Ниже приводится список важных формул, включающих математическую константу π . Список содержит только формулы, значение которых установлено либо в статье о самой формуле, артикле Пи , либо в статье Приближения числа π .
где С представляет собой окружность из круга , д является диаметром .
где A - площадь круга, а r - радиус .
где V - объем сферы, а r - радиус.
где SA - площадь поверхности сферы, а r - радиус.
где H - гиперобъем клубочка, а r - радиус.
где SV - объем поверхности клубочка, а r - радиус.
Интегралы
- (объединяя две половинки чтобы получить площадь круга радиуса )
- (интегральная форма арктана по всей его области, дающая период загара ).
- (см. интеграл Гаусса ).
- (когда путь интегрирования один раз наматывается против часовой стрелки вокруг 0. См. также интегральную формулу Коши ).
- (см. также Доказательство того, что 22/7 превосходит π ).
Отметим, что с симметричными подынтегральными выражениями , формулы вида также можно перевести в формулы .
Эффективная бесконечная серия
- (см. также Двойной факториал )
- (см. алгоритм Чудновского )
- (см. Шриниваса Рамануджана , серия Рамануджана – Сато )
Следующие действия эффективны для вычисления произвольных двоичных цифр числа π :
- (см. формулу Бейли – Борвейна – Плуфа )
Другая бесконечная серия
- (см. также задачу Базеля и дзета-функцию Римана )
- , где B 2 n - число Бернулли .
- [1]
- (см. формулу Лейбница для числа пи )
- (Эйлер, 1748 г.)
После первых двух членов знаки определяются следующим образом: если знаменатель - простое число в форме 4 m - 1, знак положительный; если знаменатель - простое число в форме 4 m + 1, знак отрицательный; для составных чисел знак равен произведению знаков его множителей. [2]
Также:
где является п -го числа Фибоначчи .
Некоторые формулы , связывающие pi ; и гармонические числа приведены здесь .
Машинные формулы
- (исходная формула Мачина )
где является п -го числа Фибоначчи .
Бесконечная серия
Вот некоторые бесконечные серии, включающие π: [3]
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
где - это символ Поххаммера для восходящего факториала. См. Также серию Рамануджана – Сато .
Бесконечные продукты
- ( Эйлер )
- где числители - нечетные простые числа; каждый знаменатель кратен четырем ближайшим к числителю.
- (см. также продукт Wallis )
Формула Вьете :
Формула двойного бесконечного произведения, включающая последовательность Туэ-Морса :
- где а также это последовательность Туэ-Морса ( Tóth 2020 ).
Формулы арктангенса
где такой, что .
Непрерывные дроби
Для получения дополнительной информации о третьем тождестве см . Формулу непрерывной дроби Эйлера .
(См. Также Непрерывная дробь и Обобщенная непрерывная дробь .)
Разнообразный
- ( Приближение Стирлинга )
- ( Тождество Эйлера )
- (см . функцию Эйлера )
- (см . функцию Эйлера )
- (см. также Гамма-функцию )
- (где agm - среднее арифметико-геометрическое )
- (где это остаток от деления n на k )
- ( Сумма Римана для оценки площади единичного круга)
- (по приближению Стирлинга ; см. также Двойной факториал )