В математике , А 3-сфера , или glome , [1] является многомерным аналогом сферы . Он может быть вложен в 4-мерное евклидово пространство как набор точек, равноудаленных от фиксированной центральной точки. Аналогично тому, как граница шара в трех измерениях является обычной сферой (или 2-сферой, двумерной поверхностью ), граница шара в четырех измерениях является 3-сферой (объект с тремя измерениями ). 3-сфера - это пример 3-многообразия и n-сферы .
Определение
В координатах 3-сфера с центром ( C 0 , C 1 , C 2 , C 3 ) и радиусом r представляет собой набор всех точек ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) в реальном четырехмерном пространстве. пространство ( R 4 ) такое, что
Трехмерная сфера с центром в начале координат и радиусом 1 называется единичной трехмерной сферой и обычно обозначается S 3 :
Часто удобно рассматривать R 4 как пространство с двумя комплексными измерениями ( C 2 ) или кватернионы ( H ). Единичная 3-сфера тогда задается формулой
или же
Это описание , как кватернионы в норме отождествить 3-сферу с versors в кватернионе теле . Так же, как единичный круг важен для плоских полярных координат , так и 3-сфера важна в полярном представлении о 4-пространстве, участвующем в умножении кватернионов. См. Полярное разложение кватерниона для подробностей этого развития трех сфер. Этот взгляд на 3-сферу является основой для изучения эллиптического пространства, разработанного Жоржем Лемэтром . [2]
Характеристики
Элементарные свойства
Трехмерный объем поверхности трехмерной сферы радиуса r равен
в то время как 4-мерный гиперобъем (объем 4-мерной области, ограниченной 3-сферой) равен
Каждое непустое пересечение 3-сферы с трехмерной гиперплоскостью является 2-сферой (если гиперплоскость не касается 3-сферы, и в этом случае пересечение является единственной точкой). Когда 3-сфера движется через заданную трехмерную гиперплоскость, пересечение начинается как точка, затем становится растущей 2-сферой, которая достигает своего максимального размера, когда гиперплоскость пересекает «экватор» 3-сферы. Затем 2-сфера снова сжимается до единственной точки, когда 3-сфера покидает гиперплоскость.
Топологические свойства
3-сфера представляет собой компактный , подключен , 3-мерное многообразие без края. Это тоже просто связано . В широком смысле это означает, что любую петлю или круговую траекторию на трехмерной сфере можно непрерывно сжимать до точки, не покидая трехмерной сферы. Гипотеза Пуанкаре , доказанная в 2003 г. Григорием Перельманом , гласит, что 3-сфера является единственным трехмерным многообразием (с точностью до гомеоморфизма ) с такими свойствами.
3-сфера гомеоморфно одноточечной компактификации из R 3 . В общем, любое топологическое пространство , гомеоморфное 3-сфере, называется топологической 3-сферой .
В группах гомологии из 3-сфер являются следующими: Н 0 (S 3 , Z ) и Н 3 (S 3 , Z ) являются бесконечным циклическими , а Н я (S 3 , Z ) = {0} для всех остальных индексы i . Любое топологическое пространство с этими группами гомологий называется гомологической 3-сферой . Первоначально Пуанкаре предположил, что все гомологические 3-сферы гомеоморфны S 3 , но затем он сам построил негомеоморфную, теперь известную как гомологическая сфера Пуанкаре . Сейчас известно, что существует бесконечно много гомологических сфер. Например, заливка Дена с уклоном1/пна любом узле в 3-сфере дает сферу гомологии; обычно они не гомеоморфны 3-сфере.
Что касается гомотопических групп , то π 1 (S 3 ) = π 2 (S 3 ) = {0} и π 3 (S 3 ) бесконечно циклически. Группы высших гомотопий ( k ≥ 4 ) все конечные абелевы, но в остальном не следуют заметному образцу. Для получения дополнительной информации см. Гомотопические группы сфер .
k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
π k ( S 3 ) | 0 | 0 | 0 | Z | Z 2 | Z 2 | Z 12 | Z 2 | Z 2 | Z 3 | Z 15 | Z 2 | Z 2 ⊕ Z 2 | Я 12 ⊕ Я 2 | Я 84 ⊕ Я 2 ⊕ Я 2 | Z 2 ⊕ Z 2 | Z 6 |
Геометрические свойства
Трехмерная сфера, естественно, является гладким многообразием , фактически, замкнутым вложенным подмногообразием в R 4 . Евклидова метрика на R 4 индуцирует метрику на 3-сфере , придавая ему структуру риманова многообразия . Как и все сферы, 3-сфера имеет постоянную положительную кривизну сечения, равную1/r 2где r - радиус.
Большая часть интересной геометрии 3-сферы проистекает из того факта, что 3-сфера имеет естественную структуру группы Ли, заданную умножением кватернионов (см. Раздел о структуре группы ниже ). Единственные другие сферы с такой структурой - это 0-сфера и 1-сфера (см. Группу кругов ).
В отличие от 2-сферы, 3-сфера допускает отличные от нуля векторные поля ( сечения ее касательного расслоения ). Можно даже найти три линейно независимых и ненулевых векторных поля. Это могут быть любые левоинвариантные векторные поля, образующие основу алгебры Ли 3-сферы. Это означает, что 3-сфера распараллеливаема . Отсюда следует, что касательное расслоение к 3-сфере тривиально . Общее обсуждение количества линейных независимых векторных полей на n- сфере см. В статье о векторных полях на сферах .
Существует интересное действие группы окружностей T на S 3, придающее 3-сфере структуру расслоения главных окружностей, известного как расслоение Хопфа . Если рассматривать S 3 как подмножество C 2 , действие определяется выражением
- .
Пространство орбит этого действия гомеоморфно двух сфер S 2 . Поскольку S 3 не гомеоморфно S 2 × S 1 , расслоение Хопфа нетривиально.
Топологическое построение
Известны несколько конструкций трехсферы. Здесь мы описываем склейку пары трехшаров, а затем одноточечную компактификацию.
Склейка
Трехмерную сферу можно построить топологически , «склеив» границы пары трехмерных шаров . Граница 3-шара - это 2-сфера, и эти две 2-сферы необходимо отождествить. То есть, представьте себе пару 3-х шариков одинакового размера, затем наложите их так, чтобы их 2-сферические границы совпали, и пусть совпадающие пары точек на паре 2-сфер будут одинаково эквивалентны друг другу. По аналогии со случаем 2-сферы (см. Ниже) поверхность склейки называется экваториальной сферой.
Обратите внимание, что внутренности 3-х шаров не склеены друг с другом. Один из способов думать о четвертом измерении - это непрерывная действительная функция трехмерных координат 3-шара, которая, возможно, считается «температурой». Мы берем «температуру» равной нулю вдоль склеиваемой 2-сферы, и пусть один из 3-х шариков будет «горячим», а другой 3-шар будет «холодным». «Горячий» 3-шар можно рассматривать как «верхнее полушарие», а «холодный» 3-шар можно рассматривать как «нижнее полушарие». Температура самая высокая / самая низкая в центрах двух 3-х шариков.
Эта конструкция аналогична построению 2-сферы, выполняемой путем склеивания границ пары дисков. Диск - это 2-шар, а граница диска - это окружность (1-сфера). Пусть пара дисков одного диаметра. Совместите их и приклейте на их границах соответствующие точки. Опять же, можно думать о третьем измерении как о температуре. Точно так же мы можем надуть 2-сферу, перемещая пару дисков, чтобы они стали северным и южным полушариями.
Компактификация по одной точке
После удаления единственной точки из 2-сферы то, что остается, гомеоморфно евклидовой плоскости. Таким же образом удаление одной точки из 3-сферы дает трехмерное пространство. Чрезвычайно полезный способ увидеть это - использовать стереографическую проекцию . Сначала мы опишем версию с меньшей размерностью.
Положите южный полюс единичной 2-сферы на плоскость xy в трехмерном пространстве. Мы отображаем точку P сферы (без северного полюса N ) на плоскость, отправляя P на пересечение прямой NP с плоскостью. Стереографическая проекция трехмерной сферы (опять же без северного полюса) отображается в трехмерное пространство таким же образом. (Обратите внимание, что, поскольку стереографическая проекция является конформной , круглые сферы отправляются на круглые сферы или на плоскости.)
Несколько другой способ думать об одноточечной компактификации - использовать экспоненциальную карту . Вернемся к нашему изображению единичной двухсферы, сидящей на евклидовой плоскости: рассмотрим геодезическую на плоскости, основанную на начале координат, и сопоставим ее с геодезической на двумерной сфере такой же длины, основанной на южном полюсе. По этой карте все точки окружности радиуса π направлены на северный полюс. Поскольку открытый единичный круг гомеоморфен евклидовой плоскости, это снова одноточечная компактификация.
Аналогично строится экспоненциальное отображение для 3-сферы; это также можно обсудить, используя тот факт, что 3-сфера является группой Ли единичных кватернионов.
Системы координат на 3-х сферах
Четыре евклидовых координаты для S 3 являются избыточными, поскольку они подчиняются условию, что x 0 2 + x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = 1 . В качестве трехмерного многообразия можно параметризовать S 3 тремя координатами, точно так же, как можно параметризовать 2-сферу, используя две координаты (например, широту и долготу ). Из-за нетривиальной топологии S 3 невозможно найти единый набор координат, покрывающий все пространство. Как и в случае с двумерной сферой, необходимо использовать как минимум две карты координат . Ниже приведены некоторые варианты выбора координат.
Гиперсферические координаты
Удобно иметь какие-то гиперсферические координаты на S 3 по аналогии с обычными сферическими координатами на S 2 . Один из таких вариантов - отнюдь не единственный - использовать ( ψ , θ , φ ) , где
где ψ и θ пробегают диапазон от 0 до π , а φ пробегают от 0 до 2 π . Обратите внимание, что для любого фиксированного значения ψ , θ и φ параметризуйте 2-сферу радиуса r sin ψ , за исключением вырожденных случаев, когда ψ равно 0 или π , и в этом случае они описывают точку.
Круглая метрика на 3-сфере в этих координатах задается [ править ]
и форма объема с помощью
Эти координаты имеют элегантное описание в терминах кватернионов . Любой единичный кватернион q можно записать как версор :
где τ - единичный мнимый кватернион ; то есть кватернион, удовлетворяющий τ 2 = −1 . Это кватернионный аналог формулы Эйлера . Теперь все единичные мнимые кватернионы лежат на единичной 2-сфере в Im H, поэтому любой такой τ можно записать:
С τ в этой форме единичный кватернион q имеет вид
где x 0,1,2,3 такие же, как указано выше.
Когда q используется для описания пространственных вращений (ср. Кватернионы и пространственные вращения ), он описывает вращение вокруг τ на угол 2 ψ .
Координаты Хопфа
Для единичного радиуса другой выбор гиперсферических координат ( η , ξ 1 , ξ 2 ) использует вложение S 3 в C 2 . В комплексных координатах ( z 1 , z 2 ) ∈ C 2 запишем
Это также может быть выражено в R 4 как
Здесь η пробегает диапазон от 0 до π/2, а ξ 1 и ξ 2 могут принимать любые значения от 0 до 2 π . Эти координаты полезны при описании 3-сферы как расслоения Хопфа
Для любого фиксированного значения η от 0 до π/2, координаты ( ξ 1 , ξ 2 ) параметризуют двумерный тор . Кольца постоянной ξ 1 и ξ 2, указанные выше, образуют простые ортогональные сетки на торах. См. Изображение справа. В вырожденных случаях, когда η равно 0 или π/2, эти координаты описывают окружность .
Круглая метрика на трехмерной сфере в этих координатах определяется выражением
и объемную форму
Чтобы получить взаимосвязанные круги расслоения Хопфа , сделайте простую замену в приведенных выше уравнениях [3]
В этом случае η и ξ 1 указывают, какой круг, а ξ 2 указывает положение вдоль каждого круга. Один круговой обход (от 0 до 2 π ) ξ 1 или ξ 2 приравнивается к круговому обходу тора в 2 соответствующих направлениях.
Стереографические координаты
Другой удобный набор координат может быть получено с помощью стереографической проекции из S 3 от полюса на соответствующую экваториальной R 3 гиперплоскости . Например, если мы проецируем из точки (−1, 0, 0, 0), мы можем записать точку p в S 3 как
где u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) - вектор в R 3 и || u || 2 знак равно и 1 2 + и 2 2 + и 3 2 . Во втором равенстве выше мы отождествили p с единичным кватернионом, а u = u 1 i + u 2 j + u 3 k с чистым кватернионом. (Обратите внимание, что числитель и знаменатель здесь коммутируют, хотя кватернионное умножение обычно некоммутативно). Обратное к этому отображению принимает p = ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) в S 3 в
Мы могли бы с таким же успехом проецировать из точки (1, 0, 0, 0) , и в этом случае точка p задается формулой
где v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) - другой вектор в R 3 . Обратное к этому отображению переводит p в
Обратите внимание, что координаты u определены везде, кроме (-1, 0, 0, 0), а координаты v везде, кроме (1, 0, 0, 0) . Это определяет атлас на S 3, состоящий из двух координатных карт или «участков», которые вместе покрывают всю S 3 . Обратите внимание, что функция перехода между этими двумя диаграммами на их перекрытии задается следующим образом:
и наоборот.
Структура группы
Если рассматривать его как набор единичных кватернионов , S 3 наследует важную структуру, а именно структуру кватернионного умножения. Поскольку множество единичных кватернионов замкнуто относительно умножения, S 3 принимает структуру группы . Более того, поскольку кватернионное умножение гладкое , S 3 можно рассматривать как вещественную группу Ли . Это неабелев , компактная группа Ли размерности 3. Когда рассматривать как группа Ли S 3 часто обозначается Sp (1) или U (1, H ) .
Оказывается, единственные сферы , допускающие структуру группы Ли, - это S 1 , рассматриваемый как набор единичных комплексных чисел , и S 3 , набор единичных кватернионов (вырожденный случай S 0, который состоит из действительных чисел 1 и -1 также является группой Ли, хотя и 0-мерной). Можно подумать, что S 7 , набор единичных октонионов , образует группу Ли, но это не удается, поскольку умножение октонионов неассоциативно . Октонионная структура придает S 7 одно важное свойство: возможность распараллеливания . Оказывается, что единственные сферы, которые можно распараллелить, - это S 1 , S 3 и S 7 .
Используя матричное представление кватернионов H , можно получить матричное представление S 3 . Удобный выбор дают матрицы Паули :
Это отображение дает гомоморфизм инъективной алгебры из H в набор комплексных матриц 2 × 2. Он обладает тем свойством, что абсолютное значение кватерниона q равно квадратному корню из определителя матричного изображения q .
Набор единичных кватернионов затем задается матрицами вышеуказанной формы с единичным определителем. Эта матричная подгруппа и есть специальная унитарная группа SU (2) . Таким образом, S 3 , как группа Ли изоморфна к SU (2) .
Используя наши координаты Хопфа ( η , ξ 1 , ξ 2 ), мы можем записать любой элемент SU (2) в виде
Другой способ сформулировать этот результат - если мы выразим матричное представление элемента SU (2) как линейную комбинацию матриц Паули. Видно, что произвольный элемент U ∈ SU (2) можно записать как
Условие, что определитель U равен +1, означает, что коэффициенты α 1 должны лежать на 3-сфере.
В литературе
В Эдвин Эбботт Abbott «s Флатландии , опубликованный в 1884 году, и в Sphereland , 1965 продолжение Флатландии по Dionys Burger , 3-сфера называется oversphere и 4-сфера называется гиперсфере .
Запись в Американском журнале физики , [4] Марк А. Петерсон описывает три различных способа визуализации 3-сферы и точки из языка в Божественной комедии , что наводит на мысль Данте рассматривал Вселенную таким же образом.
Смотрите также
- 1-сфера , 2-сфера , n-сфера
- тессеракт , полихорон , симплекс
- Матрицы Паули
- группа вращения SO (3)
- графики на SO (3)
- кватернионы и пространственные вращения
- Расслоение Хопфа , сфера Римана
- Сфера Пуанкаре
- Слоение Риба
- Клиффорд тор
Рекомендации
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Глом" . MathWorld . Проверено 4 декабря 2017 .
- ^ Жорж Лемэтр (1948) "Quaternions et espace elliptique", Acta Pontifical Academy of Sciences 12: 57–78
- ^ Банчофф, Томас. «Плоский тор в трех сферах» .
- ^ Марк А. Петерсон . «Данте и 3-сфера». Архивировано 23 февраля 2013 г.в archive.today , Американский журнал физики, том 47, номер 12, 1979 г., стр. 1031-1035.
- Дэвид В. Хендерсон , Опыт геометрии: в евклидовых, сферических и гиперболических пространствах, второе издание , 2001 г., [1] (Глава 20: 3-сферы и гиперболические 3-пространства).
- Джеффри Р. Уикс , Форма пространства: как визуализировать поверхности и трехмерные многообразия , 1985, ( [2] ) (Глава 14: Гиперсфера) (Говорит: Предупреждение по терминологии: наша двойная сфера определяется тремя -мерное пространство, где это граница трехмерного шара. Эта терминология является стандартной среди математиков, но не среди физиков. Поэтому не удивляйтесь, если вы обнаружите, что люди называют две сферы тремя сферами. )
- Замбой, Михал (8 января 2021 г.). «Синтетическое построение расслоения Хопфа в двойной ортогональной проекции 4-пространства». arXiv : 2003.09236v2 [ math.HO ].
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Гиперсфера» . MathWorld . Примечание . В этой статье используется альтернативная схема именования сфер, в которой сфера в n- мерном пространстве называется n -сферой.