Поляризация алгебраической формы

В математике , в частности в алгебре , поляризация - это метод более простого выражения однородного многочлена путем присоединения большего количества переменных. В частности, для данного однородного полинома поляризация дает полилинейную форму, из которой можно восстановить исходный полином путем вычисления по определенной диагонали.

Хотя техника обманчиво проста, она имеет применение во многих областях абстрактной математики: в частности , к алгебраической геометрии , теории инвариантов и теории представлений . Поляризация и связанные с ней методы составляют основу теории инвариантов Вейля .

Техника [ править ]

Основные идеи заключаются в следующем. Пусть f ( u ) - многочлен от n переменных u = ( u ₁ , u ₂ , ..., u _n ). Предположим, что f однородна степени d , что означает, что

f ( t u ) = t ^d f ( u ) для всех t .

Пусть u ⁽¹⁾ , u ⁽²⁾ , ..., u ^{( d )} - набор неопределенных с u ^{( i )} = ( u ₁ ^{( i )} , u ₂ ^{( i )} , ..., u _n ^{( i )} ), так что всего dn переменных. Полярная форма из F является многочленом

F ( u ⁽¹⁾ , u ⁽²⁾ , ..., u ^{( d )} )

который является линейным отдельно по каждому u ^{( i )} (т. е. F является полилинейным), симметричным по u ^{( i )} и таким, что

F ( u , u , ..., u ) = f ( u ).

Полярная форма f задается следующей конструкцией

${\ Displaystyle F ({\ mathbf {u}} ^ {(1)}, \ точки, {\ mathbf {u}} ^ {(d)}) = {\ frac {1} {d!}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ lambda _ {1}}} \ dots {\ frac {\ partial} {\ partial \ lambda _ {d}}} f (\ lambda _ {1} {\ mathbf {u} } ^ {(1)} + \ dots + \ lambda _ {d} {\ mathbf {u}} ^ {(d)}) | _ {\ lambda = 0}.}$

Другими словами, F является постоянным кратным коэффициенту при λ ₁ λ ₂ ... λ _d в разложении f ( λ ₁ u ⁽¹⁾ + ... + λ _d u ^{( d )} ).

Примеры [ править ]

• Предположим, что x = ( x , y ) и f ( x ) - квадратичная форма

${\ displaystyle f ({\ mathbf {x}}) = x ^ {2} + 3xy + 2y ^ {2}.}$

Тогда поляризация f является функцией от x ⁽¹⁾ = ( x ⁽¹⁾ , y ⁽¹⁾ ) и x ⁽²⁾ = ( x ⁽²⁾ , y ⁽²⁾ ), задаваемой формулой

${\ Displaystyle F ({\ mathbf {x}} ^ {(1)}, {\ mathbf {x}} ^ {(2)}) = x ^ {(1)} x ^ {(2)} + { \ frac {3} {2}} x ^ {(2)} y ^ {(1)} + {\ frac {3} {2}} x ^ {(1)} y ^ {(2)} + 2y ^ {(1)} y ^ {(2)}.}$

• В более общем смысле, если f представляет собой любую квадратичную форму, то поляризация f согласуется с выводом о поляризационной идентичности .
• Кубический пример. Пусть f ( x , y ) = x ³ + 2 xy ² . Тогда поляризация f определяется выражением

${\displaystyle F(x^{(1)},y^{(1)},x^{(2)},y^{(2)},x^{(3)},y^{(3)})=x^{(1)}x^{(2)}x^{(3)}+{\frac {2}{3}}x^{(1)}y^{(2)}y^{(3)}+{\frac {2}{3}}x^{(3)}y^{(1)}y^{(2)}+{\frac {2}{3}}x^{(2)}y^{(3)}y^{(1)}.}$

Математические детали и последствия [ править ]

Поляризация однородного многочлена степени d справедлива над любым коммутативным кольцом, в котором d ! это единица. В частности, это имеет место над любым полем из характеристики нуля или характеристика которого строго больше г .

Изоморфизм поляризации (по степени) [ править ]

Для простоты, пусть к быть полем нулевой характеристики и пусть = к [ х ] является кольцом многочленов в п переменных над к . Тогда является градуированным по степени , так что

${\displaystyle A=\bigoplus _{d}A_{d}.}$

Тогда поляризация алгебраических форм индуцирует изоморфизм векторных пространств в каждой степени

${\displaystyle A_{d}\cong \operatorname {Sym} ^{d}k^{n}}$

где Sym ^d представляет собой D -й симметричную мощность из п - мерное пространство к ^п .

Эти изоморфизмы можно выразить независимо от базиса следующим образом. Если V - конечномерное векторное пространство и A - кольцо k- значных полиномиальных функций на V , градуированных по однородной степени, то поляризация дает изоморфизм

${\displaystyle A_{d}\cong \operatorname {Sym} ^{d}V^{*}.}$

Алгебраический изоморфизм [ править ]

Кроме того, поляризация совместима с алгебраической структурой на A , так что

${\displaystyle A\cong \operatorname {Sym} ^{\cdot }V^{*}}$

где Sym ^⋅ V ^∗ - полная симметрическая алгебра над V ^∗ .

Замечания [ править ]

• Для полей положительной характеристики p указанные выше изоморфизмы применимы, если градуированные алгебры усекаются до степени p - 1 .
• Существуют обобщения, когда V - бесконечномерное топологическое векторное пространство .

Ссылки [ править ]

• Клаудио Прочези (2007) Группы Ли: подход через инварианты и представления , Springer, ISBN  9780387260402 .