Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Единичный куб (сторона = 1) и куб с удвоенным объемом (сторона = 3 √ 2 = 1,2599210498948732… OEIS :  A002580 ).

Удвоение куба , также известное как проблема Делиана , является древней [1] геометрической проблемой. Учитывая край из куба , проблема требует строительства края второго куба , чей объем вдвое больше , чем первый. Как и в случае связанных с этим проблем квадрата круга и деления угла на три части, теперь известно, что удвоение куба невозможно, используя только циркуль и линейку , но даже в древние времена были известны решения, в которых использовались другие инструменты.

В египтянах , индусы , и особенно греки [2] были осведомлены о проблеме и сделали много попыток бесполезных в решении , что они видели , как упрямый , но решаемая задачу. [3] [4] Тем не менее, отсутствие решения на основе циркуля и линейки было окончательно доказано Пьером Ванцелем в 1837 году.

Выражаясь алгебраическими терминами, удвоение единичного куба требует построения отрезка длины x , где x 3 = 2 ; другими словами, x = 3 √ 2 , кубический корень из двух . Это связано с тем, что куб со стороной 1 имеет объем 1 3 = 1 , а куб с удвоенным объемом (объем 2) имеет длину стороны кубического корня, равного 2. Следовательно, невозможно удвоить куб. эквивалентно утверждению, что 3 √ 2 не является конструктивным числом. Это является следствием того факта, что координаты новой точки, построенной циркулем и линейкой, являются корнями многочленов над полем, порожденным координатами предыдущих точек, не большей степени, чем квадратичная . Это означает , что степень от расширения поля , генерируемого конструктивной точкой должна быть степенью 2. удлинительного поля , генерируемые 3 √ 2 , тем не менее, имеет степени 3.

Доказательство невозможности [ править ]

Начнем с отрезка единичной прямой, определяемого точками (0,0) и (1,0) на плоскости . Нам требуется построить отрезок прямой, определяемый двумя точками, разделенными расстоянием 3 √ 2 . Легко показать, что конструкции компаса и линейки позволили бы такому отрезку линии свободно перемещаться, чтобы коснуться начала координат , параллельно единичному отрезку прямой - так что эквивалентно мы можем рассмотреть задачу построения отрезка от (0,0) до ( 3 √ 2 , 0), что влечет за собой построение точки ( 3 √ 2 , 0).

Соответственно, инструменты циркуля и линейки позволяют нам создавать круги с центром в одной ранее определенной точке и проходящие через другую, а также создавать линии, проходящие через две ранее определенные точки. Любая вновь определенная точка возникает либо в результате пересечения двух таких кругов, как пересечение круга и линии, либо как пересечение двух прямых. Упражнение элементарной аналитической геометрии показывает, что во всех трех случаях координаты x и y вновь определенной точки удовлетворяют многочлену степени не выше квадратичной с коэффициентамиэто сложение, вычитание, умножение и деление, включающее координаты ранее определенных точек (и рациональные числа). Пересчитаны в более абстрактной терминологии, новые х - и у -координаты имеют минимальные многочлены степени не 2 над подполом из ℝ порожденного предыдущих координат. Таким образом, степень от расширения поля , соответствующего каждому новой системы координат равно 2 или 1.

Итак, учитывая координату любой построенной точки, мы можем индуктивно двигаться в обратном направлении через x- и y- координаты точек в том порядке, в котором они были определены, до тех пор, пока мы не достигнем исходной пары точек (0,0) и (1, 0). Поскольку каждое расширение поля имеет степень 2 или 1, а также в качестве расширения поля над ℚ координат исходной пара точек, очевидно , степени 1, это следует из правила башни , что степень расширения поля над ℚ любой координатной построенной точки - степень двойки .

Теперь р ( х ) = х 3 - 2 = 0 Легко видеть, что неприводимые над ℤ - любая факторизация будет включать линейный множитель ( х - К ) для некоторого K ∈ ℤ , и поэтому к должно быть корень из р ( х ) ; но также k должно делить 2, то есть k = 1, 2, −1 или −2 , и ни один из них не является корнем p ( x ). По лемме Гаусса , р ( х ) также неприводимым над ℚ , и, таким образом , минимальный многочлен над ℚ для 3 √ 2 . Расширение поля ℚ ( 3 √ 2 ): ℚ , следовательно, имеет степень 3. Но это не степень двойки , поэтому согласно вышеизложенному, 3 √ 2 не является координатой конструктивной точки и, следовательно, отрезком линии 3. √ 2 нельзя построить, и куб нельзя удвоить.

История [ править ]

Проблема получила свое название от истории о гражданах Делоса , которые посоветовались с оракулом в Дельфах , чтобы узнать, как победить чуму, посланную Аполлоном . [5] Согласно Плутарху [6], именно граждане Делоса консультировались с оракулом в Дельфах , ища решение своих внутренних политических проблем в то время, которые усилили отношения между гражданами. Оракул ответил, что они должны удвоить размер жертвенника Аполлону, который был обычным кубом. Ответ показался делийцам странным, и они посоветовались с Платоном., который смог интерпретировать оракул как математическую проблему удвоения объема данного куба, объяснив, таким образом, оракул как совет Аполлона для жителей Делоса, чтобы они занялись изучением геометрии и математики, чтобы успокоиться их увлечения. [7]

Согласно Плутарху , Платон дал задачу к Евдоксу и Архиту и Менехмам , который решил проблему с помощью механических средств, получив выговор от Платона для не решает проблему , используя чистую геометрию (Plut., Quaestiones convivales VIII.ii , 718ef). Возможно, поэтому в 350-х гг. До н. Э. Автор псевдоплатонического произведения « Сизиф» (388e) называет проблему нерешенной. [8] Однако другая версия этой истории (приписывается Эратосфен по Евтокому) говорит, что все три найденных решения были слишком абстрактными, чтобы иметь практическую ценность. [9]

Значительным достижением в поиске решения проблемы стало открытие Гиппократом Хиосского, что это эквивалентно нахождению двух средних пропорциональных между отрезком линии и другим отрезком с удвоенной длиной. [10] В современных обозначениях это означает, что для заданных сегментов длиной a и 2 a дублирование куба эквивалентно нахождению сегментов длиной r и s так, чтобы

В свою очередь, это означает, что

Но Пьер Ванцель доказал в 1837 году, что кубический корень из 2 не является конструктивным ; то есть его нельзя построить с помощью линейки и циркуля .

Решения с помощью других средств, кроме компаса и линейки [ править ]

Оригинальное решение Менехма включает пересечение двух конических кривых. Другие более сложные методы удвоения куба включают neusis , циссоиду Диокла , раковину Никомеда или линию Филона . Пандрозия , вероятно женщина-математик из Древней Греции, нашла численно точное приближенное решение, используя плоскости в трех измерениях, но была подвергнута резкой критике со стороны Паппа Александрийского за отсутствие надлежащего математического доказательства . [11] Архитас решил проблему в 4 веке до нашей эры, используя геометрическое построение в трех измерениях, определив определенную точку как пересечение трех поверхностей вращения.

В литературе по математическим чудакам ( псевдоматематике ) изобилуют ложные утверждения об удвоении куба с помощью циркуля и линейки .

Оригами также можно использовать для создания кубического корня из двух, складывая бумагу .

Использование отмеченной линейки [ править ]

Существует простая конструкция neusis, использующая отмеченную линейку для длины, которая равна кубическому корню из 2-кратной другой длины. [12]

  1. Отметьте линейку заданной длины; в конечном итоге это будет GH.
  2. Постройте равносторонний треугольник ABC со стороной заданной длины.
  3. Снова увеличьте AB на равную величину до D.
  4. Продлите линию BC, образуя линию CE.
  5. Продлите линию DC, образуя линию CF
  6. Поместите отмеченную линейку так, чтобы она проходила через A, и один конец, G, отмеченной длины приходился на луч CF, а другой конец отмеченной длины, H, приходился на луч CE. Таким образом, GH - заданная длина.

Тогда AG - заданная длина, умноженная на 3 √ 2 .

В теории музыки [ править ]

В теории музыки естественным аналогом удвоения является октава (музыкальный интервал, вызванный удвоением частоты тона), а естественный аналог куба делит октаву на три части, каждая с одинаковым интервалом . В этом смысле проблема удвоения куба решается основной третью в равном темпераменте . Это музыкальный интервал, составляющий ровно одну треть октавы. Это умножает частоту сигнала с помощью 2 4 / 12 = 2 1 / 3 = 3 √ 2 , с длиной стороны Делосского куба. [13]

Ссылки [ править ]

  1. ↑ Он появляется в « Республике Платона»( ок.  380 г. до н.э. ) VII.530.
  2. ^ Guilbeau, Lucye (1930). «История решения кубического уравнения». Новости математики . 5 (4): 8–12. DOI : 10.2307 / 3027812 . JSTOR  3027812 .
  3. ^ Стюарт, Ян. Теория Галуа . п. 75.
  4. ^ Платоновская республика Книга VII «если весь город должен держать эти вещи почетно и принять единую инициативу и контролировать, они будут подчиняться, и решение постоянно искал и искренне станет ясно.»
  5. ^ Л. Жмуд Происхождение истории науки в классической античности , стр.84 , цитируя Плутарха и Теона Смирнского
  6. ^ Плутарх , De E apud Delphos 386.E.4
  7. ^ Плутарх , De Genio Socratis 579.B
  8. ^ Карл Вернер Мюллер, Die Kurzdialoge дер Приложение Platonica , Мюнхен:. Wilhelm Fink, 1975, стр 105-106
  9. ↑ Knorr, Wilbur Richard (1986), Древняя традиция геометрических задач , Dover Книги по математике, Courier Dover Publications, стр. 4 , ISBN 9780486675329.
  10. ^ TL Heath История греческой математики , Vol. 1]
  11. ^ Knorr, Уилбур Ричард (1989). "Тексты Паппа о дублировании куба". Текстовые исследования в античной и средневековой геометрии . Бостон: Биркхойзер. С.  63–76 . DOI : 10.1007 / 978-1-4612-3690-0_5 .
  12. ^ Heinrich Дорри (1965). 100 великих задач элементарной математики . Дувр. п. 171. ISBN. 0486-61348-8.
  13. ↑ Phillips, RC (октябрь 1905 г.), «Равномерная темперированная шкала», Musical Opinion and Music Trade Review , 29 (337): 41–42, ProQuest 7191936 

Внешние ссылки [ править ]

  • СМИ, связанные с удвоением куба на Викискладе?
  • "Дублирование куба" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
  • Удвоение куба . Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон в архиве истории математики MacTutor.
  • Удвоить куб - решение Archytas . Выдержка с разрешения из книги «История греческой математики» сэра Томаса Хита.
  • Проблема Делиана решена. Либо это? в узлом .
  • Удвоение куба, построение близости в виде анимации (сторона = 1,259921049894873)
  • Видео математика: «2000 лет неразгаданности: почему невозможно удвоение кубов и квадратов окружностей?»