Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта статья о греческом математике. Для структуры цветка см Папп (ботаника) .

Титульный лист Математических собраний Паппа , переведенный на латинский язык Федерико Коммандино (1589 г.).

Папп Александрийский ( / р æ р ə s / ; греческий : Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς ; . С   290  . - с   350 г. н.э.) был одним из последних великих греческих математиков древности, известный своей Синагога (Συναγωγή) или сбора ( с .   340 ), и для теорема Паппа в проективной геометрии . О его жизни ничего не известно, кроме того, что можно найти в его собственных сочинениях: что у него был сын по имени Гермодор, и он был учителем вАлександрия . [1]

Коллекция , его самая известная работа, представляет собой сборник по математике в восьми томах, большая часть из которых сохранилась. Он охватывает широкий круг тем, включая геометрию , развлекательную математику , удвоение куба , многоугольники и многогранники .

Контекст [ править ]

Папп был активен в 4 веке нашей эры. В период общей стагнации математических исследований он выделяется как замечательное исключение. [2] «Насколько он был выше своих современников, как мало они ценили или понимали, - это показывает отсутствие ссылок на него в других греческих писателях, а также тот факт, что его работа не оказала никакого влияния на остановку упадка математической науки. наука ", - пишет Томас Литтл Хит . «В этом отношении судьба Паппа поразительно напоминает судьбу Диофанта ». [2]

Знакомства [ править ]

В своих сохранившихся произведениях Папп не указывает ни дату авторов, чьи работы он использует, ни время (но см. Ниже), когда он сам писал. Если бы не было никакой другой информации о дате, все, что можно было бы узнать, это то, что он был позже Птолемея (умер около 168 г. н.э.), которого он цитирует, и раньше Прокла (родился около   411 г. ), который цитирует его. [2]

Суда 10-го века утверждает, что Папп был того же возраста, что и Теон Александрийский , действовавший во время правления императора Феодосия I (372–395). [3] Другая дата дается в примечании на полях к рукописи конца 10-го века [2] (копия хронологической таблицы того же Теона), в которой говорится, что рядом с записью об императоре Диоклетиане (годы правления 284–305 гг.) ), что «в то время писал Папп». [ необходима цитата ]

Однако настоящая дата исходит из датировки солнечного затмения, упомянутого самим Паппом, когда в своем комментарии к Альмагесту он вычисляет «место и время соединения, которое привело к затмению в Тиби в 1068 году после Набонассара ». Получается, что 18 октября 320 г., значит, Папп писал около 320 г. [1]

Работает [ править ]

Математические сборники , 1660 г.

Великий труд Паппа в восьми книгах под названием « Синагога или собрание » не сохранился в полной форме: первая книга утеряна, остальные значительно пострадали. Suda перечисляет другие работы Паппа: Χωρογραφία οἰκουμενική ( Chorographia oikoumenike или описание ойкумены ), комментарий на четыре книги Птолемея «s Альмагеста , Ποταμοὺς τοὺς ἐν Λιβύῃ ( Реки в Ливии ), и Ὀνειροκριτικά ( Толкование сновидений ). [3]Сам Папп упоминает еще один комментарий своих собственных на Ἀνάλημμα ( аналемма ) из Диодора Александрии . Папп также написал комментарии на Евклид «s элементах (из которых фрагменты сохранились в Прокле и схолиях , в то время как на десятой книга была найдена в арабской рукописи), и на Птолемей Ἁρμονικά ( гармошки ). [2]

Федерико Коммандино перевел « Собрание Паппа» на латынь в 1588 году. Немецкий классик и историк математики Фридрих Хульш (1833–1908) опубликовал окончательное трехтомное представление перевода Коммандино с греческой и латинской версиями (Берлин, 1875–1878). Используя работу Хульша, бельгийский историк-математик Поль Вер Экке первым опубликовал перевод Сборника на современный европейский язык; его двухтомный французский перевод носит название Pappus d'Alexandrie. La Collection Mathématique (Париж и Брюгге, 1933). [4]

Коллекция [ править ]

Характеристики Паппа в коллекции является то, что она содержит счета, систематически расположены, из наиболее важных результатов , полученных его предшественниками, и, во- вторых, отмечает пояснительная или расширяясь, предыдущие открытия. Эти открытия, по сути, образуют текст, который Папп дискурсивно расширяет. Хит считал систематические введения в различные книги ценными, поскольку в них четко излагалось содержание и общий объем изучаемых предметов. Из этих вступлений можно судить о стиле письма Паппа, который превосходен и даже элегантен в тот момент, когда он освобождается от оков математических формул и выражений. Хит также обнаружил, что его характерная точность вошла в свою коллекцию.«Замечательная замена текстам многих ценных трактатов более ранних математиков, которых нас лишило время». [2]

Сохранившиеся части Коллекции можно резюмировать следующим образом. [5]

Мы можем только предполагать, что потерянная Книга I , как и Книга II, касалась арифметики, а Книга III явно вводилась как начало нового предмета. [2]

Вся книга II (первая часть которой утеряна, существующий фрагмент начинается в середине 14-го предложения) [2] обсуждает метод умножения из безымянной книги Аполлония Пергского . Заключительные предложения имеют дело с умножением числовых значений греческих букв в двух строках стихов, что дает два очень больших числа, примерно равных2 × 10 54 и2 × 10 38 . [6]

Книга III содержит геометрические задачи, плоские и твердые. Его можно разделить на пять разделов: [2]

  1. Об известной проблеме нахождения двух средних пропорциональных между двумя заданными линиями, которая возникла в результате дублирования куба, сведенного Гиппократом Хиосским к первому. Папп дает несколько решений этой проблемы, в том числе метод последовательных приближений к решению, значение которого он, по-видимому, не осознавал; он добавляет свое собственное решение более общей проблемы геометрического нахождения стороны куба, содержимое которого находится в любом заданном соотношении с содержанием данного куба. [2]
  2. Об арифметических, геометрических и гармонических средствах между двумя прямыми линиями и проблеме представления всех трех в одной и той же геометрической фигуре. Это служит введением в общую теорию средств, из которых Папп выделяет десять видов и дает таблицу, представляющую примеры каждого в целых числах. [2]
  3. О любопытной проблеме, предложенной Евклидом I. 21. [2]
  4. О вписании каждого из пяти правильных многогранников в сферу. [2] Здесь Папп заметил, что правильный додекаэдр и правильный икосаэдр могут быть вписаны в одну и ту же сферу, так что их вершины лежат на одних и тех же 4 кругах широты, с 3 из 12 вершин икосаэдра на каждой окружности и 5 из 12 вершин. 20 вершин додекаэдра на каждой окружности. Это наблюдение было обобщено на двойственные многогранники более высокой размерности . [7]
  5. Дополнение более позднего автора к другому решению первой проблемы книги. [2]

В Книге IV название и предисловие были утеряны, так что программа должна быть взята из самой книги. Вначале идет хорошо известное обобщение Евклида I.47 ( теорема Паппа о площадях ), затем следуют различные теоремы об окружности, ведущие к проблеме построения окружности, которая должна описывать три заданные окружности, соприкасаясь друг с другом двумя. и два. Это и несколько других положений о контакте, например, случаи, когда круги касаются друг друга и вписаны в фигуру, состоящую из трех полукругов и известную как арбелос («нож сапожника»), составляют первый раздел книги; Затем Папп переходит к рассмотрению некоторых свойств спирали Архимеда , раковины Никомеда.(уже упоминавшаяся в Книге I как способ удвоения куба), и кривая, обнаруженная, скорее всего, Гиппием из Элиды около 420 г. до н.э. и известная под названием τετραγωνισμός, или квадратик . Предложение 30 описывает построение кривой двойной кривизны, которую Папп назвал спиралью на сфере; он описывается точкой, равномерно движущейся по дуге большого круга, который сам равномерно вращается вокруг своего диаметра, причем точка описывает квадрант, а большой круг совершает полный оборот за одно и то же время. Найдена площадь поверхности, заключенная между этой кривой и ее основанием - первый известный пример квадратуры искривленной поверхности. Остальная часть книги посвящена трисекции угла., а также решение более общих задач того же типа с помощью квадратички и спирали. Одним из решений первой проблемы является первое зарегистрированное использование свойства коники (гиперболы) по отношению к фокусу и директрисе. [8]

В книге V , после интересного предисловия относительно правильных многоугольников, и содержащее замечание по шестиугольной форме ячеек сот , хохолок обращается к сравнению площадей различных плоских фигур , которые имеют все тот же периметр (после Зенодора трактата «сек по этому поводу) и объемов различных твердых тел, имеющих одинаковую поверхность, и, наконец, сравнение пяти правильных тел Платона . Между прочим, Папп описывает тринадцать других многогранников, ограниченных равносторонними и равносторонними, но не похожими на них многоугольниками, обнаруженными Архимедом , и находит методом, напоминающим метод Архимеда, поверхность и объем сферы. [8]

Согласно предисловию, Книга VI предназначена для разрешения трудностей, возникающих в так называемых «Малых астрономических трудах» (Μικρὸς Ἀστρονοµούµενος), то есть в работах, отличных от Альмагеста . Соответственно , он комментирует Sphaerica в Феодосии , в Moving сфере в Автолику , книга Феодосия на день и ночь , трактата Аристарха о размере и расстояниях Солнца и Луны , и Евклида Оптика и Phaenomena . [8]

Книга VII [ править ]

Поскольку Мишель Шаслес цитировал эту книгу Паппа в своей истории геометрических методов [9], она стала объектом пристального внимания.

В предисловии к Книге VII разъясняются термины «анализ и синтез», а также различие между теоремой и проблемой. Затем Папп перечисляет труды Евклида , Аполлония , Аристэя и Эратосфена , всего тридцать три книги, суть которых он намеревается изложить, с леммами, необходимыми для их разъяснения. При упоминании о Porisms Евклида мы имеем учет соотношения поризмак теореме и проблеме. В то же предисловие включено (а) известная проблема, известная под именем Паппа, часто формулируемая так: задав количество прямых линий, найти геометрическое место точки, такое, что длины перпендикуляров на или (в более общем смысле ) линии, проведенные от нее под наклоном при заданном наклоне к, данные линии удовлетворяют условию, что произведение некоторых из них может иметь постоянное отношение к произведению остальных; (Папп выражает это не в этой форме, а посредством композиции соотношений, говоря, что если дано соотношение, составленное из соотношений пар одна из одного множества и одна из другой линий, проведенных таким образом, и отношения из нечетного, если таковой имеется, до данной прямой, точка будет лежать на кривой, заданной в позиции);(б) теоремы, которые были переоткрыты и названы в честьПол Гулдин , но, похоже, был обнаружен самим Паппом. [8]

Книга VII также содержит

  1. под заголовком De Sectione Determinata Аполлония леммы, которые при внимательном рассмотрении рассматриваются как случаи инволюции шести точек; [8]
  2. важные леммы о поризмах Евклида [8], включая так называемую теорему Паппа о шестиугольнике ; [10]
  3. лемма о поверхностных точках Евклида, которая утверждает, что геометрическое место точки, расстояние от которой до данной точки имеет постоянное отношение к ее расстоянию от данной прямой линии, является коникой , и сопровождаются доказательствами того, что коника является парабола , эллипс или гипербола в соответствии с постоянным отношением, равным, меньшим или большим чем 1 (первые записанные доказательства свойств, которых нет у Аполлония). [8]

Цитирование Паппа Часлесом повторили Вильгельм Блашке [11] и Дирк Струик . [12] В Кембридже, Англия, Джон Дж. Милн дал читателям возможность ознакомиться с книгой Паппа. [13] В 1985 году Александр Джонс написал диссертацию на эту тему в Университете Брауна . Исправленная форма его перевода и комментариев была опубликована Springer-Verlag в следующем году. Джонсу удается показать, как Папп манипулировал всем четырехугольником , использовал отношение проективных гармонических конъюгатов и демонстрировал понимание взаимных отношений точек и линий. Кроме того, понятие полюса и полярногораскрывается как лемма в Книге VII. [14]

Книга VIII [ править ]

Наконец, Книга VIII в основном рассматривает механику, свойства центра тяжести и некоторые механические силы. Перемежаются некоторые предложения по чистой геометрии. Предложение 14 показывает, как провести эллипс через пять заданных точек, а предложение 15 дает простую конструкцию осей эллипса, когда задана пара сопряженных диаметров . [8]

Наследие [ править ]

Собрание Паппа было практически неизвестно арабам и средневековым европейцам, но оказало большое влияние на математику 17 века после того, как было переведено на латинский язык Федерико Коммандино . [15] Диофанта в Арифметика и Паппа игровая коллекция были два основных источника Виета «s Исагогика в Артеме analyticam (1591). [16] Проблема Паппа и ее обобщение привели Декарта к развитию аналитической геометрии . [17] Ферматакже разработал свою версию Аналитической геометрии и свой метод Максимум и Минимум на основе резюме Паппа утраченных работ Аполлония « Плоские места» и « О детерминированном сечении» . [18] Другими математиками, на которых оказал влияние Папп, были Пачоли , да Винчи , Кеплер , ван Румен , Паскаль , Ньютон , Бернулли , Эйлер , Гаусс , Жергонн , Штайнер и Понселе . [19]

См. Также [ править ]

  • Теорема Паппа о шестиугольнике
  • Теорема Паппа о центроиде
  • Цепочка паппуса
  • Конфигурация Pappus
  • График Паппа

Заметки [ править ]

  1. ^ a b Пьер Дедрон, Дж. Итард (1959) Математика и математики , Vol. 1, стр. 149 (перевод Джудит В. Филд ) (Transworld Student Library, 1974)
  2. ^ Б с д е е г ч я J к л м н Хит 1911 , стр. 740.
  3. ^ a b Уайтхед, Дэвид (ред.). «Суда Он-лайн - Паппос» . Suda On Line и консорциум Stoa . Проверено 11 июля 2012 года . Александрийский философ, родился во времена старшего императора Феодосия, когда процветал и философ Теон, писавший о каноне Птолемея. Его книги - Описание обитаемого мира ; комментарий к четырем книгам Великого Синтаксиса Птолемея; Реки Ливии ; и Толкование снов .
  4. ^ Смит, Дэвид Юджин (январь 1934 г.). "Обзор Паппа д'Александри. La Collection Mathématique Поля Вер Экке" (PDF) . Бык. Являюсь. Математика. Soc . 40 (1): 11–12. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1934-05766-5 .
  5. ^ Уивер, Джеймс Генри (1916). «Папп. Вводная статья» . Бык. Амер. Математика. Soc . 23 (3): 127–135. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1916-02895-3 .
  6. ^ Папп Александрийский, пер. на латынь Фридрихом Гульчем. Коллекция Паппи Александрини - quae supersunt . Апуд Вайдманнос, 1877, стр. 19–29.
  7. ↑ HSM Coxeter (23 мая 2012 г.). Правильные многогранники . Курьерская корпорация. п. 88 238. ISBN 978-0-486-14158-9.
  8. ^ a b c d e f g h Хит 1911 , стр. 741.
  9. ^ Мишель Шаслес (1837) Aperçu Historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie , особенно страница 302; также страницы 12, 78 и 518.
  10. ^ Heath 1911b , стр. 102.
  11. ^ Вильгельм Блашке (1948) Projektiva Geometrie , стр.140
  12. ^ Дирк Струик (1953) Лекции по аналитической и проективной геометрии , страница 19, Аддисон-Уэсли
  13. ^ Милн 1911 .
  14. ^ Джонс 1986 .
  15. ^ Marchisotto, E. (2002). Теорема Паппа: мост между алгеброй и геометрией. The American Mathematical Monthly, 109 (6), 497-516. DOI: 10.2307 / 2695440
  16. ^ Эрик Дж. Форбс, Декарт и рождение аналитической геометрии, Historia Mathematica, Volume 4, Issue 2, 1977, Pages 141-151, https://doi.org/10.1016/0315-0860(77)90105-7 .
  17. ^ https://www.scientificamerican.com/article/the-invention-of-analytic-geometry/
  18. ^ Махони, Майкл С. «Математика Ферма: доказательства и предположения». Наука, т. 178, нет. 4056, 1972, с. 30–36. JSTOR, www.jstor.org/stable/1734005.
  19. ^ Материалы конференции AIP 1479, 9 (2012); https://doi.org/10.1063/1.4756049

Ссылки [ править ]

  • Хит, Томас Литтл (1911). «Поризма»  . В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . 22 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 102–103.CS1 maint: дата и год ( ссылка )
  • Джонс, Александр (1986). «Часть 1: введение, текст, перевод». Книга 7 Сборника . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96257-3.
    • Джонс, Александр (1986). «Часть 2: комментарий, указатель, рисунки». Книга 7 Сборника . Springer-Verlag. ISBN 3-540-96257-3.
  • Милн, Джон Дж. (1911). Элементарный трактат по геометрии перекрестных отношений с историческими примечаниями . Издательство Кембриджского университета. п. 11 .

Атрибуция:

  •  Эта статья включает текст из публикации, которая сейчас находится в общественном достоянии :  Heath, Thomas Little (1911). « Папп Александрийский ». В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . 20 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 470–471.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Джонс, Александр Раймонд (19 января 2017 г.). «Папп Александрийский» . Британская энциклопедия .
  • «Папп Александрийский (жил ок. 200–350 гг. Н. Э.)». Словарь научной биографии Хатчинсона . Издательство Геликон. 2004. Греческий математик, астроном и географ, главное значение которого заключается в его комментариях к математическим трудам его предшественников.
  • Экке, Пол Вер (1933). Pappus d'Alexandrie: La Collection Mathématique avec une Introduction et des Notes (2 тома Fondation Universitaire de Belgique ed.). Париж: Альбер Бланшар.

Внешние ссылки [ править ]

  • Паппос (Bibliotheca Augustana)
  • О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Папп из Александрии" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
  • «Паппус» , Колумбийская электронная энциклопедия , шестое издание на Answer.com.
  • Теорема Паппа на MathPages
  • Работа Паппа на изопериметрической проблемы при конвергенции