Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , A 4-многообразие представляет собой 4-мерное топологическое многообразие . Гладкой 4-многообразие представляет собой 4-многообразие с гладкой структурой . В четвертой размерности топологические многообразия и гладкие многообразия сильно отличаются друг от друга, в отличие от более низких размерностей. Существуют некоторые топологические 4-многообразия, не допускающие гладкой структуры, и даже если существует гладкая структура, она не обязательно должна быть единственной (т. Е. Существуют гладкие 4-многообразия, которые гомеоморфны, но не диффеоморфны ).

4-многообразия играют важную роль в физике , так как в общей теории относительности , пространство моделируется как псевдоримановом 4-многообразии.

Топологические 4-многообразия [ править ]

Гомотопический тип оператора А односвязен компактным 4-многообразия зависит только от формы пересечения на средней пространственной гомологии. Из известной теоремы Майкла Фридмана  ( 1982 ) следует, что тип гомеоморфизма многообразия зависит только от этой формы пересечения и от инварианта, называемого инвариантом Кирби – Зибенмана , и, более того, что может возникнуть любая комбинация унимодулярной формы и инварианта Кирби – Зибенмана , за исключением того, что если форма четная, то инвариантом Кирби – Зибенмана должна быть сигнатура / 8 (mod 2).

Примеры:

  • В частном случае, когда форма равна 0, это влечет 4-мерную топологическую гипотезу Пуанкаре .
  • Если форма является решеткой E8 , это дает многообразие, называемое многообразием E8, многообразие , не гомеоморфное никакому симплициальному комплексу .
  • Если форма есть , есть два многообразия, зависящих от инварианта Кирби – Зибенмана: одно - это 2-мерное комплексное проективное пространство, а другое - поддельное проективное пространство с тем же гомотопическим типом, но не гомеоморфное (и без гладкой структуры). .
  • Когда ранг формы больше, чем примерно 28, число положительно определенных унимодулярных форм начинает чрезвычайно быстро расти с рангом, поэтому существует огромное количество соответствующих односвязных топологических 4-многообразий (большинство из которых, кажется, почти нет интереса).

Классификацию Фридмана можно распространить на некоторые случаи, когда основная группа не слишком сложна; например, когда это так , существует классификация, аналогичная приведенной выше, с использованием эрмитовых форм над групповым кольцом . Если фундаментальная группа слишком велика (например, свободная группа на 2 образующих), то методы Фридмана кажутся неудачными, и о таких многообразиях известно очень мало.

Для любой конечно определенной группы легко построить (гладкое) компактное 4-многообразие с его фундаментальной группой. Поскольку не существует алгоритма, позволяющего определить, являются ли две конечно определенные группы изоморфными (даже если одна известна как тривиальная), не существует алгоритма, позволяющего определить, имеют ли два 4-многообразия одну и ту же фундаментальную группу. Это одна из причин, почему большая часть работ по 4-многообразиям просто рассматривает односвязный случай: общий случай многих проблем уже известен как неразрешимый.

Гладкие 4-многообразия [ править ]

Для многообразий размерности не более 6 любая кусочно-линейная (PL) структура может быть сглажена по существу уникальным способом [1], так что, в частности, теория 4-мерных PL-многообразий во многом такая же, как теория 4-мерных гладких многообразий.

Основная открытая проблема теории гладких 4-многообразий - это классификация односвязных компактных многообразий. Как известно топологические, это делится на две части:

  1. Какие топологические многообразия сглаживаются?
  2. Классифицируйте различные гладкие структуры на сглаживаемом многообразии.

Существует почти полный ответ на первую проблему, согласно которой односвязные компактные 4-многообразия имеют гладкую структуру. Во-первых, должен исчезнуть класс Кирби – Зибенмана .

  • Если форма пересечения определена , теорема Дональдсона ( Donaldson 1983 ) дает полный ответ: существует гладкая структура тогда и только тогда, когда форма диагонализуема.
  • Если форма неопределенная и нечетная, это гладкая структура.
  • Если форма неопределенная, и даже мы можем также предположить, что она имеет неположительную сигнатуру, изменив ориентацию, если необходимо, и в этом случае она изоморфна сумме m копий II 1,1 и 2 n копий E 8 (- 1) для некоторых m и n . Если m ≥ 3 n (так что размерность как минимум в 11/8 раз больше | сигнатуры |), то существует гладкая структура, заданная взятием связной суммы n K3 поверхностей и m  - 3 n копий S 2 × S 2 . Если m ≤ 2 n(так что размерность не более чем в 10/8 раз превышает | сигнатуру |), тогда Фурута доказал, что гладкой структуры не существует ( Furuta 2001 ). Это оставляет небольшой промежуток между 10/8 и 11/8, где ответ в основном неизвестен. (Наименьший случай, не описанный выше, имеет n = 2 и m = 5, но он также был исключен, поэтому наименьшая решетка, для которой в настоящее время неизвестен ответ, - это решетка II 7,55 ранга 62 с n = 3. и m = 7. См. [2] о недавнем (по состоянию на 2019 год) прогрессе в этой области.) «Гипотеза 11/8» утверждает, что гладких структур не существует, если размерность меньше чем в 11/8 раз | сигнатуры | .

Напротив, очень мало известно о втором вопросе классификации гладких структур на сглаживаемом 4-многообразии; на самом деле не существует ни одного сглаживаемого 4-многообразия, ответ на который известен. Дональдсон показал, что существуют односвязные компактные 4-многообразия, такие как поверхности Долгачева , со счетно бесконечным числом различных гладких структур. На R 4 существует бесчисленное множество различных гладких структур ; увидеть экзотику R 4 . Финтушель и Стерн показали, как с помощью хирургии построить большое количество различных гладких структур (индексированных произвольными целочисленными полиномами) на множестве различных многообразий, используя инварианты Зайберга – Виттена.чтобы показать, что гладкие структуры разные. Их результаты показывают, что любая классификация односвязных гладких 4-многообразий будет очень сложной. В настоящее время нет никаких правдоподобных предположений о том, как могла бы выглядеть эта классификация. (Некоторые ранние гипотезы о том, что все односвязные гладкие 4-многообразия могут быть связными суммами алгебраических поверхностей или симплектическими многообразиями , возможно, с обратной ориентацией, были опровергнуты.)

Особые явления в 4-х измерениях [ править ]

Существует несколько фундаментальных теорем о многообразиях, которые могут быть доказаны низкоразмерными методами в размерности не более 3 и совершенно другими методами большой размерности в размерности не менее 5, но которые неверны в размерности 4. Вот несколько примеров:

  • В размерностях, отличных от 4, инвариант Кирби – Зибенмана препятствует существованию PL-структуры; другими словами, компактное топологическое многообразие имеет PL-структуру тогда и только тогда, когда его инвариант Кирби – Зибенмана в H 4 ( M , Z / 2 Z ) равен нулю. В размерности 3 и ниже каждое топологическое многообразие допускает существенно уникальную PL-структуру. В размерности 4 есть много примеров с исчезающим инвариантом Кирби – Зибенмана, но без PL-структуры.
  • В любой размерности, отличной от 4, компактное топологическое многообразие имеет только конечное число существенно различных PL или гладких структур. В размерности 4 компактные многообразия могут иметь счетное бесконечное число недиффеоморфных гладких структур.
  • Четыре - единственное измерение n, для которого R n может иметь экзотическую гладкую структуру. R 4 имеет бесчисленное множество экзотических гладких структур; увидеть экзотику R 4 .
  • Решение гладкой гипотезы Пуанкаре известно во всех измерениях, кроме 4 (обычно оно неверно в размерностях не менее 7; см. Экзотическую сферу ). Гипотеза Пуанкаре для PL-многообразий была доказана для всех размерностей, кроме 4-х, но неизвестно, верна ли она в 4-х измерениях (она эквивалентна гладкой гипотезе Пуанкаре в 4-х измерениях).
  • Теорема о гладком h-кобордизме верна для кобордизмов при условии, что ни кобордизм, ни его граница не имеют размерности 4. Она может потерпеть неудачу, если граница кобордизма имеет размерность 4 (как показано Дональдсоном ). [3] Если кобордизм имеет размерность 4, то неизвестно, верна ли теорема о h-кобордизме.
  • Топологическое многообразие размерности, отличной от 4, имеет разбиение на ручку. Многообразия размерности 4 имеют декомпозицию на ручку тогда и только тогда, когда они сглаживаются.
  • Существуют компактные 4-мерные топологические многообразия, не гомеоморфные никакому симплициальному комплексу. В размерности не менее 5 существование топологических многообразий, не гомеоморфных симплициальному комплексу, было открытой проблемой. Чиприан Манолеску показал, что существуют многообразия в каждом измерении, большее или равное 5, которые не гомеоморфны симплициальному комплексу. [4]

Провал трюка Уитни в измерении 4 [ править ]

Согласно Фрэнку Куинну , «два n -мерных подмногообразия многообразия размерности 2 n обычно пересекаются друг с другом в изолированных точках. « Уловка Уитни » использует изотопию через вложенный 2-диск, чтобы упростить эти пересечения. Грубо говоря, это сводит изучение n -мерных вложений к встраиванию 2-дисков. Но это не сокращение, когда вложение равно 4: сами два диска имеют среднюю размерность, поэтому попытка встроить их сталкивается с точно такими же проблемами, с которыми они должны столкнуться. решить. Это явление, которое отделяет измерение 4 от других ». [5]

См. Также [ править ]

  • Исчисление Кирби
  • Алгебраическая поверхность
  • 3-х коллекторный
  • 5-коллекторный
  • Классификация Энрикеса-Кодаира
  • Ручка кассона
  • Акбулут пробка

Ссылки [ править ]

  1. ^ Милнор, Джон (2011), «Дифференциальная топология сорок шесть лет спустя» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 58 (6): 804–809, MR  2839925.
  2. ^ Хопкинс, Майкл Дж ; Линь, Цзяньфэн; Ши, Сяолинь; Сюй, Чжоу (2019), "Формы пересечения спиновых 4-многообразий и Pin (2) -эквивариантный инвариант Маховальда", arXiv : 1812.04052 [ math.AT ].
  3. ^ Дональдсон, Саймон К. (1987). «Иррациональность и гипотеза h-кобордизма» . J. Differential Geom . 26 (1): 141–168. DOI : 10.4310 / JDG / 1214441179 . Руководство по ремонту 0892034 . 
  4. ^ Manolescu, Киприан (2016). «Пин (2) -эквивариантные гомологии Зайберга – Виттена Флоера и гипотеза триангуляции». J. Amer. Математика. Soc. 29 : 147–176. arXiv : 1303.2354 . DOI : 10,1090 / jams829 . S2CID 16403004 .  
  5. ^ Куинн, Ф. (1996). «Проблемы низкоразмерной топологии». In Ranicki, A .; Ямасаки М. (ред.). Хирургия и геометрическая топология: Материалы конференции, состоявшейся в Университете Дзосай, Сакадо, сентябрь 1996 г. (PDF) . С. 97–104.
  • Дональдсон, Саймон К. (1983), "Применение калибровочной теории к четырехмерной топологии", Журнал дифференциальной геометрии , 18 (2): 279-315, DOI : 10,4310 / Jdg / 1214437665
  • Дональдсон, Саймон К .; Кронхеймер, Питер Б. (1997), Геометрия четырехмерных многообразий , Оксфордские математические монографии, Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 0-19-850269-9
  • Фрид, Дэниел С .; Уленбек, Карен К. (1984), Инстантоны и четырехмерные многообразия , Публикации научно-исследовательского института математических наук, 1 , Springer-Verlag, Нью-Йорк, DOI : 10.1007 / 978-1-4684-0258-2 , ISBN 0-387-96036-8, MR  0757358
  • Фридман, Майкл Хартли (1982), "Топология четырехмерных многообразий" , Журнал дифференциальной геометрии , 17 (3): 357-453, DOI : 10,4310 / Судьи / 1214437136 , MR  0679066
  • Фридман, Майкл Х .; Куинн, Франк (1990), Топология 4-многообразий , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 0-691-08577-3
  • Фурута, Mikio (2001), "Монополь Уравнение и 11/8-гипотеза" (PDF) , Математический Research Letters , 8 : 279-291, DOI : 10,4310 / mrl.2001.v8.n3.a5 , МР  1839478
  • Кирби, Robion C. (1989), топология 4-многообразий , Лекции по математике, 1374 , Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / BFb0089031 , ISBN 978-3-540-51148-9, MR  1001966
  • Гомпф, Роберт Э .; Стипсич, Андраш И. (1999), 4-многообразия и исчисление Кирби , Grad. Исследования в области математики, 20 , Американское математическое общество , MR  1707327
  • Кирби, RC; Тейлор, Л. Р. (1998). «Обзор 4-многообразий глазами хирургии». arXiv : math.GT/9803101 .
  • Мандельбаум, Р. (1980), "Четырехмерная топология: введение" , Bull. Амер. Математика. Soc. , 2 : 1-159, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1980-14687-X ,
  • Матвеев, С.В. (2001) [1994], "Четырехмерные многообразия" , Энциклопедия математики , EMS Press
  • Скорпан, А. (2005), Дикий мир 4-многообразий , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3749-4