Теорема Паппа о шестиугольнике

Теорема Паппа о шестиугольнике: точки X , Y и Z лежат на прямой линии Паппа. Шестиугольник - это AbCaBc .

Теорема Паппа: аффинная форма
${\ displaystyle Ab \ parallel aB, Bc \ parallel bC \ Rightarrow Ac \ parallel aC}$

В математике теорема Паппа о шестиугольнике (приписываемая Паппу Александрийскому ) гласит, что

• даются один набор коллинеарных точек , а другой набор коллинеарных точек , то точки пересечения по линии пара и и и являются коллинеарно , лежащим на линии хохолка . Эти три точки являются точками пересечения «противоположных» сторон шестиугольника .${\ displaystyle A, B, C}$${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle X, Y, Z}$${\ displaystyle Ab}$${\ displaystyle aB, Ac}$${\ displaystyle aC, Bc}$${\ displaystyle bC}$${\ displaystyle AbCaBc}$

Это верно в проективной плоскости над любым полем, но неверно для проективных плоскостей над любым некоммутативным телом . ^[1] Проективные плоскости, в которых «теорема» верна, называются папповыми плоскостями .

Если ограничить проективную плоскость так, что линия Паппа является линией на бесконечности, получится аффинная версия теоремы Паппа, показанная на второй диаграмме.${\ displaystyle u}$

Если линия Паппа и линии имеют общую точку, получается так называемая маленькая версия теоремы Паппа. ^[2]${\ displaystyle u}$${\ displaystyle g, h}$

Двойной это падение теоремы утверждает , что данные один набор параллельных линий , и другой набор параллельных линий , то линия , определяемая парами точек , вытекающих из пар пересечений и и и являются одновременно. ( Параллельный означает, что линии проходят через одну точку.)${\ displaystyle A, B, C}$${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle x, y, z}$${\ displaystyle A \ cap b}$${\ displaystyle a \ cap B, \; A \ cap c}$${\ displaystyle a \ cap C, \; B \ cap c}$${\ displaystyle b \ cap C}$

Теорема Паппа является частным случаем теоремы Паскаля для коники - предельного случая, когда коника вырождается в 2 прямые. Теорема Паскаля, в свою очередь, является частным случаем теоремы Кэли – Бахараха .

Конфигурации Летучка является конфигурация из 9 строк и 9 точек , что происходит в теореме Паппа, в каждой строке заседание 3 точек и каждой точке встречи 3 линии. В целом линия Паппа не проходит через точку пересечения и . ^[3] Эта конфигурация самодвойственная . Так как, в частности, линии обладают свойствами линий двойственной теоремы, а коллинеарность эквивалентна совпадению , двойственная теорема, следовательно, такая же, как и сама теорема. Граф Леви конфигурации Паппа - это граф Паппа , двудольный${\ displaystyle ABC}$${\ displaystyle abc}$${\ displaystyle Bc, bC, XY}$${\ displaystyle x, y, z}$${\ displaystyle X, Y, Z}$${\ displaystyle Bc, bC, XY}$ дистанционно регулярный граф с 18 вершинами и 27 ребрами.

Доказательство: аффинная форма [ править ]

Теорема Паппа: доказательство

Если аффинная форма утверждения может быть доказана, то проективная форма теоремы Паппа доказана, поскольку расширение папповой плоскости до проективной плоскости единственно.

Из-за параллельности в аффинной плоскости следует различать два случая: и . Ключом к простому доказательству является возможность введения «подходящей» системы координат:${\ displaystyle g \ not \ parallel h}$${\displaystyle g\parallel h}$

Случай 1: линии пересекаются в точке . В этом случае вводятся координаты такие, что (см. Диаграмму). есть координаты .${\displaystyle g,h}$${\displaystyle S=g\cap h}$
${\displaystyle \;S=(0,0),\;A=(0,1),\;c=(1,0)\;}$${\displaystyle B,C}$${\displaystyle \;B=(0,\gamma ),\;C=(0,\delta ),\;\gamma ,\delta \notin \{0,1\}}$

Из параллельности линий получается и параллельность линий получается . Следовательно, линия имеет наклон и является параллельной линией .${\displaystyle Bc,\;Cb}$${\displaystyle b=({\tfrac {\delta }{\gamma }},0)}$${\displaystyle Ab,Ba}$${\displaystyle a=(\delta ,0)}$${\displaystyle Ca}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle Ac}$

Случай 2: (маленькая теорема). В этом случае координаты выбираются такими, что . Из параллельности и получается и , соответственно, и как минимум параллельность .${\displaystyle g\parallel h\ }$
${\displaystyle \;c=(0,0),\;b=(1,0),\;A=(0,1),\;B=(\gamma ,1),\;\gamma \neq 0}$${\displaystyle Ab\parallel Ba}$${\displaystyle cB\parallel bC}$${\displaystyle \;C=(\gamma +1,1)\;}$${\displaystyle \;a=(\gamma +1,0)\;}$${\displaystyle \;Ac\parallel Ca\;}$

Доказательство с однородными координатами [ править ]

Выберите однородные координаты с помощью

${\displaystyle C=(1,0,0),\;c=(0,1,0),\;X=(0,0,1),\;A=(1,1,1)}$.

На линиях , заданных , взять очки , чтобы быть ${\displaystyle AC,Ac,AX}$${\displaystyle x_{2}=x_{3},\;x_{1}=x_{3},\;x_{2}=x_{1}}$${\displaystyle B,Y,b}$

${\displaystyle B=(p,1,1),\;Y=(1,q,1),\;b=(1,1,r)}$

для некоторых . Три линии есть , поэтому они проходят через одну и ту же точку тогда и только тогда, когда . Условием прохождения трех линий и уравнений через одну и ту же точку является . Таким образом, этот последний набор из трех строк является параллельным, если все остальные восемь наборов являются потому, что умножение коммутативно, поэтому . Эквивалентно коллинеарны.${\displaystyle p,q,r}$${\displaystyle XB,CY,cb}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}p,\;x_{2}=x_{3}q,\;x_{3}=x_{1}r}$${\displaystyle a}$${\displaystyle rqp=1}$${\displaystyle Cb,cB}$${\displaystyle XY}$${\displaystyle x_{2}=x_{1}q,\;x_{1}=x_{3}p,\;x_{3}=x_{2}r}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle rpq=1}$${\displaystyle pq=qp}$${\displaystyle X,Y,Z}$

Приведенное выше доказательство также показывает, что для выполнения теоремы Паппа для проективного пространства над телом достаточно и необходимо, чтобы тело было (коммутативным) полем. Немецкий математик Герхард Хессенберг доказал, что из теоремы Паппа следует теорема Дезарга . ^{[4] [5]} В общем случае теорема Паппа верна для некоторой проективной плоскости тогда и только тогда, когда она является проективной плоскостью над коммутативным полем. Проективные плоскости, в которых теорема Паппа не выполняется, - это дезарговы проективные плоскости над некоммутативными телами и недезарговы плоскости .

Доказательство недействительно, если оно коллинеарно. В этом случае может быть предоставлено альтернативное доказательство, например, с использованием другой проективной ссылки.${\displaystyle C,c,X}$

Двойственная теорема [ править ]

Из-за принцип двойственности для проективных плоскостей двойственной теоремы Паппа верно:

Если выбрать поочередно 6 линий из двух карандашей с центрами , линии ${\displaystyle A,b,C,a,B,c}$${\displaystyle G,H}$

${\displaystyle X:=(A\cap b)(a\cap B),}$

${\displaystyle Y:=(c\cap A)(C\cap a),}$

${\displaystyle Z:=(b\cap C)(B\cap c)}$

являются параллельными, это означает: у них есть общая точка . Левая диаграмма показывает проективную версию, правая - аффинную версию, где точки - это бесконечно удаленные точки. Если точка находится на прямой, получается «двойственная маленькая теорема» теоремы Паппа.${\displaystyle U}$
${\displaystyle G,H}$${\displaystyle U}$${\displaystyle GH}$

• двойственная теорема: проективная форма

• двойственная теорема: аффинная форма

Если в аффинной версии двойственной «маленькой теоремы» точка также является точкой на бесконечности, получается теорема Томсена , утверждение о 6 точках на сторонах треугольника (см. Диаграмму). Фигура Томсена играет важную роль в координации аксиоматически определенной проективной плоскости. ^[6] Доказательство замыкания фигуры Томсена покрывается приведенным выше доказательством «маленькой теоремы». Но существует и простое прямое доказательство:${\displaystyle U}$

Поскольку в формулировке теоремы Томсена (замыкание рисунка) используются только термины соединять, пересекать и параллельно , это утверждение аффинно инвариантно, и можно ввести такие координаты, что (см. Диаграмму справа). Начальная точка последовательности хорд - это легко проверить координаты точек, указанные на диаграмме, которая показывает: последняя точка совпадает с первой точкой.${\displaystyle P=(0,0),\;Q=(1,0),\;R=(0,1)}$${\displaystyle (0,\lambda ).}$

• Фигура Томсена (точки треугольника ) как двойственная теорема маленькой теоремы Паппа ( тоже на бесконечности!).${\displaystyle \color {red}1,2,3,4,5,6}$${\displaystyle PQR}$${\displaystyle U}$

• Фигура Томсена: доказательство

Другие утверждения теоремы [ править ]

Треугольники и перспективны от и , и так, тоже от .${\displaystyle XcC}$${\displaystyle BbY}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle Z}$

В дополнение к приведенным выше характеристикам теоремы Паппа и двойственной к ней теоремы эквивалентны следующие утверждения:

• Если шесть вершин шестиугольника лежат попеременно на двух прямых, то три точки пересечения пар противоположных сторон лежат на одной прямой. ^[7]
• Расположенный в матрице из девяти точек (как на рисунке и в описании выше) и рассматриваемый как оценка перманента , если первые две строки и шесть «диагональных» триад коллинеарны, то третья строка коллинеарна.

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}A&B&C\\a&b&c\\X&Y&Z\end{matrix}}\right|}$

То есть, если это линии, то теорема Паппа утверждает, что это должна быть линия. Также обратите внимание, что та же матричная формулировка применяется к двойственной форме теоремы, когда и т. Д. Являются тройками параллельных строк. ^[8]${\displaystyle \ ABC,abc,AbZ,BcX,CaY,XbC,YcA,ZaB\ }$${\displaystyle XYZ}$${\displaystyle (A,B,C)}$

• Учитывая три различные точки на каждой из двух различных линий, соедините каждую точку на одной из линий с точкой на другой линии, тогда соединения непарных точек будут встречаться (противоположными) парами в точках вдоль линии. ^[9]
• Если два треугольника имеют перспективу по крайней мере с двух разных точек зрения, то они перспективны с трех сторон. ^[4]
• Если и являются параллельными, и и являются параллельными, то и являются параллельными. ^[8]${\displaystyle \;AB,CD,\;}$${\displaystyle EF}$${\displaystyle DE,FA,}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle AD,BE,}$${\displaystyle CF}$

Истоки [ править ]

В своей самой ранней известной форме теорема Паппа - это предложения 138, 139, 141 и 143 книги VII собрания Паппа . ^[10] Это леммы XII, XIII, XV и XVII в части книги VII, состоящей из лемм к первой из трех книг « Поризмов» Евклида .

Леммы доказываются в терминах того, что сегодня известно как перекрестное отношение четырех коллинеарных точек. Используются три предыдущие леммы. Первая из них, лемма III, имеет приведенную ниже диаграмму (в которой используются буквы Паппа: G для Γ, D для Δ, J для и L для Λ).

Здесь три параллельные прямые AB, AG и AD пересекаются двумя линиями JB и JE, которые пересекаются в J. Также KL проводится параллельно AZ. Затем

KJ: JL :: (KJ: AG и AG: JL) :: (JD: GD и BG: JB).

Сегодня эти пропорции можно записать в виде уравнений: ^[11]

KJ / JL = (KJ / AG) (AG / JL) = (JD / GD) (BG / JB).

Последнее сложное соотношение (а именно JD: GD и BG: JB) - это то, что сегодня известно как перекрестное отношение коллинеарных точек J, G, D и B в указанном порядке; сегодня он обозначается (J, G; D, B). Итак, мы показали, что это не зависит от выбора конкретной прямой JD, которая пересекает три прямые, совпадающие в точке A. В частности

(J, G; D, B) = (J, Z; H, E).

Неважно, с какой стороны от A падает прямая JE. В частности, ситуация может быть такой, как на следующей диаграмме, которая является диаграммой для леммы X.

Как и раньше, имеем (J, G; D, B) = (J, Z; H, E). Папп не доказывает это явно; но лемма X обратная, а именно, что если эти два поперечных отношения одинаковы и прямые BE и DH пересекаются в A, то точки G, A и Z должны быть коллинеарны.

То, что мы показали изначально, можно записать как (J, ∞; K, L) = (J, G; D, B), где ∞ занимает место (несуществующего) пересечения JK и AG. Папп показывает это в лемме XI, диаграмма которой, однако, имеет другие буквы:

Папп показывает DE.ZH: EZ.HD :: GB: BE, которое мы можем записать как

(D, Z; E, H) = (∞, B; E, G).

Диаграмма леммы XII такова:

Схема для леммы XIII такая же, но расширенные BA и DG пересекаются в N. В любом случае, если считать прямые, проходящие через G, разрезанными тремя прямыми, проходящими через A, (и принимая, что уравнения взаимных отношений остаются в силе после перестановка элементов,) по лемме III или XI

(G, J; E, H) = (G, D; ∞ Z).

Рассматривая прямые, проходящие через D, разрезанные тремя прямыми, проходящими через B, мы имеем

(L, D; E, K) = (G, D; ∞ Z).

Таким образом, (E, H; J, G) = (E, K; D, L), поэтому по лемме X точки H, M и K лежат на одной прямой. То есть точки пересечения пар противоположных сторон шестиугольника ADEGBZ лежат на одной прямой.

Леммы XV и XVII заключаются в том, что если точка M определяется как пересечение HK и BG, то точки A, M и D лежат на одной прямой. То есть точки пересечения пар противоположных сторон шестиугольника БЕКХЗГ лежат на одной прямой.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, Руководство по ремонту  0123930
• Cronheim, A. (1953), "Доказательство теоремы Хессенберга в", Труды Американского математического общества , 4 (2): 219-221, DOI : 10,2307 / 2031794 , JSTOR  2031794
• Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , Берлин: Springer Verlag
• Хит, Томас (1981) [1921], История греческой математики , Нью-Йорк: Дувр
• Хессенбергова, Gerhard (1905), "Beweis де Desarguesschen Satzes AUS DEM Pascalschen", Mathematische Annalen , Berlin / Heidelberg: Springer, 61 (2): 161-172, DOI : 10.1007 / BF01457558 , ISSN  1432-1807
• Хульч, Фридерикус (1877), Коллекция Паппи Александрини на улице Суперсунт , Берлин
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней , Нью-Йорк: Oxford University Press
• Памбуччиан, Виктор; Шахт, Селия (2019), «Аксиоматическая судьба теорем Паппа и Дезарга», в Dani, SG; Пападопулос А. (ред.), Геометрия в истории , Springer, стр. 355–399, ISBN 978-3-030-13611-6
• Whicher, Olive (1971), проективная геометрия , Rudolph Steiner Press, ISBN 0-85440-245-4

Внешние ссылки [ править ]

• Теорема Паппа о шестиугольнике в разрубании узла
• Двойственный к теореме Паппа о шестиугольнике при разрубании узла
• Теорема Паппа: девять доказательств и три варианта