В математике , то спинорная понятие как специализироваться на трех измерения можно лечить с помощью традиционных понятий скалярного произведения и векторного произведения . Это часть подробного алгебраического обсуждения группы вращений SO (3) .
Формулировка [ править ]
Ассоциация спинора с комплексной эрмитовой матрицей 2 × 2 была сформулирована Эли Картаном . [1]
Подробно, учитывая вектор x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) действительных (или комплексных) чисел, можно связать комплексную матрицу
В физике это часто записывается как скалярное произведение , где - векторная форма матриц Паули . Матрицы этой формы обладают следующими свойствами, которые внутренне связывают их с геометрией 3-мерного пространства:
- det X = - (длина x ) 2 , где "det" обозначает определитель .
- X 2 = (длина x ) 2 I , где I - единичная матрица.
- [1] : 43
- где Z - матрица, ассоциированная с кросс-произведением z = x × y .
- Если u - единичный вектор, то - UXU - это матрица, связанная с вектором, полученным из x путем отражения в плоскости, ортогональной u .
- Это элементарный факт из линейной алгебры, что любое вращение в 3-м пространстве представляет собой композицию двух отражений. (Аналогично, любое ортогональное преобразование с изменением ориентации является либо отражением, либо произведением трех отражений.) Таким образом, если R - это вращение, которое разлагается как отражение в плоскости, перпендикулярной единичному вектору u 1, за которым следует отражение в плоскости, перпендикулярной к U 2 , то матрица U 2 U 1 XU 1 U 2 представляет собой поворот вектора х через R .
Эффективно закодировав всю вращательную линейную геометрию 3-пространства в набор комплексных матриц 2 × 2, естественно спросить, какую роль, если таковая имеется, играют матрицы 2 × 1 (т. Е. Векторы-столбцы ). Условно спинор - это вектор-столбец
- с комплексными элементами ξ 1 и ξ 2 .
На пространство спиноров, очевидно, действуют комплексные матрицы 2 × 2. Кроме того, произведение двух отражений в данной паре единичных векторов определяет матрицу 2 × 2, действие которой на евклидовы векторы является вращением, поэтому есть действие вращений на спиноры. Однако есть одно важное предостережение: факторизация вращения не уникальна. Ясно, что если X → RXR −1 является представлением вращения, то замена R на - R даст такое же вращение. Фактически, легко показать, что это единственная возникающая двусмысленность. Таким образом, действие вращения на спинор всегда двузначно .
Были некоторые предшественники работы Картана с комплексными матрицами 2 × 2: Вольфганг Паули использовал эти матрицы настолько интенсивно, что элементы определенного базиса четырехмерного подпространства называются матрицами Паули σ i , так что эрмитова матрица записывается как Вектор Паули [2] В середине 19 века алгебраические операции этой алгебры четырех комплексных измерений изучались как бикватернионы .
Согласно книге Майкла Стоуна и Пола Голдбара «Математика для физики», «представления спина были открыты Эли Картаном в 1913 году, за несколько лет до того, как они стали нужны в физике», что противоречит приведенному выше утверждению о предшественнике теории Картана. работа, сделанная Паули.
Изотропные векторы [ править ]
Спиноры могут быть построены непосредственно из изотропных векторов в трехмерном пространстве без использования кватернионной конструкции. Чтобы мотивировать это введение спиноров, предположим, что X - матрица, представляющая вектор x в комплексном 3-пространстве. Предположим далее, что x изотропен: т. Е.
Тогда, поскольку определитель X равен нулю, существует пропорциональность между его строками или столбцами. Таким образом, матрица может быть записана как внешнее произведение двух комплексных 2-векторов:
Эта факторизация дает переопределенную систему уравнений относительно координат вектора x :
( 1 )
при условии ограничения
( 2 )
Эта система допускает решения
( 3 )
Любой выбор знака решает систему ( 1 ). Таким образом, спинор можно рассматривать как изотропный вектор наряду с выбором знака. Обратите внимание, что из-за логарифмического ветвления невозможно выбрать знак последовательно, чтобы ( 3 ) непрерывно изменялось при полном повороте между координатами x . Несмотря на эту неоднозначность представления вращения на спиноре, вращения действительно действуют однозначно посредством дробно-линейного преобразования отношения ξ 1 : ξ 2, поскольку один выбор знака в решении ( 3 ) вынуждает выбирать второй знак. В частности, пространство спиноров - этопроективное представление ортогональной группы.
Вследствие этой точки зрения спиноры можно рассматривать как своего рода «квадратный корень» из изотропных векторов. В частности, вводя матрицу
система ( 1 ) эквивалентна решению X = 2 ξ t ξ C для неопределенного спинора ξ .
Тем более , если роли ξ и x теперь поменяны местами, форма Q ( ξ ) = x определяет для каждого спинора ξ вектор x квадратично по компонентам ξ . Если эта квадратичная форма поляризована , она определяет билинейную вектор-форму на спинорах Q ( μ , ξ ). Затем эта билинейная форма тензорно трансформируется при отражении или вращении.
Реальность [ править ]
Приведенные выше соображения одинаково хорошо применимы независимо от того, является ли рассматриваемое исходное евклидово пространство реальным или сложным. Однако, когда пространство реально, спиноры обладают некоторой дополнительной структурой, которая, в свою очередь, облегчает полное описание представления группы вращений. Предположим, для простоты, что скалярный продукт в 3-м пространстве имеет положительно определенную сигнатуру:
( 4 )
Согласно этому соглашению действительные векторы соответствуют эрмитовым матрицам. Кроме того, действительные повороты, сохраняющие вид ( 4 ), соответствуют (в двузначном смысле) унитарным матрицам детерминантной единицы. Говоря современным языком, это представляет особую унитарную группу SU (2) как двойное покрытие SO (3). Как следствие, спинорное эрмитово произведение
( 5 )
сохраняется при всех поворотах и поэтому является каноническим.
Если, однако, подпись внутреннего продукта в 3-м пространстве неопределенная (то есть невырожденная, но также не положительно определенная), то предшествующий анализ должен быть скорректирован, чтобы отразить это. Предположим тогда, что форма длины в 3-пространстве задается следующим образом:
( 4 ' )
Затем продолжается построение спиноров из предыдущих разделов, но с заменой x 2 ix 2 во всех формулах. Согласно этому новому соглашению, матрица, связанная с действительным вектором ( x 1 , x 2 , x 3 ), сама по себе является реальной:
- .
Форма ( 5 ) больше не инвариантна относительно действительного вращения (или поворота), поскольку группа, стабилизирующая ( 4 ′ ), теперь является группой Лоренца O (2,1). Вместо этого антиэрмитская форма
определяет соответствующее понятие внутреннего продукта для спиноров в этой метрической сигнатуре. Эта форма инвариантна относительно преобразований в связной компоненте тождества O (2,1).
В любом случае форма четвертой степени
полностью инвариантно относительно O (3) (или O (2,1) соответственно), где Qявляется векторной билинейной формой, описанной в предыдущем разделе. Тот факт, что это инвариант квартики, а не квадратичный, имеет важное следствие. Если ограничиться группой специальных ортогональных преобразований, то можно однозначно извлечь квадратный корень из этой формы и получить отождествление спиноров с их двойниками. На языке теории представлений это означает, что существует только одно неприводимое спиновое представление SO (3) (или SO (2,1)) с точностью до изоморфизма. Если, однако, инверсии (например, отражения в плоскости) также разрешены, тогда уже невозможно отождествлять спиноры с их двойниками из-за изменения знака при применении отражения. Таким образом, существует два неприводимых спиновых представления O (3) (или O (2,1)), иногда называемыхбулавочные представления .
Структуры реальности [ править ]
Различия между этими двумя сигнатурами могут быть систематизированы с помощью понятия структуры реальности в пространстве спиноров. Неформально, это рецепт для приема комплексного конъюгата спинора, но таким образом, что он может не соответствовать обычному конъюгату по компонентам спинора. В частности, структура реальности задается эрмитовой матрицей K 2 × 2 , произведение которой на себя является единичной матрицей: K 2 = Id . Сопряжение спинора относительно структуры реальности K определяется формулой
Конкретная форма внутреннего продукта на векторах (например, ( 4 ) или ( 4 ' )) определяет структуру реальности (с коэффициентом -1), требуя
- , всякий раз, когда X является матрицей, связанной с действительным вектором.
Таким образом, K = i C - структура реальности в евклидовой сигнатуре ( 4 ), а K = Id - это структура для сигнатуры ( 4 ′ ). Имея в руках структуру реальности, можно получить следующие результаты:
- X - это матрица, связанная с действительным вектором тогда и только тогда, когда ,.
- Если μ и ξ спинор, то скалярное произведение
- определяет эрмитову форму, инвариантную относительно собственных ортогональных преобразований.
Примеры в физике [ править ]
Спиноры спиновых матриц Паули [ править ]
Часто первым примером спиноров, с которыми сталкивается изучающий физику, являются спиноры 2 × 1, используемые в теории электронного спина Паули. В матрицы Паули являются вектор из трех 2 × 2 матриц , используемых в качестве спиновых операторов .
Учитывая единичный вектор в 3-х измерениях, например ( a , b , c ), нужно взять скалярное произведение со спин-матрицами Паули, чтобы получить спин-матрицу для вращения в направлении единичного вектора.
Собственные векторы этой спиновой матрицы - это спиноры для спина 1/2, ориентированные в направлении, заданном вектором.
Пример: u = (0,8, -0,6, 0) - единичный вектор. Расстановка точек со спиновыми матрицами Паули дает матрицу:
Собственные векторы могут быть найдены обычными методами линейной алгебры , но удобный прием состоит в том, чтобы заметить, что матрица спина Паули является инволютивной матрицей , то есть квадрат указанной выше матрицы является единичной матрицей .
Таким образом, (матричное) решение проблемы собственных векторов с собственными значениями ± 1 есть просто 1 ± S u . То есть,
Затем можно выбрать любой из столбцов матрицы собственных векторов в качестве векторного решения при условии, что выбранный столбец не равен нулю. Взяв первый столбец вышеупомянутого, решения по собственным векторам для двух собственных значений:
Уловка, используемая для нахождения собственных векторов, связана с концепцией идеалов , то есть собственные векторы матрицы (1 ± S u ) / 2 являются проекционными операторами или идемпотентами и, следовательно, каждый порождает идеал в алгебре Паули. Тот же прием работает в любой алгебре Клиффорда , в частности в алгебре Дирака, которая обсуждается ниже. Эти операторы проекции также встречаются в теории матриц плотности, где они являются примерами чистых матриц плотности.
В более общем смысле, оператор проекции для спина в направлении ( a , b , c ) задается следующим образом:
и любой ненулевой столбец можно взять в качестве оператора проекции. В то время как две колонны появляются разные, можно использовать 2 + б 2 + C 2 = 1 , чтобы показать , что они являются кратными (возможно , ноль) одного и того же спинором.
Общие замечания [ править ]
В атомной физике и квантовой механике свойство спина играет важную роль. В дополнение к своим другим свойствам все частицы обладают неклассическим свойством, т. Е. Которому нет никакого соответствия в традиционной физике, а именно спином , который является своего рода собственным угловым моментом . В позиционном представлении вместо волновой функции без спина, ψ = ψ ( r ), мы имеем со спином: ψ = ψ ( r , σ ), где σ принимает следующий дискретный набор значений:
- .
Полный угловой момент оператор , частица соответствует сумме от орбитального углового момента (т.е. там только целые числа допускается) и внутренняя часть , то спина . Различают бозоны (S = 0, ± 1, ± 2, ...) и фермионы (S = ± 1/2, ± 3/2, ± 5/2, ...).
См. Также [ править ]
- Сфера Блоха
Ссылки [ править ]
- ^ a b Картан, Эли (1981) [1938], Теория спиноров , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-64070-9, MR 0631850
- ^ Вектор Паули - формальный прием. Его можно рассматривать как элемент M 2 (ℂ) ⊗ ℝ 3 , где пространство тензорного произведения наделено отображением ⋅: ℝ 3 × M 2 (ℂ) ⊗ ℝ 3 → M 2 (ℂ) .