Овал (проекционная плоскость)
В проективной геометрии овал — это множество точек на плоскости, определяемое свойствами инцидентности . Стандартными примерами являются невырожденные коники . Однако коника определяется только в папповской плоскости , тогда как овал может существовать в любом типе проективной плоскости. В литературе имеется много критериев, из которых следует, что овал является коникой, но есть много примеров, как бесконечных, так и конечных, овалов в папповских плоскостях, которые не являются кониками.
Как уже упоминалось, в проективной геометрии овал определяется свойствами инцидентности, но в других областях овалы могут быть определены для удовлетворения других критериев, например, в дифференциальной геометрии условиями дифференцируемости на вещественной плоскости .
Обобщением понятия овала является абстрактный овал , представляющий собой структуру, не обязательно вложенную в проективную плоскость. Действительно, существуют абстрактные овалы, которые не могут лежать ни в какой проективной плоскости.
Когда | л ∩ Ω | = 0 линия l является внешней линией (или проходной ), [1] если | л ∩ Ω | = 1 касательная и если | л ∩ Ω | = 2 линия является секущей линией .
Аффинный овал всегда является проективным овалом в проективном замыкании (добавление линии в бесконечности) лежащей в основе аффинной плоскости.
В любой папповской проективной плоскости существуют невырожденные проективные конические сечения, и любое невырожденное проективное коническое сечение является овалом. Это утверждение можно проверить прямым вычислением любой из коник (например, параболы или гиперболы ).
