R \to R,$ определяемая формулой f ( x ) = 2 x + 1, является сюръективной (и даже биективной ), потому что для каждого действительного числа y у нас есть x такое, что f ( x ) = y : такой подходящий x равно ( y - 1) / 2.
Функция $f : R \to R,$ определяемая формулой f ( x ) = x ³ - 3 x, является сюръективной, потому что прообраз любого действительного числа y является множеством решений кубического полиномиального уравнения x ³ - 3 x - y = 0 , и каждый кубический многочлен с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень. Однако эта функция не является инъективной (и, следовательно, не биективной ), поскольку, например, прообраз y = 2 равен { x = −1, x= 2}. (Фактически, прообраз этой функции для каждого y , −2 ≤ y ≤ 2 имеет более одного элемента.)
Функция $g : R \to R,$ определенная формулой g ( x ) = x ² , не является сюръективной, поскольку не существует действительного числа x такого, что x ² = −1 . Однако функция $g : R \to R \geq0,$ определяемая формулой $g (x) = x 2$ (с ограниченной областью), является сюръективной, поскольку для каждого y в неотрицательной вещественной области Y существует по крайней мере один xв вещественной области X такой, что x ² = y .
Натуральный логарифм функция $LN: (0, + \infty) \to R$ является сюръективным и даже биективен (отображение из множества положительных действительных чисел на множестве всех действительных чисел). Его обратная, экспоненциальная функция , если она определена с набором действительных чисел в качестве области определения, не является сюръективным (поскольку ее диапазон - это набор положительных действительных чисел).
Матрица экспоненциальный не сюръективен когда рассматриваются как отображение из пространства все п х п матриц к себе. Однако обычно его определяют как отображение пространства всех матриц размера n × n в общую линейную группу степени n (то есть группу всех обратимых матриц размера n × n ). Согласно этому определению, матричная экспонента сюръективна для комплексных матриц, но все же не сюръективна для вещественных матриц.
Проекция из декартова произведения $\times$ $B$ к одному из его факторов сюръективна, если другой фактор не пуст.
В трехмерной видеоигре векторы проецируются на плоский двумерный экран с помощью сюръективной функции.

Интерпретация сюръективных функций в декартовой плоскости, определяемая отображением f : X → Y , где y = f ( x ), X = область определения функции, Y = диапазон функции. Каждый элемент в диапазоне отображается на элемент в домене по правилу f . Может быть несколько элементов домена, которые соответствуют одному и тому же элементу диапазона. То есть каждый y в Y отображается из элемента x в X , более одного x может отображаться в один и тот же y .Слева: показана только одна область, что делает f сюръективным. Справа: показаны две возможные области X ₁ и X ₂ .

Несюръективные функции на декартовой плоскости. Хотя некоторые части функции являются сюръективными, где элементы y в Y действительно имеют значение x в X такое, что y = f ( x ), некоторые части - нет. Слева: есть y ₀ в Y , но нет x ₀ в X, такого что y ₀ = f ( x ₀ ). Справа: есть y ₁ , y ₂ иy ₃ в Y , но в X нет таких x ₁ , x ₂ и x ₃ , что y ₁ = f ( x ₁ ), y ₂ = f ( x ₂ ) и y ₃ = f ( x ₃ ).

Свойства [ править ]

Функция биективна тогда и только тогда, когда она одновременно сюръективна и инъективна .

Если (как это часто делается) функция отождествляется со своим графиком , то сюръективность не является свойством самой функции, а скорее свойством отображения . ^[8] Это функция вместе с ее доменом. В отличие от инъективности, сюръективность не может быть прочитана только по графику функции.

Сюрприз как правые обратимые функции [ править ]

Функция g : Y → X называется правой обратной функцией f : X → Y, если f ( g ( y )) = y для любого y в Y ( g может быть отменено функцией f ). Другими словами, г является правым обратным F , если композиция Р о г о г и е в таком порядке является функция тождествав области Y функции g . Функция г не должно быть полным обратным из F , так как композиция в другом порядке, г о е , не может быть тождественной функции на области X из F . Другими словами, f может отменить или " перевернуть " g , но не обязательно с его помощью.

Каждая функция с правым обратным обязательно является сюръекцией. Утверждение, что каждая сюръективная функция имеет правый обратный, эквивалентно аксиоме выбора .

Если F : X → Y сюръективно и В представляет собой подмножество из Y , то F ( F ^-1 ( B )) = B . Таким образом, B может быть восстановлен по его прообразу f ⁻¹ ( B ) .

Например, в первой иллюстрации, выше, существует некоторая функция г такая , что г ( С ) = 4. Существует также некоторая функция F такая , что F (4) = C . Неважно, что g ( C ) также может быть равно 3; имеет значение только то, что f "переворачивает" g .

Сюръективная композиция: первая функция не обязательно должна быть сюръективной.
Еще одна сюръективная функция. (Это оказывается взаимно однозначным )
Не -surjective функции. (Это инъекция )

Сюрприз как эпиморфизм [ править ]

Функция f : X → Y сюръективна тогда и только тогда, когда она сокращается справа : ^{[9] для} любых функций g , h : Y → Z , всякий раз, когда g o f = h o f , то g = h . Это свойство формулируется в терминах функций и их состава и могут быть обобщены на более общее понятие морфизмов в виде категории и их состав. Право-сокращательные морфизмы называютсяэпиморфизмы . В частности, сюръективные функции - это в точности эпиморфизмы в категории множеств . Приставка epi образована от греческого предлога πί, означающего над , выше , на .

Любой морфизм с правым обратным является эпиморфизмом, но обратное, вообще говоря, неверно. Правый обратный г морфизм F называется разделом из F . Морфизм с правым обратным называется расщепленным эпиморфизмом .

Сюрприз как бинарные отношения [ править ]

Любую функцию с доменом X и codomain Y можно рассматривать как полное слева и уникальное справа двоичное отношение между X и Y , отождествляя его с его графиком функций . Сюръективная функция с областью определения X и областью области Y является тогда бинарным отношением между X и Y , которое уникально справа и является как полным слева, так и полным справа .

Мощность области сюръекции [ править ]

Мощность в области сюръективного функции больше или равна мощности его значений: Если F : X → Y является Сюръекция, то X имеет , по меньшей мере столько же элементов, что и Y , в смысле кардинальных чисел . (Доказательство обращается к выбранной аксиоме, чтобы показать, что функция g : Y → X, удовлетворяющая f ( g ( y )) = y для всех y в Y, существует. Gлегко видеть инъективным, поэтому формальное определение | Y | ≤ | X | доволен.)

В частности, если оба Х и Y имеет конечные с тем же числом элементов, то F : X → Y сюръективно тогда и только тогда , когда F является инъективным .

Даны два множества X и Y , обозначение X ≤ ^* Y используется , чтобы сказать , что либо X пусто или что сюръекция из Y на X . Используя аксиому выбора, можно показать, что из X ≤ ^* Y и Y ≤ ^* X вместе следует, что | Y | = | X | - вариант теоремы Шредера – Бернштейна .

Состав и разложение [ править ]

Состав сюръективных функций всегда сюръективен: Если е и г оба сюръективны и кообласть г равна области е , то е о г сюрьективна. И наоборот, если f o g сюръективен, то f сюръективен (но g , функция, применяемая первой, не обязательно должна быть). Эти свойства являются обобщением сюръекций в категории множеств на любые эпиморфизмы в любой категории .

Любую функцию можно разложить на сюръекцию и инъекцию : для любой функции h : X → Z существуют сюръекция f : X → Y и инъекция g : Y → Z такие, что h = g o f . Чтобы убедиться в этом, определим Y как набор прообразов h ⁻¹ ( z ), где z находится в h ( X ) . Эти прообразы не пересекаютсяи раздел X . Затем f переносит каждый x в элемент Y, который его содержит, а g переносит каждый элемент Y в точку в Z, в которую h отправляет свои точки. Тогда f сюръективен, поскольку это отображение проекции, а g инъективен по определению.

Индуцированная неожиданность и индуцированная биекция [ править ]

Любая функция вызывает сюръекцию, ограничивая свой домен своим диапазоном. Любая сюръективная функция индуцирует биекцию, определенную на частном ее предметной области, путем сворачивания всех сопоставлений аргументов в заданное фиксированное изображение. Более точно, каждая сюръекция f : A → B может быть факторизована как проекция с последующей биекцией следующим образом. Пусть / ~ быть на классы эквивалентности из А под следующим отношением эквивалентности : х ~ Y тогда и только тогда , когда F ( х ) = е ( у ). Эквивалентно, A/ ~ - множество всех прообразов при f . Пусть P (~): A → A / ~ - отображение проекции, которое переводит каждый x из A в его класс эквивалентности [ x ] _~ , и пусть f _P : A / ~ → B - корректно определенная функция, задаваемая f _P ([ x ] _~ ) = f ( x ). Тогда f = f _P o P (~).

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме Surjectivity .

Посмотрите Сюръективная , сюръекцию , или на в Wiktionary, бесплатный словарь.

Биекция, инъекция и сюръекция
Обложка (алгебра)
Покрывающая карта
Перечисление
Пучок волокон
Набор индексов
Раздел (теория категорий)

Ссылки [ править ]

^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - Онто" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 7 декабря 2019 .
^ a b «Инъективный, сюръективный и биективный» . www.mathsisfun.com . Проверено 7 декабря 2019 .
^ a b «Биекция, инъекция и сюрприз | Блестящая вики по математике и науке» . brilliant.org . Проверено 7 декабря 2019 .
^ Миллер, Джефф, «Injection, сюръекция и биекция», раннее Использование некоторых слов математики , треноги.
^ Машаль, Морис (2006). Бурбаки . American Mathematical Soc. п. 106. ISBN 978-0-8218-3967-6.
^ «Стрелки - Юникод» (PDF) . Проверено 11 мая 2013 .
^ Фарлоу, SJ «Инъекции, сюрпризы и биологические инъекции» (PDF) . math.umaine.edu . Проверено 6 декабря 2019 .
^ TM Апостол (1981). Математический анализ . Эддисон-Уэсли. п. 35.
^ Голдблатт, Роберт (2006) [1984]. Топои, Категориальный анализ логики (пересмотренная ред.). Dover Publications . ISBN 978-0-486-45026-1. Проверено 25 ноября 2009 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Бурбаки, Н. (2004) [1968]. Теория множеств . Элементы математики . 1 . Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-642-59309-3 . ISBN 978-3-540-22525-6. LCCN 2004110815 .

[1] "Окончательный словарь высшего математического жаргона - Онто" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 7 декабря 2019 .

[:0-2] «Инъективный, сюръективный и биективный» . www.mathsisfun.com . Проверено 7 декабря 2019 .

[:1-3] «Биекция, инъекция и сюрприз | Блестящая вики по математике и науке» . brilliant.org . Проверено 7 декабря 2019 .

[4] Миллер, Джефф, «Injection, сюръекция и биекция», раннее Использование некоторых слов математики , треноги.

[5] Машаль, Морис (2006). Бурбаки . American Mathematical Soc. п. 106. ISBN 978-0-8218-3967-6.

[Unicode_Arrows-6] «Стрелки - Юникод» (PDF) . Проверено 11 мая 2013 .

[7] Фарлоу, SJ «Инъекции, сюрпризы и биологические инъекции» (PDF) . math.umaine.edu . Проверено 6 декабря 2019 .

[8] TM Апостол (1981). Математический анализ . Эддисон-Уэсли. п. 35.

[9] Голдблатт, Роберт (2006) [1984]. Топои, Категориальный анализ логики (пересмотренная ред.). Dover Publications . ISBN 978-0-486-45026-1. Проверено 25 ноября 2009 .

[1]