Формула Лейбница для π

См. Список вещей, названных в честь Готфрида Лейбница, чтобы узнать о других формулах, известных под тем же именем.

В математике , то формула Лейбница для П , названной по имени Готфрида Лейбница , утверждает , что

${\ displaystyle 1 \, - \, {\ frac {1} {3}} \, + \, {\ frac {1} {5}} \, - \, {\ frac {1} {7}} \ , + \, {\ frac {1} {9}} \, - \, \ cdots \, = \, {\ frac {\ pi} {4}},}$

знакопеременный ряд . Его также называют рядом Мадхавы-Лейбница, поскольку это частный случай более общего разложения в ряд для функции обратной касательной , впервые обнаруженный индийским математиком Мадхавой из Сангамаграмы в 14 веке, конкретный случай, впервые опубликованный Лейбницем около 1676 года . ^[1] Ряд для функции обратной касательной , также известный как ряд Грегори , может быть задан следующим образом:

${\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots }$

Формула Лейбница для π/4можно получить, положив в этот ряд x = 1 . ^[2]

Он также является Дирихле L -рядов из неглавного характера Дирихля по модулю 4 , измеренного при х = 1 , и , следовательно, значение р (1) из беты - функции Дирихле .

Доказательство [ править ]

Доказательство 1 [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\right).\end{aligned}}}$

Учитывая только интеграл в последнем члене, мы имеем:

${\displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx={\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .}$

Следовательно, по теореме о сжатии при n → ∞ остается ряд Лейбница:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$

Доказательство 2 [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+z^{2}}}\,dz\\[8pt]\end{aligned}}}$

Когда , сходится равномерно, поэтому ${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{2k}}$

${\displaystyle f(z)=\arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {1}{1+z^{2}}}dz=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}\ (|z|<1)}$

Если приближается так, что он непрерывен и сходится равномерно, доказательство завершено. Из теста Лейбница , сходится, а также подходы внутри угла Штольца, так из теоремы Абеля это правильно.${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(1)}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(1)}$

Конвергенция [ править ]

Формула Лейбница сходится чрезвычайно медленно: она демонстрирует сублинейную сходимость . Вычисление π до 10 правильных десятичных знаков с использованием прямого суммирования ряда требует около пяти миллиардов членов, потому что4/2 к + 1<10 ⁻¹⁰ для k > 2 × 10 ¹⁰ -1/2.

Однако формулу Лейбница можно использовать для вычисления π с высокой точностью (сотни цифр и более), используя различные методы ускорения сходимости . Например, преобразование Хвостовики , преобразование Эйлера или преобразование Вана Вейнгаарден , которые являются общими методами знакопеременного ряда, может быть эффективно применен к частичным суммам ряда Лейбница. Кроме того, попарное объединение членов дает не чередующийся ряд

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}}$

которые могут быть вычислены с высокой точностью из небольшого числа членов с помощью экстраполяции Ричардсона или формулы Эйлера – Маклорена . Этот ряд также можно преобразовать в интеграл с помощью формулы Абеля – Планы и оценить с помощью методов численного интегрирования .

Необычное поведение [ править ]

Если ряд усечен в нужный момент, десятичное разложение приближения будет соответствовать таковому для π для многих других цифр, за исключением отдельных цифр или групп цифр. Например, если взять пять миллионов терминов, то получится

${\displaystyle 3.141592{\underline {4}}5358979323846{\underline {4}}643383279502{\underline {7}}841971693993{\underline {873}}058...}$

где подчеркнутые цифры неправильные. Фактически ошибки можно предсказать; они порождаются числами Эйлера E _n согласно асимптотической формуле

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-2\sum _{k=1}^{\frac {N}{2}}{\frac {(-1)^{k-1}}{2k-1}}\sim \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {E_{2m}}{N^{2m+1}}}}$

где N - целое число, делящееся на 4. Если N выбрано равным степени десяти, каждый член в правой сумме становится конечной десятичной дробью. Эта формула является частным случаем формулы суммирования булевых чисел для чередующихся рядов, предоставляя еще один пример техники ускорения сходимости, которая может применяться к рядам Лейбница. В 1992 году Джонатан Борвейн и Марк Лимбер использовали первую тысячу чисел Эйлера для вычисления числа π с точностью до 5263 десятичных разрядов по формуле Лейбница. ^[3]

Произведение Эйлера [ править ]

Формулу Лейбница можно интерпретировать как ряд Дирихле с использованием уникального неглавного характера Дирихле по модулю 4. Как и в случае с другими рядами Дирихле, это позволяет преобразовать бесконечную сумму в бесконечное произведение с одним членом для каждого простого числа . Такое произведение называется произведением Эйлера . Это:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)\\&={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdot {\frac {19}{20}}\cdot {\frac {23}{24}}\cdot {\frac {29}{28}}\cdots \end{aligned}}}$

В этом произведении каждый член представляет собой суперчастное соотношение , каждый числитель - нечетное простое число, а каждый знаменатель - это ближайшее кратное 4 к числителю. ^[4]

См. Также [ править ]

• Список формул, содержащих π

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Формула Лейбница на C, сборка x86 FPU, сборка x86-64 SSE3 и сборка DEC Alpha