Куб (3-куб) | Тессеракт (4-куб) |
---|
В геометрии , A гиперкуба является п - мерный аналог квадрата ( п = 2 ) и куб ( п = 3 ). Это замкнутая , компактная , выпуклая фигура, 1- скелет которой состоит из групп противоположных параллельных отрезков, выровненных в каждом из измерений пространства , перпендикулярных друг другу и одинаковой длины. Самая длинная диагональ единичного гиперкуба в n измерениях равна .
П - мерный гиперкуб чаще называют п -куба , а иногда как п - мерного куба . Термин « многогранник меры» (первоначально из Elte, 1912) [1] также используется, особенно в работе HSM Coxeter, который также помечает гиперкубы многогранниками γ n . [2]
Гиперкуб - это частный случай гипер прямоугольника (также называемого н-ортотопом ).
Блок гиперкуб является гиперкубом которого сторона имеет длину один блок . Часто гиперкуба , чьи углы (или вершины ) являются 2 п точек в R п с каждой из координат равно 0 или 1, называется блок гиперкуба.
Строительство [ править ]
Гиперкуб можно определить, увеличив количество измерений формы:
- 0 - Точка - гиперкуб нулевой размерности.
- 1 - Если переместить эту точку на одну единицу длины, она выметет линейный сегмент, который представляет собой единичный гиперкуб размерности один.
- 2 - Если переместить этот отрезок линии на его длину в перпендикулярном направлении от себя; он выметает двумерный квадрат.
- 3 - Если переместить квадрат на одну единицу длины в направлении, перпендикулярном плоскости, на которой он лежит, то получится трехмерный куб.
- 4 - Если переместить куб на одну единицу длины в четвертое измерение, он создаст четырехмерный единичный гиперкуб (единичный тессеракт ).
Это можно обобщить на любое количество измерений. Этот процесс выметания объемов может быть формализован математически как сумма Минковского : d -мерный гиперкуб - это сумма Минковского d взаимно перпендикулярных отрезков прямой единичной длины, и поэтому он является примером зонотопа .
1- скелет гиперкуба - это граф гиперкуба .
Координаты [ править ]
Единичный гиперкуб n измерений - это выпуклая оболочка точек, заданных всеми знаковыми перестановками декартовых координат . Он имеет длину ребра 1 и n- мерный объем 1.
П - мерный гиперкуб также часто рассматривается как выпуклая оболочка всех знаковых перестановок координат . Эту форму часто выбирают из-за простоты записи координат. Длина его ребра равна 2, а его n- мерный объем равен 2 n .
Элементы [ править ]
Каждый n -куб из n> 0 состоит из элементов или n -кубов меньшей размерности на ( n - 1) -мерной поверхности родительского гиперкуба. Сторона - это любой элемент ( n - 1) -мерности родительского гиперкуба. Гиперкуб размерности n имеет 2 n сторон (1-мерная линия имеет 2 конечные точки; 2-мерный квадрат имеет 4 стороны или ребра; 3-мерный куб имеет 6 2-мерных граней; 4-мерный тессеракт имеет 8 ячеек. ). Количество вершин (точек) гиперкуба равно (например, у куба есть вершины).
Количество m -мерных гиперкубов (далее именуемых m -кубом) на границе n -куба равно
- , [3] где и n ! обозначает факториал числа n .
Например, граница 4-куба (n = 4) содержит 8 кубов (3-кубы), 24 квадрата (2-кубы), 32 линии (1-кубы) и 16 вершин (0-кубы).
Это тождество можно доказать комбинаторными аргументами; каждая из вершин определяет вершину на m -мерной границе. Есть способы выбрать, какие линии («стороны») определяют подпространство, в котором находится граница. Но каждая сторона подсчитывается раз, так как у нее столько вершин, нам нужно разделить на это число.
Это тождество также можно использовать для создания формулы для площади поверхности n- мерного куба. Площадь поверхности гиперкуба является: .
Эти числа также могут быть порождены линейным рекуррентным соотношением
- С , и неопределенные элементы (где , , или ) .
Например, расширение квадрата через его 4 вершины добавляет одну дополнительную линию (ребро) на вершину, а также добавляет последний второй квадрат, чтобы сформировать куб, что в сумме дает = 12 строк.
м | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
п | n-куб | Имена | Schläfli Coxeter | Вершина 0-грань | Кромка 1-гранная | Лицо 2-х лицо | Ячейка 3-гранная | 4-гранный | 5-гранный | 6-гранный | 7-гранный | 8-гранный | 9-гранный | 10-гранный |
0 | 0-куб | Point Monon | () | 1 | ||||||||||
1 | 1-куб | Отрезок Дион [4] | {} | 2 | 1 | |||||||||
2 | 2-куб | Квадратный Тетрагон | {4} | 4 | 4 | 1 | ||||||||
3 | 3-куб | Куб Гексаэдр | {4,3} | 8 | 12 | 6 | 1 | |||||||
4 | 4-куб | Тессеракт Октахорон | {4,3,3} | 16 | 32 | 24 | 8 | 1 | ||||||
5 | 5-куб | Пентеракт Дека-5-топ | {4,3,3,3} | 32 | 80 | 80 | 40 | 10 | 1 | |||||
6 | 6-куб | Hexeract додек-6-Тоуп | {4,3,3,3,3} | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 1 | ||||
7 | 7-куб | Hepteract Tetradeca -7-tope | {4,3,3,3,3,3} | 128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 1 | |||
8 | 8-куб | Octeract Hexadeca-8-Тоуп | {4,3,3,3,3,3,3} | 256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 1 | ||
9 | 9-куб | Enneract Octadeca-9-топ | {4,3,3,3,3,3,3,3} | 512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 г. | 672 | 144 | 18 | 1 | |
10 | 10-куб | Dekeract Icosa-10-топе | {4,3,3,3,3,3,3,3,3} | 1024 | 5120 | 11520 | 15360 | 13440 | 8064 | 3360 | 960 | 180 | 20 | 1 |
Графики [ править ]
П -куба может проецироваться внутри обычного 2 п -gonal многоугольника с помощью косой ортогональной проекции , показанного здесь из отрезка к 15-кубе.
Точка | Отрезок | Квадрат | Куб | Тессеракт |
---|---|---|---|---|
5-куб | 6-куб | 7-куб | 8-куб | |
9-куб | 10-куб | 11-куб | 12-куб | |
13-куб | 14-куб | 15-куб | 16-куб |
Связанные семейства многогранников [ править ]
Гиперкубы - одно из немногих семейств правильных многогранников , которые представлены в любом количестве измерений.
Семейство гиперкубов (смещений) - одно из трех семейств регулярных многогранников , обозначенных Кокстером как γ n . Два других - это двойственное семейство гиперкуба, кросс-многогранники , обозначенные как β n, и симплексы , обозначенные как α n . Четвертое семейство, бесконечные мозаики гиперкубов , он обозначил как δ n .
Другое родственное семейство полуправильных и однородных многогранников - это полугиперкубы , которые построены из гиперкубов с удаленными альтернативными вершинами и добавленными в промежутки симплексными фасетами , обозначенными как hγ n .
n -кубов можно комбинировать со своими двойниками ( кросс-политопами ) для образования составных многогранников:
- В двух измерениях мы получаем восьмиугольную звезду {8/2},
- В трех измерениях мы получаем соединение куба и октаэдра ,
- В четырех измерениях мы получаем соединение тессеракта и 16 ячеек .
Отношение к ( n −1) -симплексам [ править ]
График н ребер -hypercube является изоморфно к Хассе диаграмме из ( п - 1) - симплекс «с лицом решетки . Это можно увидеть, сориентируя n -гиперкуб так, чтобы две противоположные вершины лежали вертикально, что соответствует самому ( n -1) -симплексу и нулевому многограннику соответственно. Каждая вершина, соединенная с верхней вершиной, затем однозначно отображается в одну из граней ( n -1) -симплекса ( n -2 граней), и каждая вершина, связанная с этими вершинами, отображается в одну из n- х граней симплекса.-3 грани и так далее, а вершины, соединенные с нижней вершиной, отображаются на вершины симплекса.
Это отношение может использоваться для эффективного создания решетки граней ( n-1 ) -симплекса, поскольку алгоритмы перечисления решетки граней, применимые к общим многогранникам, являются более дорогостоящими в вычислительном отношении.
Обобщенные гиперкубы [ править ]
Регулярные комплексные многогранники могут быть определены в комплексном гильбертовом пространстве, называемом обобщенными гиперкубами , γп
п= p {4} 2 {3} ... 2 {3} 2 или... Реальные решения существуют с p = 2, т.е. γ2
п= γ n = 2 {4} 2 {3} ... 2 {3} 2 = {4,3, .., 3}. При p > 2 они существуют в . Грани представляют собой обобщенный ( n -1) -куб, а фигура вершины - правильные симплексы .
Правильный многоугольник периметром видели в этих ортогональных проекций называется Petrie многоугольник . Обобщенные квадраты (n = 2) показаны с краями, обведенными красными и синими чередующимися цветными p- ребрами, в то время как более высокие n-кубы нарисованы с черными обведенными p- ребрами.
Количество м -Лицо элементов в р -generalized п -куба являются: . Это p n вершин и pn граней. [5]
р = 2 | р = 3 | р = 4 | р = 5 | р = 6 | р = 7 | р = 8 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
γ2 2= {4} = 4 вершины | γ3 2 знак равно 9 вершин | γ4 2 знак равно 16 вершин | γ5 2 знак равно 25 вершин | γ6 2 знак равно 36 вершин | γ7 2 знак равно 49 вершин | γ8 2 знак равно 64 вершины | ||
γ2 3= {4,3} = 8 вершин | γ3 3 знак равно 27 вершин | γ4 3 знак равно 64 вершины | γ5 3 знак равно 125 вершин | γ6 3 знак равно 216 вершин | γ7 3 знак равно 343 вершины | γ8 3 знак равно 512 вершин | ||
γ2 4= {4,3,3} = 16 вершин | γ3 4 знак равно 81 вершина | γ4 4 знак равно 256 вершин | γ5 4 знак равно 625 вершин | γ6 4 знак равно 1296 вершин | γ7 4 знак равно 2401 вершина | γ8 4 знак равно 4096 вершин | ||
γ2 5= {4,3,3,3} = 32 вершины | γ3 5 знак равно 243 вершины | γ4 5 знак равно 1024 вершины | γ5 5 знак равно 3125 вершин | γ6 5 знак равно 7776 вершин | γ7 5 знак равно 16,807 вершин | γ8 5 знак равно 32,768 вершин | ||
γ2 6= {4,3,3,3,3} = 64 вершины | γ3 6 знак равно 729 вершин | γ4 6 знак равно 4096 вершин | γ5 6 знак равно 15625 вершин | γ6 6 знак равно 46 656 вершин | γ7 6 знак равно 117,649 вершин | γ8 6 знак равно 262 144 вершины | ||
γ2 7= {4,3,3,3,3,3} = 128 вершин | γ3 7 знак равно 2187 вершин | γ4 7 знак равно 16 384 вершины | γ5 7 знак равно 78,125 вершин | γ6 7 знак равно 279 936 вершин | γ7 7 знак равно 823,543 вершины | γ8 7 знак равно 2,097,152 вершины | ||
γ2 8= {4,3,3,3,3,3,3} = 256 вершин | γ3 8 знак равно 6561 вершина | γ4 8 знак равно 65 536 вершин | γ5 8 знак равно 390,625 вершин | γ6 8 знак равно 1,679,616 вершин | γ7 8 знак равно 5,764,801 вершина | γ8 8 знак равно 16,777,216 вершин |
См. Также [ править ]
- Гиперкуб взаимосвязанная сеть компьютерной архитектуры
- Группа гипероктаэдра, группа симметрии гиперкуба
- Гиперсфера
- Симплекс
- Распятие (Corpus Hypercubus) (известное произведение искусства)
Примечания [ править ]
- ^ Elte, EL (1912). «IV, Пятимерный полуправильный многогранник». Полурегулярные многогранники гиперпространств . Нидерланды: Университет Гронингена . ISBN 141817968X.
- ^ Кокстером 1973 , стр. 122-123, см §7.2 иллюстрации Рис 7.2 C .
- Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 122, §7 · 25.
- ^ Джонсон, Норман В .; Геометрии и преобразования , Cambridge University Press, 2018, стр.224.
- ^ Кокстер, HSM (1974), Регулярные комплексные многогранники , Лондон и Нью-Йорк: Cambridge University Press , стр. 180, Руководство по ремонту 0370328 .
Ссылки [ править ]
- Боуэн, JP (апрель 1982 г.). «Гиперкуб» . Практические вычисления . 5 (4): 97–99. Архивировано из оригинала на 2008-06-30 . Проверено 30 июня 2008 года .
- Кокстер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). §7.2. см. иллюстрацию Рис. 7-2 C : Dover . С. 122-123 . ISBN 0-486-61480-8.CS1 maint: location (link)п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n измерениях ( n ≥ 5)
- Хилл, Фредерик Дж .; Джеральд Р. Петерсон (1974). Введение в теорию переключения и логический дизайн: второе издание . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-39882-9.См. Главу 7.1 «Кубическое представление булевых функций», в которой понятие «гиперкуб» вводится как средство демонстрации кода расстояния-1 ( кода Грея ) как вершин гиперкуба, а затем гиперкуб с помеченными таким образом вершинами является раздавлены на два измерения, чтобы сформировать либо диаграмму Вейча, либо карту Карно .
Внешние ссылки [ править ]
Викискладе есть медиафайлы по теме гиперкубов . |
- Вайсштейн, Эрик В. «Гиперкуб» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик У. "Графы гиперкубов" . MathWorld .
- www.4d-screen.de (Вращение 4D - 7D-куба)
- Вращение гиперкуба. Автор Энрике Зелени, Wolfram Demonstrations Project .
- Стереоскопический анимированный гиперкуб
- Загрузки гиперкуба Руди Ракера и Фариде Дормишян
Семья | А п | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Правильный многоугольник | Треугольник | Квадрат | п-угольник | Шестиугольник | Пентагон | |||||||
Равномерный многогранник | Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • Икосаэдр | ||||||||
Равномерный 4-многогранник | 5-элементный | 16 ячеек • Тессеракт | Demitesseract | 24-элементный | 120 ячеек • 600 ячеек | |||||||
Равномерный 5-многогранник | 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб. | 5-полукуб | |||||||||
Равномерный 6-многогранник | 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб | 6-полукуб | 1 22 • 2 21 | ||||||||
Равномерный 7-многогранник | 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-куб | 7-полукруглый | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Равномерный 8-многогранник | 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб. | 8-полукруглый | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
Равномерный 9-многогранник | 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукруглый | |||||||||
Равномерный 10-многогранник | 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | |||||||||
Равномерное n - многогранник | n - симплекс | n - ортоплекс • n - куб | n - demicube | 1 к2 • 2 к1 • к 21 | n - пятиугольный многогранник | |||||||
Темы: Семейства многогранников • Регулярный многогранник • Список правильных многогранников и соединений |