В математике , то проективная прямая над кольцом является продолжением концепции проективной прямой над полем . Для кольца A с единицей проективная прямая P ( A ) над A состоит из точек, идентифицируемых проективными координатами . Пусть U является группа единиц из А ; пары ( a, b ) и ( c, d ) из A × A связаны, когда существует u в U такое, что ua = cи ub = d . Это отношение является отношением эквивалентности . Типичный класс эквивалентности записывается как U [ a, b ].
Р ( ) = { U [ а, Ь ]: аА + ЬО = }, то есть U [ а, Ь ] находится в проективной линии , если идеал , порожденный и б все из A .
Проективная прямая P ( A ) снабжена группой гомографий . В homographies выражается посредством использования матричного кольца над А и его группой единиц V следующим образом : Если с в Z ( U ), то центр из U , то действие группы матрицына P ( A ) совпадает с действием единичной матрицы. Такие матрицы представляют собой нормальную подгруппу N в V . В homographies Р ( А ) соответствуют элементам фактор группы V / N .
P ( A ) считается расширением кольца A, поскольку оно содержит копию A из-за вложения E : a → U [ a , 1] . Мультипликативный обратное отображение U → 1 / U , обычно ограничивается группе единиц U из А , выражается омографии на P ( A ):
Кроме того, для u , v ∈ U отображение a → uav продолжается до гомографии:
Поскольку u произвольно, его можно заменить на u −1 . Гомографии на P ( A ) называются дробно-линейными преобразованиями, поскольку
Экземпляры
Кольца, которые являются полями , наиболее известны: проективная прямая над GF (2) состоит из трех элементов: U [0,1], U [1,0] и U [1,1]. Его группа гомографии - это группа перестановок на этих трех. [1] : 29
Кольцо Z / 3 Z , или GF (3), имеет элементы 1, 0 и −1; его проективная прямая состоит из четырех элементов: U [1,0], U [1,1], U [0,1], U [1, −1], поскольку и 1, и −1 являются единицами . Группа гомографии на этой проективной прямой состоит из 12 элементов, также описываемых матрицами или перестановками. [1] : 31 Для конечного поля GF ( q ) проективная прямая - это геометрия Галуа PG (1, q ). JWP Hirschfeld описал гармонические тетрады в проективных прямых для q = 4, 5, 7, 8, 9. [2]
Над конечными кольцами
Рассмотрим P ( Z / n Z ), когда n - составное число . Если p и q - различные простые числа, делящие n , то < p > и < q > - максимальные идеалы в Z / n Z и по тождеству Безу существуют a и b в Z такие, что ap + bq = 1 , так что U [ p , q ] находится в P ( Z / n Z ), но не является образом элемента при каноническом вложении. Вся P ( Z / п Z ) заполняется элементами U [ вверх , VQ ], U ≠ v , U , V ∈ U = единицы Z / н Z . Примеры Z / n Z приведены здесь для n = 6, 10 и 12, где в соответствии с модульной арифметикой группа звеньев кольца U = {1,5}, U = {1,3,7,9 } и U = {1,5,7,11} соответственно. Модульная арифметика подтвердит, что в каждой таблице данная буква представляет несколько точек. В этих таблицах точка U [ m , n ] обозначена буквой m в строке внизу таблицы и n в столбце слева от таблицы. Например, бесконечно удаленная точка A = U [ v , 0], где v - единица кольца.
|
|
|
Дополнительные точки могут быть связаны с Q ⊂ R ⊂ C , рациональными числами в расширенной комплексной верхней полуплоскости . Группа гомографий на P ( Z / n Z ) называется главной конгруэнтной подгруппой . [3]
Над топологическими кольцами
Проективная прямая над телом дает единственную вспомогательную точку ∞ = U [1,0] . Примеры включают реальную проективную линию , комплексную проективную линию и проективную линию над кватернионами . Эти примеры топологических колец имеют проективную прямую в качестве своей одноточечной компактификации . Случай комплексных чисел поля C имеет группу Мебиуса в качестве своей омографии группы. Для рациональных чисел Q однородность координат означает, что каждый элемент P ( Q ) может быть представлен элементом P ( Z ). Точно так же гомография P ( Q ) соответствует элементу модулярной группы , автоморфизму P ( Z ).
Проективная прямая над двумя числами был описан Josef Грюнвальд в 1906. [4] Это кольцо включает в себя ненулевой нильпотентный п удовлетворяющий пп = 0 . Плоскость { г = х + уп : х , у ∈ R } двойных чисел имеет проективное линию , включающую в себя линии точек U [1, х ], х ∈ R . [5] Яглом описали его как «инверсивную галилеевую плоскость» , которая имеет топологию в виде цилиндра , когда дополнительная линия включена. [6] : 149-53 Аналогично, если является локальное кольцо , то Р ( ) образована прилегающих точек , соответствующих элементам максимального идеала из А .
Проективная прямая над кольцом M из сплит-комплексных чисел вводит вспомогательные линии { U [1, х (1 + J)]: х ∈ R } и { U [1, х (1 - к)]: х ∈ R } . С помощью стереографической проекции плоскость расщепленных комплексных чисел замыкается этими линиями на гиперболоид из одного листа. [6] : 174–200 [7] Проективную прямую над M можно назвать плоскостью Минковского, если она характеризуется поведением гипербол при гомографическом отображении.
Цепи
Реальная линия в комплексной плоскости получает переставляются с кругами и других реальных линий при преобразованиях Мёбиуса , которые на самом деле переставить каноническое вложение вещественной проективной прямой в комплексной проективной прямой . Предположим, что A - алгебра над полем F , обобщая случай, когда F - поле действительных чисел, а A - поле комплексных чисел . Каноническое вложение P ( F ) в P ( A ) есть
Цепью является изображением P ( F ) под омографией на P ( A ). Четыре точки лежат на одной цепи , если и только если их поперечное соотношение в F . Карл фон Штаудт использовал это свойство в своей теории «настоящих ударов» [reeler Zug]. [8]
Точечный параллелизм
Две точки P ( A ) параллельны, если их не соединяет цепь. Было принято соглашение, что точки параллельны сами себе. Это отношение инвариантно относительно действия гомографии на проективной прямой. Учитывая три попарно непараллельных точки, существует уникальная цепочка, соединяющая их. [9]
Модули
Проективная прямая P ( A ) над кольцом A также может быть идентифицирована как пространство проективных модулей в модуле . Элемент P ( A ) является тогда прямым слагаемым из. Этот более абстрактный подход следует виду проективной геометрии как геометрии подпространств одного векторного пространства , иногда связанных с теорией решетки из Garrett Биркгофа [10] или книгой линейной алгебры и проективная геометрия по Reinhold Baer . В случае кольца целых рациональных чисел Z определение модульного слагаемого для P ( Z ) сужает внимание к U [ m, n ], m, взаимно простому с n , и отбрасывает вложения, которые являются основной особенностью P ( A ) когда A топологичен. В статье 1981 г. W. Benz, Hans-Joachim Samaga и Helmut Scheaffer упоминается определение прямого слагаемого.
В статье «проективные представления: проекционные линии над кольцами» [11] группа единиц одного матричного кольцо М 2 ( R ) и понятий модуля и бимодуль используется для определения проективной линии над кольцом. Группа единиц обозначается GL (2, R ), принимая обозначения из общей линейной группы , где R обычно считается полем.
Проективная линия множество орбит под GL (2, R ) свободный циклический подмодуль R (1,0) в R × R . Расширяя коммутативную теорию Бенца, существование правого или левого мультипликативного обратного элемента кольца связано с P ( R ) и GL (2, R ). Дедекинду конечное свойство характеризуется. Наиболее важно то, что представление P ( R ) в проективном пространстве над телом K осуществляется с помощью ( K , R ) -бимодуля U, который является левым K -векторным пространством и правым R -модулем. Точки P ( R ) - это подпространства в P ( K , U × U ), изоморфные своим дополнениям.
Перекрестное соотношение
Гомография h, которая переводит три конкретных элемента кольца a , b , c в точки проективной прямой U [0,1], U [1,1], U [1,0], называется гомографией с перекрестными отношениями . Иногда [12] [13] перекрестное отношение принимается как значение h в четвертой точке x : ( x , a , b , c ) = h ( x ) .
Чтобы построить h из a , b , c, образующие омографии
используются, обращая внимание на неподвижные точки : +1 и −1 фиксируются при инверсии, U [1,0] фиксируются при переносе, а «вращение» с u оставляет U [0,1] и U [1,0] ] фиксированный. Инструкции заключаются в том, чтобы сначала поместить c , затем привести a к U [0,1] с перемещением и, наконец, использовать вращение для перемещения b к U [1,1].
Лемма: если A - коммутативное кольцо и b - a , c - b , c - a - все единицы, то
- это единица.
доказательство: очевидно единица, как требуется.
Теорема: если является единицей, то существует гомография h в G ( A ) такая, что
- h ( a ) = U [0,1], h ( b ) = U [1,1] и h ( c ) = U [1,0].
доказательство: суть - это образ b после того, как a был помещен в 0, а затем инвертирован в U [1,0], а образ c переведен в U [0,1]. Поскольку p - единица, его инверсия, используемая при вращении, переместит p в U [1,1], в результате чего a, b, c будут размещены правильно. Лемма относится к достаточным условиям существования h .
Одно применение кросс-отношения определяет проективное гармоническое сопряжение тройки a, b, c как элемент x, удовлетворяющий ( x, a, b, c ) = −1. Такая четверка - гармоническая тетрада . Гармонические тетрады на проективной прямой над конечным полем GF ( q ) использовались в 1954 г. для разграничения проективных линейных групп PGL (2, q ) для q = 5, 7 и 9 и демонстрации случайных изоморфизмов . [14]
История
Август Фердинанд Мёбиус исследовал преобразования Мёбиуса между своей книгой « Барицентрическое исчисление» (1827) и своей статьей 1855 года «Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung». Карлу Вильгельму Фейербаху и Юлиусу Плюккеру также приписывают использование однородных координат. Эдуард Этюд в 1898 году и Эли Картан в 1908 году написали статьи о гиперкомплексных числах для Немецкой и Французской математических энциклопедий , соответственно, где они использовали эту арифметику с дробно-линейными преобразованиями в подражание Мёбиусу. В 1902 году Теодор Вален представил короткую, но хорошо цитируемую статью, в которой исследуются некоторые дробно-линейные преобразования алгебры Клиффорда . [15] Кольцо двойных чисел D дало Йозефу Грюнвальду возможность выставить P ( D ) в 1906 году. [4] Коррадо Сегре (1912) продолжил разработку этого кольца. [5]
Артур Конвей , один из первых приверженцев теории относительности с помощью бикватернионных преобразований, рассмотрел кватернионно-мультипликативно-обратное преобразование в своем исследовании относительности 1911 года. [16] В 1947 году некоторые элементы геометрии инверсивных кватернионов были описаны П.Г. Гормли в Ирландии. [17] В 1968 году « Комплексные числа в геометрии» Исаака Яглома вышли на английском языке в переводе с русского. Там он использует P ( D ) для описания линейной геометрии на евклидовой плоскости и P ( M ) для описания ее для плоскости Лобачевского. Текст Яглома « Простая неевклидова геометрия» появился на английском языке в 1979 году. На страницах 174–200 он развивает геометрию Минковского и описывает P ( M ) как «обратную плоскость Минковского». Русский оригинал текста Яглома был опубликован в 1969 году между двумя изданиями, Walter Benz (1973) опубликовал свою книгу [7] , который включал однородные координаты , взятые из М .
Смотрите также
- Фруктовый сад Евклида
Примечания и ссылки
- ^ a b Роберт Александр Ранкин (1977) Модульные формы и функции , Cambridge University Press ISBN 0-521-21212-X
- ^ Хиршфельд, JWP (1979). Проективные геометрии над конечными полями . Издательство Оксфордского университета . п. 129. ISBN 978-0-19-850295-1.
- ^ Метод Санига, Мишель Планат, Морис Р. Киблер, Петр Пракна (2007) «Классификация проективных линий над маленькими кольцами», Хаос, солитоны и фракталы 33 (4): 1095–1102, MR2318902
- ^ a b Йозеф Грюнвальд (1906) "Uber duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie", Monatshefte für Mathematik 17: 81–136
- ^ a b Коррадо Сегре (1912) "Le geometrie proiettive nei campi di numeri duali", Статья XL Опере , также Атти делла Р. Academia della Scienze di Torino , том XLVII.
- ^ a b Исаак Яглом (1979) Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа , Springer, ISBN 0387-90332-1 , MR520230
- ^ a b Вальтер Бенц (1973) Vorlesungen über Geometrie der Algebren , §2.1 Projective Gerade über einem Ring, §2.1.2 Die projective Gruppe, §2.1.3 Transitivitätseigenschaften, §2.1.4 Doppelverhaltnisse, Springer ISBN 0-387-05786-2 MR353137
- ^ Карл фон Staudt (1856) Beträge цур Geometrie дер Lage
- ^ Walter Benz , Hans-Joachim Samaga, и Helmut Scheaffer (1981) «Перекрестные Коэффициенты и объединительный Лечение понятия Штаудта о Reeller Цуг», стр 127-50 в геометрии - Точечные Штаудта зрения , Питер Plaumann и Карл Strambach редакторы , Труды Института перспективных исследований НАТО, Бад-Виндсхайм, июль / август 1980 г., Д. Рейдель , ISBN 90-277-1283-2 , MR0621313
- ^ Биркгофу и Маклейна (1953) Обзор современной алгебры , стр 293-8, или 1997 AKP Classics издание, стр 312-7
- ^ A Blunck & H Havlicek (2000) "Проективные представления: проективные линии над кольцами", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 70: 287–99, MR1809553 . В этой статье используется альтернативное определение проективной прямой над кольцом, которое ограничивает элементы проективной прямой над Z элементами вида U [ m, n ), где m и n взаимно просты.
- ^ Гарет Джонс и Дэвид Сингерман (1987) Комплексные функции , стр 23,4 Cambridge University Press
- ^ Джозеф А. Тас (1968/9) «Поперечное отношение упорядоченной точечной четверки на проективной прямой над ассоциативной алгеброй сединичнымэлементом» (на голландском языке) Саймон Стевин 42: 97–111 MR0266032
- ^ Жан Дьедонне (1954) "Les Isomorphisms exceptionnals entre les groups classiques finis", Canadian Journal of Mathematics 6: 305-15 doi : 10.4153 / CJM-1954-029-0
- ^ Теодор Vahlen (1902) "Über Bewegungen унд Complexe ZAHLEN", Mathematische Annalen 55: 585-93
- ^ Артур Конвей (1911) «О применении кватернионов к некоторым недавним разработкам теории электричества», Труды Королевской ирландской академии 29: 1–9, в частности, стр. 9
- ^ PG Gormley (1947) "Стереографическая проекция и дробно-линейная группа преобразований кватернионов", Труды Королевской Ирландской Академии , Раздел A 51: 67–85
- Скай Брюэр (2012) "Проективное кросс-отношение на гиперкомплексных числах", достижения в прикладных алгебрах Клиффорда , DOI 10.1007 / s00006-12-0335-7.
- И. М. Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии .
дальнейшее чтение
- G. Ancochea (1941) "Теория фон Штаудта и геометрия проективного кватерниона", Journal für Mathematik , Band 184, Heft 4, SS. 193–8.
- Н. Б. Лимай (1972) "Кросс-отношения и проекции линии", Mathematische Zeitschrift 129: 49–53, MR0314823 .
- Б. В. Лимай и Н. Б. Лимай (1977) "Основная теорема для проективной прямой над коммутативными кольцами", Aequationes Mathematica 16: 275–81. МИСТЕР0513873 .
- Б. В. Лимай и Н. Б. Лимай (1977) "Основная теорема для проективной прямой над некоммутативными локальными кольцами", Archiv der Mathematik 28 (1): 102–9 MR.0480495 .
- Марсель Уайлд (2006) "Основная теорема проективной геометрии для модуля произвольной длины два", Rocky Mountain Journal of Mathematics 36 (6): 2075–80.
Внешние ссылки
- Митод Санига (2006) Проективные линии над конечными кольцами (pdf) из Астрономического института Словацкой академии наук.