В конечной геометрии , PG (3,2) является наименьшим трехмерное проективное пространство . Его можно рассматривать как продолжение плоскости Фано . В нем 15 точек, 35 линий и 15 плоскостей. [1] Он также обладает следующими свойствами: [2]
- Каждая точка содержится в 7 линиях и 7 плоскостях.
- Каждая линия содержится в 3-х плоскостях и содержит 3 точки.
- Каждая плоскость содержит 7 точек и 7 линий.
- Каждая плоскость изоморфна плоскости Фано.
- Каждая пара различных плоскостей пересекается по прямой
- Прямая и не содержащая ее плоскость пересекаются ровно в одной точке.
Конструкции
Строительство из К 6
Возьмем полный граф K 6 . У него 15 граней, 15 идеальных совпадений и 20 треугольников. Создайте точку для каждого из 15 ребер и линию для каждого из 20 треугольников и 15 соответствий. Структура инцидентности между каждым треугольником или совпадением (линия) с его тремя составляющими ребрами (точками) индуцирует PG (3,2). (Работа Сильвестра о дуэтах и синтемах, 1859 г.)
Конструкция из самолетов Фано
Возьмите самолет Фано и примените все 5040 перестановок его 7 точек. Выбросьте повторяющиеся самолеты, чтобы получить набор из 30 различных самолетов Фано. Выберите любой из 30 и выберите 14 других, которые имеют ровно одну общую линию с первой, а не 0 или 3. Структура инцидентности между 1 + 14 = 15 плоскостями Фано и 35 тройками, которые они взаимно покрывают, индуцирует PG ( 3,2). [3]
Представления
Тетраэдрическое изображение
PG (3,2) можно представить в виде тетраэдра. 15 точек соответствуют 4 вершинам + 6 средним точкам ребер + 4 центрам граней + 1 центру тела. 35 линий соответствуют 6 ребрам + 12 срединным граням + 4 вписанным к граням окружностям + 4 высотам от грани до противоположной вершины + 3 линиям, соединяющим середины противоположных ребер + 6 эллипсов, соединяющих среднюю точку каждого ребра с двумя несоседними. центры лица. 15 плоскостей состоят из 4 граней + 6 "срединных" плоскостей, соединяющих каждое ребро со средней точкой противоположного ребра + 4 "конуса", соединяющих каждую вершину с вписанной окружностью противоположной грани + одна "сфера" с 6 центрами ребер. и центр тела. Это описал Буркхард Польстер. [4]
Квадратное представление
PG (3,2) можно представить в виде квадрата. 15 точкам присвоены 4-битные двоичные координаты от 0001 до 1111, дополненные точкой с меткой 0000 и расположенные в сетке 4x4. Линии соответствуют классам эквивалентности наборов из четырех вершин, которые вместе выполняют XOR до 0000. При определенном расположении вершин в сетке 4x4, таком как «естественный» порядок главных строк или упорядочение карты Карно , линии образуют симметричную подгруппу. такие структуры, как строки, столбцы, поперечные сечения или прямоугольники, как показано на рисунке. (Существует 20160 таких порядков, как показано ниже в разделе «Автоморфизмы» .) Такое представление возможно, потому что геометрически 35 линий представлены как биекция с 35 способами разделения аффинного пространства 4x4 на 4 параллельные плоскости по 4 ячейки в каждой. Об этом рассказал Стивен Х. Куллинейн.
Салфетка изображение
Диаграмма Дойли, часто используемая для представления обобщенного четырехугольника GQ (2,2), также используется для представления PG (3,2). Это описал Ричард Дойли. [5]
Проблема школьницы Киркмана
PG (3,2) возникает как фон в некоторых решениях проблемы школьницы Киркмана . Два из семи неизоморфных решений этой проблемы могут быть вложены как структуры в 3-пространство Фано. В частности, разворот PG (3,2) представляет собой разбиение точек на непересекающиеся линии и соответствует расположению девочек (точек) в непересекающиеся строки (линии разворота) для одного дня задачи Киркмана о школьнице. Есть 56 различных спредов по 5 линий в каждом. Упаковка из PG (3,2) представляет собой разбиение 35 линий на 7 непересекающихся спредов 5 строк в каждой, и соответствует решению для всех семи дней. Имеется 240 упаковок PG (3,2), которые распадаются на два класса сопряженности по 120 под действием PGL (4,2) (группа коллинеаций пространства); корреляция меняет местами эти два класса. [6]
Автоморфизмы
Группа автоморфизмов PG (3,2) переводит прямые в прямые. Количество автоморфизмов определяется путем нахождения количества способов выбора 4 точек, которые не являются компланарными; получается 15 to14⋅12⋅8 = 20160 = 8! / 2. Оказывается, группа автоморфизмов PG (3,2) изоморфна знакопеременной группе на 8 элементах A 8 .
Координаты
Известно, что PG ( n , 2) может быть скоординирован с (GF (2)) n + 1 , то есть битовой строкой длины n + 1. PG (3,2), следовательно, может быть скоординирован с 4-битными строками. .
Кроме того, линиям, соединяющим точки ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) и ( b 1 , b 2 , b 3 , b 4 ), естественным образом могут быть присвоены координаты Плюккера ( p 12 , p 13 , p 14 , p 23 , p 24 , p 34 ), где p ij = a i b j - a j b i , а координаты линии удовлетворяют условию p 12 p 34 + p 13 p 24 + p 14 p 23 = 0 . Таким образом, каждая линия в проективном 3-пространстве имеет шесть координат и может быть представлена как точка в проективном 5-пространстве; точки лежат на поверхности p 12 p 34 + p 13 p 24 + p 14 p 23 = 0 .
Заметки
- ^ Месерв, Брюс Э. (1983) [1955], Основные концепции геометрии , Dover, p. 29, ISBN 0-486-63415-9
- ^ Полстер 1998 , стр. 69
- ^ Полстер 1998 , стр. 77
- ^ Полстер 1998 , стр. 82-83
- ^ Полстер 1998 , стр. 69
- Перейти ↑ Hirschfeld 1985 , p. 73
Рекомендации
- Фано, Г. (1892), «Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva» , Giornale di Matematiche , 30 : 106–132.
- Хиршфельд, JWP (1985), Конечные проективные пространства трех измерений , Oxford University Press , ISBN 0-19-853536-8
- Польстер, Буркард (1998), книга с геометрическими картинками , Springer, ISBN 978-0-387-98437-7