Геометрия Галуа

Фано плоскость , то проективная плоскость над полем из двух элементов, является одним из самых простых объектов в геометрии Галуа.

Геометрия Галуа (названная так в честь французского математика 19 века Эвариста Галуа ) - это ветвь конечной геометрии, которая занимается алгебраической и аналитической геометрией над конечным полем (или полем Галуа ). ^[1] Более узко, геометрия Галуа может быть определена как проективное пространство над конечным полем. ^[2]

Объектами изучения являются аффинные и проективные пространства над конечными полями и различные структуры, которые в них содержатся. В частности, дуги , овалы , гиперовалы , униталы , блокирующие множества , овоиды , шапки, развороты и все конечные аналоги структур, встречающихся в нефинитных геометриях. Векторные пространства, определенные над конечными полями, играют важную роль, особенно в методах построения.

Проективные пространства над конечными полями [ править ]

Обозначение [ править ]

Хотя иногда используются общие обозначения проективной геометрии , чаще проективные пространства над конечными полями обозначают как $PG (n, q)$ , где $n$ - «геометрическое» измерение (см. Ниже), а $q$ - порядок конечное поле (или поле Галуа) $GF (q)$ , которое должно быть целым числом, которое является простым числом или степенью простого числа.

Геометрические размеры в приведенном выше обозначениях относятся к системе , в результате чего линия 1-мерная, самолеты 2-мерные, точка 0-мерная и т.д. модификатор, иногда термин проективные вместо геометрического используются, необходимо , так как эта концепция размерности отличается от концепции, используемой для векторных пространств (то есть количества элементов в базисе). Обычно наличие двух разных концепций с одним и тем же именем не вызывает особых трудностей в разных областях из-за контекста, но в этом предмете важную роль играют как векторные пространства, так и проективные пространства, и весьма вероятно возникновение путаницы. Концепция векторного пространства иногда упоминается как алгебраическая размерность. ^[3]

Строительство [ править ]

Пусть $V = V (n + 1, q)$ обозначает векторное пространство (алгебраической) размерности $n + 1,$ определенное над конечным полем $GF (q)$ . Проективное пространство $PG (п, д)$ состоит из всех положительных (алгебраического) мерных векторных подпространств $V$ . Альтернативный способ просмотра конструкции состоит в определении точки из $PG (п, д)$ как классы эквивалентности этих ненулевых векторов $V$ по отношению эквивалентностипри этом два вектора эквивалентны, если один является скалярным, кратным другому. Затем из точек строятся подпространства с использованием определения линейной независимости множеств точек.

Подпространства [ править ]

Векторное подпространство алгебраической размерности $d + 1$ в $V$ является (проективным) подпространством в $PG (n, q)$ геометрической размерности $d$ . Проективным подпространствам даны общие геометрические имена; точки, линии, плоскости и твердые тела - это 0,1,2 и 3-мерные подпространства соответственно. Все пространство является $n-$ мерным подпространством, а ( $n - 1$ ) -мерное подпространство называется гиперплоскостью (или простым).

Количество векторных подпространств алгебраической размерности $d$ в векторном пространстве $V (n, q)$ задается гауссовским биномиальным коэффициентом ,

\left[{\begin{matrix}n\\d\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n}-1)(q^{n}-q)\cdots (q^{n}-q^{d-1})}{(q^{d}-1)(q^{d}-q)\cdots (q^{d}-q^{d-1})}}.

Следовательно, количество $k-$ мерных проективных подпространств в $PG (n, q)$ определяется выражением

\left[{\begin{matrix}n+1\\k+1\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n+1}-1)(q^{n+1}-q)\cdots (q^{n+1}-q^{k})}{(q^{k+1}-1)(q^{k+1}-q)\cdots (q^{k+1}-q^{k})}}.

Так, например, количество строк ( $k$ = 1) в PG (3,2) равно

\left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]_{2}={\frac {(2^{4}-1)(2^{4}-2)}{(2^{2}-1)(2^{2}-2)}}={\frac {(15)(14)}{(3)(2)}}=35.

Отсюда следует, что общее количество точек ( $k$ = 0) $P = PG (n, q)$ равно

\left[{\begin{matrix}n+1\\1\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n+1}-1)}{(q-1)}}=q^{n}+q^{n-1}+\cdots +q+1.

Это также равно числу гиперплоскостей $Р$ .

Можно рассчитать количество линий, проходящих через точку $P,$ и это также количество гиперплоскостей, проходящих через фиксированную точку. ^[4] $q^{n-1}+q^{n-2}+\cdots +q+1$

Пусть $U$ и $W$ подпространства геометрии Галуа $P = PG (n, q)$ . Пересечение $U \cap W$ является подпространством в $P$ , но теоретико-множественное объединение может не быть. Присоединиться из этих подпространств, обозначаемых $< U, W >$ , является наименьшим подпространством $P$ , которое содержит $U$ и $W$ . Размеры соединения и пересечения этих двух подпространств связаны формулой

|<U,W>|=|U|+|W|-|U\cap W|.

Координаты [ править ]

Относительно фиксированного базиса каждый вектор в $V$ однозначно представлен ( $n + 1$ ) -набором элементов $GF (q)$ . Проективная точка - это класс эквивалентности векторов, поэтому существует много разных координат (векторов), которые соответствуют одной и той же точке. Однако все они связаны друг с другом, поскольку каждый является ненулевым скалярным кратным другим. Это порождает понятие однородных координат, используемых для представления точек проективного пространства.

История [ править ]

Джино Фано был одним из первых писателей в области геометрии Галуа. В своей статье 1892 года , ^[5] на доказательства независимости его набора аксиом для проективного п -пространства , ^[6] , среди прочего, он считал последствие , имеющим четвертой гармоникой точка равна его конъюгат. Это приводит к конфигурации из семи точек и семи линий, содержащихся в конечном трехмерном пространстве с 15 точками, 35 линиями и 15 плоскостями, в котором каждая линия содержит только три точки. ^[5]^{: 114} Все плоскости в этом пространстве состоят из семи точек и семи линий и теперь известны как плоскости Фано.. Далее Фано описал геометрии Галуа произвольной размерности и простых порядков.

Джордж Конвелл впервые применил геометрию Галуа в 1910 году, когда охарактеризовал решение проблемы Киркмана о школьнице как разбиение множеств косых линий в PG (3,2) , трехмерной проективной геометрии над полем Галуа GF (2). . ^[7] Подобно методам линейной геометрии в пространстве над полем характеристики 0 , Конвелл использовал координаты Плюккера в PG (5,2) и идентифицировал точки, представляющие прямые в PG (3,2), как точки на квадрике Клейна .

В 1955 году Бениамино Сегре охарактеризовал овалы как q нечетное. Теорема Сегре утверждает, что в геометрии Галуа нечетного порядка (то есть проективной плоскости, определенной над конечным полем нечетной характеристики ) каждый овал является коникой . Этому результату часто приписывают установление геометрии Галуа как важной области исследований. На Международном математическом конгрессе 1958 г. Сегре представил обзор известных к тому времени результатов по геометрии Галуа.

См. Также [ править ]

Геометрия падения

Примечания [ править ]

^ SpringerLink
^ "Проективные пространства над конечным полем, иначе известные как геометрии Галуа, ...", ( Hirschfeld & Thas 1992 )
^ Есть авторы, которые используют термин ранг для алгебраической размерности. Авторы, которые делают это часто, просто используют размер при обсуждении геометрического измерения.
^ Beutelspacher & Розенбаум 1998 , стр. 24-25
^ a b Фано, Г. (1892), "Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva" , Giornale di Matematiche , 30 : 106–132
^ Коллино, Конте и Верра 2013 , стр. 6
^ Джордж М. Конвелл (1910) " Трехмерный PG (3,2) и его группы", Анналы математики 11: 60–76 doi : 10.2307 / 1967582

Ссылки [ править ]

Бойтельшпахер, Альбрехт; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия / От основ к приложениям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48364-3
Коллино, Альберто; Конте, Альберто; Верра, Алессандро (2013). «О жизни и научной деятельности Джино Фано». arXiv : 1311.7177 .
Де Бёль, Ян; Сторм, Лео (2011), Текущие темы исследований в геометрии Галуа , Nova Science Publishers, ISBN 978-1-61209-523-3
Хиршфельд, JWP (1979), Проективные геометрии над конечными полями , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850295-1, подчеркивая размеры один и два.
Хиршфельд, JWP (1985), Конечные проективные пространства трех измерений , Oxford University Press , ISBN 0-19-853536-8, размер 3.
Хиршфельд, JWP ; Thas, JA (1992), Общая геометрия Галуа , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853537-9, рассматривая общий размер.

Внешние ссылки [ править ]

Геометрия Галуа в энциклопедии математики, SpringerLink

[1] SpringerLink

[2] "Проективные пространства над конечным полем, иначе известные как геометрии Галуа, ...", ( Hirschfeld & Thas 1992 )

[3] Есть авторы, которые используют термин ранг для алгебраической размерности. Авторы, которые делают это часто, просто используют размер при обсуждении геометрического измерения.

[4] Beutelspacher & Розенбаум 1998 , стр. 24-25

[Fano1-5] Фано, Г. (1892), "Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva" , Giornale di Matematiche , 30 : 106–132

[6] Коллино, Конте и Верра 2013 , стр. 6

[7] Джордж М. Конвелл (1910) " Трехмерный PG (3,2) и его группы", Анналы математики 11: 60–76 doi : 10.2307 / 1967582

[1]