Линейное дробное преобразование

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Март 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , А дробно - линейное преобразование , грубо говоря, преобразование вида

{\ displaystyle z \ mapsto {\ frac {az + b} {cz + d}},}

который имеет обратное . Точное определение зависит от природы $a, b, c, d$ и $z$ . Другими словами, дробно-линейное преобразование - это преобразование , которое представлено дробью , числитель и знаменатель которой линейны .

В большинстве случаев $a, b, c, d$ и $z$ являются комплексными числами (в этом случае преобразование также называется преобразованием Мёбиуса ) или, в более общем смысле, элементами поля . Тогда условие обратимости $ad - bc \neq 0$ . Над полем, дробно - линейное отображение является ограничение на поле проективного преобразования или омографии из проективной прямой .

Когда $a, b, c, d$ являются целыми числами (или, в более общем смысле, принадлежат области целостности ), предполагается , что $z$ является рациональным числом (или принадлежит области дробей области целостности. В этом случае Условие обратимости состоит в том, что $ad - bc$ должна быть единицей области (т. е.1 или−1 в случае целых чисел). ^[1]

В наиболее общем случае $a, b, c, d$ и $z$ представляют собой квадратные матрицы или, в более общем смысле, элементы кольца . Примером такого дробно-линейного преобразования является преобразование Кэли , которое изначально было определено на кольце вещественных матриц 3 x 3 .

Дробно - линейные преобразования широко используются в различных областях математики и ее приложения в технике, например, классической геометрии , теории чисел (они используются, например, в доказательстве Уайлс о Великая теорема Ферма ), теории групп , теории управления .

Общее определение [ править ]

В общем, дробно - линейное преобразование является гомография Р ( А ), на проективной прямой над кольцом A . Когда A - коммутативное кольцо , дробно-линейное преобразование имеет знакомый вид

{\ displaystyle z \ mapsto {\ frac {az + b} {cz + d}},}

где $,$ $Ь$ $,$ $с$ $,$ $d$ являются элементами A , так что $объявления$ $-$ $Ьс$ является блок из А (то есть $объявления$ $-$ $Ьс$ имеет мультипликативный обратный в A )

В некоммутативном кольца А , с ( г, т ) в А ² , блоки U определить отношение эквивалентности An класс эквивалентности в проективной прямой над A записывается U [ г, т ] , где скобки обозначают проекционные координаты . Тогда справа от элемента P ( A ) действуют дробно-линейные преобразования : ${\ displaystyle (z, t) \ sim (uz, ut).}$

{\ Displaystyle U [z, t] {\ begin {pmatrix} a & c \\ b & d \ end {pmatrix}} = U [za + tb, \ zc + td] \ sim U [(zc + td) ^ {- 1 } (za + tb), \ 1].}

Кольцо вложено в свою проективную прямую посредством z → U [ z , 1], поэтому t = 1 восстанавливает обычное выражение. Это дробно-линейное преобразование хорошо определено, поскольку U [ za + tb , zc + td ] не зависит от того, какой элемент выбран из его класса эквивалентности для операции.

Дробно-линейные преобразования образуют группу , обозначаемую ${\ displaystyle \ operatorname {PGL} _ {1} (A).}$

Группа дробно-линейных преобразований называется модулярной группой . Он широко изучался из-за его многочисленных приложений к теории чисел , включая, в частности, доказательство Великой теоремы Ферма Уайлсом . ${\ Displaystyle \ OperatorName {PGL} _ {1} (\ mathbb {Z})}$

Использование в гиперболической геометрии [ править ]

В комплексной плоскости обобщен круг является либо прямой или окружности. Когда завершается бесконечно удаленная точка, обобщенные круги на плоскости соответствуют окружностям на поверхности сферы Римана , выражению комплексной проективной линии. Дробно-линейные преобразования переставляют эти окружности на сфере и соответствующие конечные точки обобщенных окружностей на комплексной плоскости.

Для построения моделей гиперболической плоскости единичный диск и верхняя полуплоскость используются для представления точек. Эти подмножества комплексной плоскости снабжены метрикой с метрикой Кэли-Клейна . Затем вычисляется расстояние между двумя точками с использованием обобщенного круга, проходящего через точки и перпендикулярного границе подмножества, используемого для модели. Этот обобщенный круг пересекает границу в двух других точках. Все четыре точки используются в перекрестном соотношении, которое определяет метрику Кэли-Клейна. Дробно-линейные преобразования оставляют неизменным поперечное отношение, поэтому любое дробно-линейное преобразование, при котором единичный диск или верхние полуплоскости остаются стабильными, является изометрией.метрического пространства гиперболической плоскости . Поскольку Анри Пуанкаре объяснил эти модели, они были названы в его честь: модель диска Пуанкаре и модель полуплоскости Пуанкаре . Каждая модель имеет группу изометрий, которая является подгруппой группы Мебиуса : группа изометрий для модели диска - это SU (1, 1), где дробно-линейные преобразования являются «специальными унитарными», а для верхней полуплоскости изометрия группа - это PSL (2, R), проективная линейная группа дробно-линейных преобразований с вещественными элементами и определителем, равным единице. ^[2]

Использование в высшей математике [ править ]

Мёбиус преобразование обычно появляется в теории цепных дробей , а в аналитической теории чисел из эллиптических кривых и модулярных форм , так как она описывает автоморфизмы верхней полуплоскости под действием модулярной группы . Он также предоставляет канонический пример расслоения Хопфа , где геодезический поток, индуцированный дробно-линейным преобразованием, разбивает комплексное проективное пространство на стабильные и неустойчивые многообразия , причем орициклы появляются перпендикулярно геодезическим. Увидеть поток Аносова для рабочего примера расслоения: в этом примере геодезические задаются дробно-линейным преобразованием

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ cdot i \ exp (t) = {\ frac {ai \ exp (t) + b} {ci \ exp (t) + d }}}

с а , б , в и г реальные, с . Грубо говоря, центральное многообразие порождается параболическими преобразованиями , неустойчивое многообразие - гиперболическими преобразованиями, а устойчивое многообразие - эллиптическими преобразованиями. ${\ displaystyle ad-bc = 1}$

Использование в теории управления [ править ]

Линейные дробные преобразования широко используются в теории управления для решения проблем взаимосвязи между установкой и контроллером в машиностроении и электротехнике . ^[3]^[4] Общая процедура комбинирования дробно-линейных преобразований со звездным произведением Редхеффера позволяет применять их к теории рассеяния общих дифференциальных уравнений, включая S-матрицуподход в квантовой механике и квантовой теории поля, рассеяние акустических волн в средах (например, термоклины и подводные лодки в океанах и т. д.) и общий анализ рассеяния и связанных состояний в дифференциальных уравнениях. Здесь компоненты матрицы 3x3 относятся к входящему, связанному и исходящему состояниям. Возможно, самый простой пример применения дробно-линейных преобразований происходит при анализе затухающего гармонического осциллятора . Другое простое приложение - получение нормальной формы Фробениуса , то есть сопутствующей матрицы многочлена.

Конформное свойство [ править ]

Коммутативные кольца разделенных комплексных чисел и двойственных чисел присоединяются к обычным комплексным числам как кольца, выражающие угол и «вращение». В каждом случае экспоненциальное отображение, примененное к мнимой оси, производит изоморфизм между однопараметрическими группами в ( A , +) и в группе единиц ( U , ×): ^[5]

{\ Displaystyle \ ехр (YJ) = \ сш у + J \ зп у, \ четырехъядерный J ^ {2} = + 1,}

{\ Displaystyle \ ехр (у \ эпсилон) = 1 + у \ эпсилон, \ квад \ эпсилон ^ {2} = 0,}

\exp(yi)=\cos y+i\sin y,\quad i^{2}=-1.

«Угол» y - это гиперболический угол , наклон или круговой угол в зависимости от основного кольца.

Показано, что дробно-линейные преобразования являются конформными отображениями с учетом их образующих : мультипликативного обращения z → 1 / z и аффинных преобразований z → az + b . Соответствие можно подтвердить, продемонстрировав, что все генераторы конформны. Перевод z → z + b - это изменение начала координат и не влияет на угол. Для того, чтобы видеть , что г → аз конформно, рассмотрим полярное разложение по и г. В каждом случае угол a добавляется к углу z, в результате чего получается конформная карта. Наконец, инверсия конформна, поскольку z → 1 / z отправляет $\exp(yb)\mapsto \exp(-yb),\quad b^{2}=1,0,-1.$

См. Также [ править ]

Дробно-линейное программирование
Методы H-бесконечности в теории управления

Ссылки [ править ]

^ NJ Янг (1984) " Дробно- линейные преобразования в кольцах и модулях" , Линейная алгебра и ее приложения 56: 251–90
^ CL Siegel (А. Шеницер и М. Треткофф, переводчики) (1971) Темы в теории сложных функций , том 2, Wiley-Interscience ISBN 0-471-79080 X
^ Джон Дойл, Энди Паккард, Кемин Чжоу, «Обзор LFT, LMI и mu», (1991) Труды 30-й конференции по принятию решений и контролю [1]
^ Хуан К. Кокберн, "Многомерные реализации систем с параметрической неопределенностью" [2]
^ Кисиль, Владимир (2012). Геометрия преобразований Мёбиуса. Эллиптическое, параболическое и гиперболическое действия SL (2, R) . Лондон: Imperial College Press. п. xiv + 192. DOI : 10,1142 / P835 . ISBN 978-1-84816-858-9. Руководство по ремонту 2977041 .

Б.А. Дубровин, А.Т. Фоменко, С.П. Новиков (1984) Современная геометрия - методы и приложения , том 1, глава 2, §15 Конформные преобразования евклидова и псевдоевклидова пространств нескольких измерений, Springer-Verlag ISBN 0-387-90872-2 .
Джеффри Фокс (1949) Элементарная теория гиперкомплексной переменной и теория конформного отображения в гиперболической плоскости , магистерская диссертация, Университет Британской Колумбии .
PG Gormley (1947) "Стереографическая проекция и дробно-линейная группа преобразований кватернионов", Труды Королевской Ирландской Академии , Раздел A 51: 67–85.
AE Motter & MAF Rosa (1998) "Гиперболическое исчисление", Успехи в прикладных алгебрах Клиффорда 8 (1): 109–28, §4 Конформные преобразования, стр. 119.
Цурусабуро Такасу (1941) Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie, 2 , Proceedings of the Imperial Academy 17 (8): 330–8, ссылка из Project Euclid , MR 14282
Исаак Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии , страницы 130 и 157, Academic Press

[1] NJ Янг (1984) " Дробно- линейные преобразования в кольцах и модулях" , Линейная алгебра и ее приложения 56: 251–90

[2] CL Siegel (А. Шеницер и М. Треткофф, переводчики) (1971) Темы в теории сложных функций , том 2, Wiley-Interscience ISBN 0-471-79080 X

[3] Джон Дойл, Энди Паккард, Кемин Чжоу, «Обзор LFT, LMI и mu», (1991) Труды 30-й конференции по принятию решений и контролю [1]

[4] Хуан К. Кокберн, "Многомерные реализации систем с параметрической неопределенностью" [2]

[5] Кисиль, Владимир (2012). Геометрия преобразований Мёбиуса. Эллиптическое, параболическое и гиперболическое действия SL (2, R) . Лондон: Imperial College Press. п. xiv + 192. DOI : 10,1142 / P835 . ISBN 978-1-84816-858-9. Руководство по ремонту 2977041 .

[1]