Квадрат круга

Некоторые очевидные частичные решения надолго давали ложные надежды. На этом рисунке заштрихованная фигура - Луна Гиппократа . Его площадь равна площади треугольника ABC (найденного Гиппократом Хиосским ).

Возведение круга в квадрат - задача, предложенная древними геометрами . Задача состоит в том, чтобы построить квадрат той же площади, что и заданный круг , используя только конечное количество шагов с помощью циркуля и линейки . Сложность проблемы подняла вопрос о том, является ли указанные аксиомы о евклидовых геометриях подразумеваемых о существовании линий и окружностей существования такого квадрата.

В 1882 году эта задача оказалась невыполнимой из -за теоремы Линдемана – Вейерштрасса, доказывающей, что pi ( π ) является трансцендентным , а не алгебраическим иррациональным числом; то есть, это не корень любого многочлена с рациональными коэффициентами. В течение десятилетий было известно, что построение было бы невозможным, если бы π было трансцендентным, но π не было доказано трансцендентным до 1882 года. Приближенное возведение в квадрат с любой заданной неидеальной точностью, напротив, возможно за конечное число шагов, поскольку там - рациональные числа, сколь угодно близкие к π .

Выражение «квадрат круга» иногда используется как метафора для попытки сделать невозможное. ^[1]

Термин квадратура круга иногда используется для обозначения того же, что и квадратура круга, но он также может относиться к приблизительным или численным методам определения площади круга.

История [ править ]

Методы аппроксимации площади данного круга квадратом, которые можно рассматривать как проблему, предшествующую возведению круга в квадрат, были известны уже вавилонским математикам . В египетском папирусе Ринд 1800 г. до н.э. площадь круга указана как64/81 год d  ² , где d - диаметр круга. Говоря современным языком, это эквивалентно приближению π как256/81 год(приблизительно 3,1605), число, которое появляется в старом Московском математическом папирусе и используется для аппроксимации объема (т. е. хекат ). Индийские математики также нашли приблизительный метод, хотя и менее точный, задокументированный в сутрах Шульбы . ^[2] Архимед доказал формулу для площади круга ( A = π r ² , где r - радиус круга) и показал, что значение π лежит между 3+1/7(приблизительно 3,1429) и 3+10/71(приблизительно 3,1408). См. « Числовые приближения π» для получения дополнительной информации об истории.

Первым известным греком, который связался с этой проблемой, был Анаксагор , который работал над ней в тюрьме. Гиппократ Хиосский возводил в квадрат определенные лунки в надежде, что это приведет к решению - см. Луну Гиппократа . Антифон Софист считал, что вписывание правильных многоугольников в круг и удвоение количества сторон в конечном итоге заполнит площадь круга, а поскольку многоугольник можно возвести в квадрат, это означает, что круг можно возводить в квадрат. Даже тогда были скептики - Евдем утверждал, что величины не могут быть разделены без ограничений, поэтому площадь круга никогда не будет использована. ^[3] Проблема даже упоминалась у Аристофана.Спектакль "Птицы" .

Считается, что Энопид был первым греком, которому потребовалось решение на плоскости (то есть с использованием только циркуля и линейки). Джеймс Грегори попытался доказать его невозможность в работе Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura («Истинный квадрат круга и гиперболы») в 1667 году. ^[4] Хотя его доказательство было ошибочным, это была первая статья, в которой пытались решить проблему с использованием алгебраические свойства π . Только в 1882 году Фердинанд фон Линдеманн строго доказал, что это невозможно.

Математик, логик и писатель Викторианской эпохи Чарльз Лютвидж Доджсон, более известный под псевдонимом Льюис Кэрролл , также проявил интерес к развенчанию нелогичных теорий возведения круга в квадрат. В одной из своих дневниковых записей за 1855 год Доджсон перечислил книги, которые он надеялся написать, в том числе одну под названием «Простые факты для квадроциклов». Во введении к «Новой теории параллелей» Доджсон рассказал о попытке продемонстрировать логические ошибки паре квадратов, заявив: ^[6]

Первый из этих двух заблудших провидцев наполнил меня огромным желанием совершить подвиг, о котором я никогда не слышал, как совершенный человеком, а именно убедить квадратный круг в его ошибке! Мой друг выбрал для Пи значение 3,2: огромная ошибка соблазнила меня мыслью, что она может быть легко продемонстрирована как БЫТЬ ошибкой. Обменялось более десятка писем, прежде чем я с грустью убедился, что у меня нет шансов.

Высмеивание квадрата круга появляется в книге Августа де Моргана « Бюджет парадоксов », посмертно опубликованной его вдовой в 1872 году. Первоначально опубликовав эту работу как серию статей в « Athenæum» , он пересматривал ее для публикации во время его публикации. смерть. Квадрат круга был очень популярен в девятнадцатом веке, но сегодня вряд ли кто-то занимается им, и считается, что работа де Моргана помогла этому. ^[7]

Две другие классические задачи античности, известные своей невозможностью, - это удвоение куба и деление угла пополам . Как и возведение круга в квадрат, их нельзя решить методами циркуля и линейки. Однако, в отличие от квадрата круга, их можно решить с помощью немного более мощного метода построения оригами , как описано в математике складывания бумаги .

Невозможность [ править ]

Решение задачи возведения круга в квадрат циркулем и линейкой требует построения числа √ π . Если √ π является конструктивен , то из стандартных конструкций , что π также будет конструктивна. В 1837 году Пьер Ванцель показал, что длины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, должны быть решениями некоторых полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами. ^{[8] [9]} Таким образом, конструктивные длины должны быть алгебраическими числами . Если бы задачу о квадратуре окружности можно было решить, используя только циркуль и линейку, то πдолжно быть алгебраическим числом. Иоганн Генрих Ламберт предположил, что π не является алгебраическим, то есть трансцендентным числом , в 1761 году. ^[10] Он сделал это в той же статье, в которой доказал его иррациональность , даже до того, как было доказано общее существование трансцендентных чисел. Лишь в 1882 году Фердинанд фон Линдеманн доказал трансцендентность π и тем самым показал невозможность этой конструкции. ^[11]

Трансцендентность π подразумевает невозможность точно «обвести» квадрат, а также возвести его в квадрат.

Можно построить квадрат с площадью, произвольно близкой к площади данного круга. Если рациональное число используется в качестве приближения к π , то возведение круга в квадрат становится возможным в зависимости от выбранных значений. Однако это только приближение и не соответствует ограничениям древних правил решения проблемы. Несколько математиков продемонстрировали работоспособные процедуры, основанные на различных приближениях.

Изменение правил путем введения дополнительного инструмента, позволяющего бесконечное количество операций с циркулем и линейкой или путем выполнения операций в определенных неевклидовых геометриях, также в некотором смысле делает возможным квадратирование круга. Например, квадрат Гиппия позволяет возвести круг в квадрат, а также разрезать произвольный угол пополам , как и спираль Архимеда . ^[12] Хотя круг не может быть возведен в квадрат в евклидовом пространстве , иногда он может быть в гиперболической геометрии при подходящей интерпретации терминов. ^{[13] [14]}Поскольку в гиперболической плоскости нет квадратов, их роль должны выполнять правильные четырехугольники , то есть четырехугольники, у которых все стороны совпадают, а все углы совпадают (но эти углы строго меньше прямых). В гиперболической плоскости существует (счетно) бесконечно много пар конструктивных окружностей и конструктивных правильных четырехугольников одинаковой площади, которые, однако, строятся одновременно. Не существует метода, чтобы начать с правильного четырехугольника и построить круг равной площади, и нет метода, чтобы начать с круга и построить правильный четырехугольник одинаковой площади (даже когда круг имеет достаточно малый радиус, такой, что правильный четырехугольник равной площади).

Современные аппроксимационные построения [ править ]

Хотя возведение круга в квадрат с идеальной точностью - невозможная задача с использованием только циркуля и линейки, приближения к возведению круга в квадрат можно получить, построив длины, близкие к  π . Требуется лишь минимальное знание элементарной геометрии, чтобы преобразовать любое данное рациональное приближение π в соответствующую конструкцию циркуля и линейки , но конструкции, сделанные таким образом, имеют тенденцию быть очень длинными по сравнению с точностью, которую они достигают. После того, как точная проблема оказалась неразрешимой, некоторые математики применили свою изобретательность, чтобы найти изящные аппроксимации квадрата круга, которые грубо и неформально определены как конструкции, которые особенно просты среди других мыслимых конструкций, дающих подобную точность.

Строительство Кочанского [ править ]

Одним из ранних исторических приближений является приближение Кочанского, которое отличается от π только в пятом знаке после запятой. Он был очень точным на момент открытия (1685 г.). ^[15]

На левой диаграмме

${\ displaystyle | P_ {3} P_ {9} | = | P_ {1} P_ {2} | {\ sqrt {{\ frac {40} {3}} - 2 {\ sqrt {3}}}} \ приблизительно 3,141 \, 5 {\ color {red} 33 \, 338} \ cdot | P_ {1} P_ {2} | \ приблизительно \ pi r.}$

Строительство Якоба де Гелдера [ править ]

В 1849 году в Архиве Грюнерта было опубликовано элегантное и простое сооружение Якоба де Гельдера (1765-1848) . Это было на 64 года раньше, чем аналогичное строительство Рамануджаном. ^[16] Он основан на приближении

${\ Displaystyle \ pi \ приблизительно {\ гидроразрыва {355} {113}} = 3,141 \; 592 {\ color {красный} \; 920 \; \ ldots}}$

Это значение имеет точность до шести знаков после запятой и было известно в Китае с V века как дробь Цзу Чунчжи , а в Европе - с 17 века.

Гелдер не строил сторону квадрата; ему было достаточно найти следующее значение

${\ displaystyle {\ overline {AH}} = {\ frac {4 ^ {2}} {7 ^ {2} + 8 ^ {2}}}}$.

На иллюстрации напротив - описанной ниже - показана конструкция Якоба де Гелдера с продолжением.

Нарисуйте две взаимно перпендикулярные центральные линии окружности с радиусом CD = 1 и определите точки пересечения A и B. Положите отрезок CE = фиксированный и соедините E с A. Определите на AE и от A отрезок AF = . Проведите FG параллельно CD и соедините E с G. Нарисуйте FH параллельно EG , затем AH = Определите BJ = CB и затем JK = AH . Разделите AK пополам в L и воспользуйтесь теоремой Фалеса${\ displaystyle {\ tfrac {7} {8}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {4^{2}}{7^{2}+8^{2}}}.}$вокруг L от A, что приводит к точке пересечения M. Отрезок BM является квадратным корнем из AK и, следовательно, длиной стороны искомого квадрата с почти такой же площадью.${\displaystyle a}$

Примеры, иллюстрирующие ошибки:

• В окружности радиуса r = 100 км погрешность длины стороны a ≈ 7,5 мм.
• В случае круга радиусом r = 1 м погрешность площади A ≈ 0,3 мм ^2.

Строительство Хобсона [ править ]

Среди современных приближенных построений был один, сделанный Э. У. Хобсоном в 1913 году. ^[16] Это было довольно точное построение, основанное на построении приблизительного значения 3,14164079 ..., которое с точностью до трех десятичных знаков (то есть отличается от π на о4,8 × 10 ⁻⁵ ).

«Мы считаем , что GH = т . 1 ^. 77246 ..., а с = 1 ^. 77245 мы видим , что GH больше , чем сторона квадрата, площадь которого равна окружности менее чем на два сто тысячных из радиус." ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$

Хобсон не упоминает формулу приближения π в своей конструкции. На приведенном выше рисунке показана конструкция Хобсона с продолжением.

Постройки Рамануджана [ править ]

Индийский математик Шриниваса Рамануджан в 1913 году, ^{[17] [18]} Карл Олдс в 1963 году, Мартин Гарднер в 1966 году и Бенджамин Болд в 1982 году все предложили геометрические конструкции для

${\displaystyle {\frac {355}{113}}=3.141\;592{\color {red}\;920\;\ldots }}$

с точностью до шести десятичных знаков числа  π .

В 1914 году Рамануджан дал конструкцию линейки и циркуля, которая была эквивалентна принятию приблизительного значения π равным

${\displaystyle \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.141\;592\;65{\color {red}2\;582\;\ldots }}$

что дает восемь десятичных знаков числа π . ^[19] Он описывает свою конструкцию до отрезка OS следующим образом. ^[20]

«Пусть AB (рис. 2) - диаметр окружности с центром в О. Разделите дугу ACB пополам в точке C и разделите AO пополам в точке T. Соедините BC и отсеките от нее CM и MN, равные AT. Соедините AM и AN и отрезанный от последнего AP, равный AM. Через P проведите PQ параллельно MN и встретите AM в Q. Присоединитесь к OQ, а через T проведите TR, параллельно OQ и встретив AQ в R. Нарисуйте AS перпендикулярно AO и равное AR, и присоединиться к ОС. Тогда среднее значение, пропорциональное ОС и ОВ, будет почти равным шестой части окружности, при этом погрешность будет меньше двенадцатой дюйма при длине диаметра 8000 миль ".

В этой квадратуре Рамануджан не построил длину стороны квадрата, ему было достаточно показать отрезок OS . В следующем продолжении построения линейный сегмент OS используется вместе с линейным сегментом OB для представления средних пропорциональных величин (красный линейный сегмент OE ).

Продолжение построения до желаемой длины стороны квадрата a:

Вытяните AB за пределы A и сделайте дугу окружности b ₁ вокруг точки O радиусом OS , в результате получится S '. Разделите пополам отрезок BS ' в D и проведите полукруг b ₂ над D. Нарисуйте прямую линию от O через C до полукруга b ₂ , она разрезает b ₂ в E. Отрезок OE является средним, пропорциональным между OS' и OB , также называемое средним геометрическим . Вытяните линейный сегмент EO за пределы O и перенесите EO еще дважды, в результате получится F и A ₁ , и, следовательно, длина линейного сегмента EA1с описанным выше значением приближения π , половины окружности круга. Разделите пополам отрезок EA ₁ в G и проведите полукруг b ₃ над G. Перенесите расстояние OB от A ₁ к отрезку EA ₁ , получится H. Создайте вертикаль от H до полукруга b ₃ на EA ₁ , это приводит к B ₁ . Соедините A ₁ с B ₁ , таким образом, искомая сторона a квадрата A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ построен, который имеет почти такую ​​же площадь, что и данный круг.

Примеры, иллюстрирующие ошибки:

• В круге радиусом r = 10 000 км погрешность длины стороны a ≈ −2,8 мм.
• В случае круга радиусом r = 10 м погрешность площади A ≈ −0,1 мм ²

Строительство с использованием золотого сечения [ править ]

• В 1991 году Роберт Диксон построил для

${\displaystyle {\frac {6}{5}}\cdot \left(1+\varphi \right)=3.141\;{\color {red}640\;\ldots },}$

где это золотое сечение . ^[21] Три десятичных разряда равны таковым в π .${\displaystyle \varphi }$

• Если радиус и сторона квадрата${\displaystyle r=1}$

${\displaystyle a={\sqrt {{\frac {6}{5}}\cdot \left(1+\varphi \right)}}={\sqrt {\varphi +1+{\frac {1}{5}}\cdot \left(1+\varphi \right)}}=1.772\;4{\color {red}67\;\ldots }}$

затем развернутая вторая формула показывает последовательность шагов для альтернативного построения (см. следующую иллюстрацию). Четыре десятичных разряда равны таковым в √ π .

Примерное строительство с использованием золотого сечения .
${\displaystyle {\sqrt {{\overline {AE}}+1+{\tfrac {1}{5}}\cdot (1+{\overline {AE}})}}={\sqrt {AG}}=a\approx {\sqrt {\pi }}}$

Возведение в квадрат или квадратура как интегрирование [ править ]

Нахождение площади под кривой, известное как интегрирование в исчислении или квадратура в численном анализе , было известно как возведение в квадрат до изобретения математического анализа . Поскольку методы исчисления были неизвестны, обычно предполагалось, что возведение в квадрат следует производить с помощью геометрических построений, то есть с помощью циркуля и линейки. Например, Ньютон писал Ольденбургу в 1676 году: «Я полагаю, что М. Лейбниц не будет недолюбливать теорему в начале моей стр. 4 письма о возведении в квадрат кривых геометрически» (курсив мой ). ^[22] После Ньютона и Лейбница изобрели исчисление, они все еще называли эту проблему интегрирования квадратом кривой.

Претензии квадрата круга [ править ]

Связь с проблемой долготы [ править ]

Математическое доказательство того, что квадратура круга невозможна с использованием только циркуля и линейки, не оказалось препятствием для многих людей, которые в любом случае потратили годы на решение этой проблемы. Возведение круга в квадрат - это известное утверждение чудака . ( См. Также псевдоматематику .) В преклонном возрасте английский философ Томас Гоббс убедил себя, что ему удалось возвести круг в квадрат, утверждение, которое было опровергнуто Джоном Уоллисом в рамках полемики между Гоббсом и Уоллисом . ^{[23] [24]}

В течение 18 и 19 веков представление о том, что проблема квадратуры круга каким-то образом связана с проблемой долготы, по- видимому, стало преобладать среди потенциальных квадратов круга. В 1872 году Август де Морган писал, используя «циклометр» для вычисления квадрата круга :

Говоря о Франции, Монтукла говорит, что он считает, что среди циклометров преобладают три понятия: 1. За успех предлагается большая награда; 2. Что проблема долготы зависит от этого успеха; 3. Решение - это великая цель и объект геометрии. Те же три понятия одинаково распространены среди одного и того же класса в Англии. Правительство ни одной из стран никогда не предлагало никаких наград. ^[25]

Хотя с 1714 по 1828 год британское правительство действительно спонсировало приз в размере 20 000 фунтов стерлингов за решение проблемы долготы, неясно, почему именно была установлена ​​связь с квадратом круга; тем более, что к концу 1760-х годов были открыты два негеометрических метода (астрономический метод определения лунных расстояний и механический хронометр ). Де Морган продолжает, что «проблема долготы никоим образом не зависит от идеального решения; существующих приближений достаточно с точностью, намного превосходящей то, что можно было бы пожелать». В своей книге де Морган также упоминает о получении множества писем с угрозами от потенциальных квадратов, обвиняющих его в попытке «обмануть их и лишить их приза».

Другие современные претензии [ править ]

Даже после того, как это оказалось невозможным, в 1894 году математик-любитель Эдвин Дж. Гудвин утверждал, что он разработал метод квадрата круга. Техника, которую он разработал, не позволяла точно квадрировать круг и обеспечивать неправильную площадь круга, которая по существу переопределяла число Пи как равное 3,2. Затем Гудвин предложил законопроект Индианы Пи в законодательный орган штата Индиана, позволяющий штату использовать его метод в образовании без выплаты ему гонораров. Законопроект прошел без возражений в государственной палате, но он был внесен на рассмотрение и никогда не голосовал в Сенате на фоне растущих насмешек со стороны прессы. ^[26]

Математический чудак Карл Теодор Хейзель также утверждал, что построил круг в квадрате в своей книге 1934 года «Смотри!: Большая проблема больше не остается нерешенной: квадрат круга не подлежит опровержению». ^[27] Пол Халмос назвал книгу «классической книгой о чудаках». ^[28]

В 1851 году Джон Паркер опубликовал книгу « Квадратура круга», в которой утверждал, что построил круг в квадрате. Его метод фактически произвел приближение π с точностью до шести цифр. ^{[29] [30] [31]}

В литературе [ править ]

Проблема квадрата круга упоминалась такими поэтами, как Данте и Александр Поуп , с различными метафорическими значениями. Его литературное использование восходит к 414 году до нашей эры, когда впервые была поставлена ​​пьеса Аристофана «Птицы » . В нем персонаж Метон Афинский упоминает квадрат круга, возможно, чтобы указать на парадоксальную природу своего утопического города. ^[32]

Райская песнь Данте XXXIII, строки 133–135 содержат стихи:

Для Данте возведение круга в квадрат представляет собой задачу за пределами человеческого понимания, которую он сравнивает со своей собственной неспособностью постичь Рай. ^[33]

К 1742 году, когда Александр Поуп опубликовал четвертую книгу своей Дунциады , попытки возведения в квадрат квадратов стали рассматриваться как «дикие и бесплодные»: ^[30]

Точно так же в комической опере Гилберта и Салливана « Принцесса Ида» есть песня, в которой сатирически перечисляются невыполнимые цели женского университета, которым руководит главный герой, например, поиск вечного двигателя . Одна из этих целей - «А круг - квадрат возведут / В один прекрасный день». ^[34]

Сестина , поэтическая форма впервые использован в 12 - м века Арнаута Daniel , была сказана в квадрате круга в его использовании квадратного числа линий (шесть строф по шесть строк каждых) с круговой схемой шести повторяющихся слов. Спанос (1978) пишет, что эта форма вызывает символическое значение, в котором круг обозначает небо, а квадрат обозначает землю. ^[35] Похожая метафора была использована в рассказе О. Генри «В квадрате круга» 1908 года о давней семейной вражде. В названии этого рассказа круг представляет мир природы, а квадрат представляет город, мир людей. ^[36]

В более поздних работах круг-squarers , такие как Леопольд Блум в Джеймс Джойс «роман с Улисс и Lawyer Paravant в Томаса Манна » s Волшебная гора рассматривается как заблуждаются или как не от мира сего мечтателей, не зная о его математической невозможности и сделать грандиозные планы в результате они никогда не достигнут. ^{[37] [38]}

См. Также [ править ]

• Для более современной связанной проблемы см. Проблема квадрата круга Тарского .
• Squircle представляет собой математическую форму со свойствами между теми , квадрата и те окружности.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с квадратом круга на Викискладе?

В Wikisource есть оригинальный текст, связанный с этой статьей: Квадрат круга

• Квадрат круга в архиве истории математики MacTutor
• Квадрат круга при разрезании узла
• Circle Squaring в MathWorld , включает информацию о процедурах, основанных на различных приближениях числа пи
• « Квадрат круга » в « Конвергенции »
• Квадратура круга и Lunes Гиппократа в конвергенции
• Как развернуть круг Пи с точностью до восьми знаков после запятой, используя линейку и компас.
• «В квадрате круга и другие невозможности» , лекция Робина Уилсона , в Грешем-колледже , 16 января 2008 г. (доступна для скачивания в виде текстового, аудио- или видеофайла).
• Грайм, Джеймс. «В квадрате круга» . Numberphile . Брэди Харан .
• «2000 лет неразгаданности: почему невозможно удвоение кубов и квадратов кругов?» от Burkard Polster