Доказательства математического результата, что рациональное число22/7больше π (пи) восходят к древности. Одно из этих доказательств, разработанное совсем недавно, но требующее только элементарных методов исчисления, привлекло внимание современной математики из-за его математической элегантности и связи с теорией диофантовых приближений . Стивен Лукас называет это доказательство «одним из самых красивых результатов, связанных с приближением π ». [1] Джулиан Хэвил завершает обсуждение приближений числа π цепной дробью своим результатом, описывая его как «невозможно удержаться от упоминания» в этом контексте. [2]
Цель доказательства состоит не в том, чтобы в первую очередь убедить читателей в том, что 22/7(или 3+1/7) действительно больше π ; систематические методы вычисления значения π существуют. Если известно, что π приблизительно равно 3,14159, то тривиально следует, что π < 22/7, что приблизительно равно 3,142857. Но требуется гораздо меньше работы, чтобы показать, что π < 22/7методом, использованным в этом доказательстве, чем показать, что π приблизительно равно 3,14159.
Приближение известно с глубокой древности. Архимед написал первое известное доказательство того, что 22/7является завышенной оценкой для III века до нашей эры, хотя он, возможно, не был первым, кто использовал это приближение. Его доказательство продолжается, показывая, что 22/7больше , чем отношение периметра в виде правильного многоугольника с 96 сторон к диаметру окружности он обертывает. [примечание 1]
Доказательство
Доказательство можно выразить очень лаконично:
Следовательно, 22/7 > π .
Вычисление этого интеграла было первой задачей на конкурсе Патнэма 1968 года . [4] Это проще, чем большинство задач Putnam Competition, но в соревновании часто встречаются, казалось бы, неясные проблемы, которые, как выясняется, относятся к чему-то очень знакомому. Этот интеграл также использовался при вступительных экзаменах в Индийские технологические институты . [5]
Детали оценки интеграла
То , что интеграл положителен следует из того , что подынтегральное выражение является неотрицательным , будучи фактор с участием только суммы и произведения степеней неотрицательных действительных чисел . Кроме того, можно легко проверить, что подынтегральное выражение строго положительно по крайней мере для одной точки в диапазоне интегрирования, скажем, в 1/2. Поскольку подынтегральное выражение непрерывно в этой точке и неотрицательно в другом месте, интеграл от 0 до 1 должен быть строго положительным.
Осталось показать, что интеграл фактически дает желаемую величину:
В Dalzell (1944) указано, что если 1 подставить вместо x в знаменателе, получится нижняя граница интеграла, а если 0 вместо x в знаменателе, получится верхняя граница: [6]
Таким образом, мы имеем
следовательно, 3.1412 < π <3.1421 в десятичном разложении. Границы отклоняются от π менее чем на 0,015% . См. Также Dalzell (1971) . [7]
Доказательство того, что 355/113 превышает π
Как обсуждалось в Lucas (2005) , хорошо известное диофантово приближение и гораздо лучшая верхняя оценка355/113для π следует из соотношения
где первые шесть цифр после десятичной точки совпадают с цифрами π . Подставляя 1 вместо x в знаменатель, получаем оценку снизу
подставив 0 вместо x в знаменатель, мы получим вдвое больше этого значения в качестве верхней границы, следовательно,
В десятичном представлении это означает 3,141 592 57 < π < 3,141 592 74 , где жирные цифры нижней и верхней границы соответствуют цифрам π .
Расширения
Вышеупомянутые идеи можно обобщить, чтобы получить лучшее приближение к π ; см. также Backhouse (1995) [8] и Lucas (2005) (однако в обеих ссылках не приводятся расчеты). Для явных вычислений, рассмотрим для любого целого п ≥ 1 ,
где первое равенство выполняется, поскольку слагаемые при 1 ≤ j ≤ 3 n - 1 сокращаются, а второе равенство возникает из-за сдвига индекса j → j + 1 в первой сумме.
^Хэвил, Джулиан (2003), Гамма. Изучение постоянной Эйлера , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. 96, ISBN 0-691-09983-9, MR 1968276 , Zbl 1023.11001
^Archimedes (2002) [1897], «Измерение круга», в Heath, TL (ed.), The Works of Archimedes , Dover Publications, стр. 93–96, ISBN 0-486-42084-1
^Александерсон, Джеральд Л .; Клосински, Леонард Ф .; Ларсон, Лорен С., ред. (1985), Математический конкурс Уильяма Лоуэлла Патнэма: проблемы и решения: 1965–1984 , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN 0-88385-463-5, Zbl 0584,00003
^ Совместный вступительный экзамен IIT 2010 г. , вопрос 41 на странице 12 раздела математики.
^Далцелл, ДП (1944), "О 22/7", журнал Лондонского математического общества , 19 (75 часть 3): 133-134, DOI : 10,1112 / jlms / 19.75_part_3.133 , MR 0013425 , Zbl 0060,15306.
^Dalzell, DP (1971), «22/7 и 355/113», Eureka; Журнал Архимеда , 34 : 10–13, ISSN 0071-2248.
^Бэкхаус, Найджел (июль 1995 г.), «Примечание 79.36, Блинные функции и приближения к π », The Mathematical Gazette , 79 (485): 371–374, JSTOR 3618318
Внешние ссылки
Проблемы конкурса Патнэма 1968 года , где это доказательство указано как вопрос A1.