В математике , гиперболическая деновская операция представляет собой операция , с помощью которого можно получить дополнительно гиперболические 3-многообразия из заданного cusped гиперболического 3-многообразия. Гиперболическая хирургия Дена существует только в трех измерениях и отличает гиперболическую геометрию в трех измерениях от других измерений.
Такую операцию часто также называют гиперболическим заполнением Дена , поскольку собственно операция Дена относится к операции «просверлить и заполнить» на ссылке, которая состоит из высверливания окрестности связи и последующего заполнения сплошными торами. Хирургия гиперболического Дена на самом деле включает только «наполнение».
Обычно мы будем предполагать, что трехмерное гиперболическое многообразие полно.
Предположим, что M - трехмерное гиперболическое многообразие с каспами и n каспами. M можно рассматривать топологически как внутренность компактного многообразия с торическим краем. Предположим, мы выбрали меридиан и долготу для каждого граничного тора, т.е. простые замкнутые кривые, которые являются образующими фундаментальной группы тора. ПозволятьОбозначим многообразие, полученное из M заполнением i -го граничного тора полноторием, используя наклон где каждая пара а также взаимно простые целые числа. Мы разрешаем быть Это означает, что мы не заполняем этот куспид, т.е. выполняем «пустое» заполнение Дена. Итак, M =.
Мы снабдим пространство H трехмерных гиперболических многообразий конечного объема геометрической топологией .
Теорема Терстона о гиперболической хирургии Дена гласит:гиперболичен до тех пор, пока существует конечное множество исключительных наклонов избегается для i -го куспида для каждого i . Кроме того,сходится к M в H, поскольку все для всех соответствующие непустым пломбам Дена .
Эта теорема принадлежит Уильяму Терстону и является фундаментальной для теории трехмерных гиперболических многообразий. Это показывает, что в H существуют нетривиальные пределы . Исследование геометрической топологии Трэлса Йоргенсена также показывает, что все нетривиальные пределы возникают при заполнении Дена, как в теореме.
Другой важный результат Терстона состоит в том, что объем уменьшается при гиперболическом заполнении Дена. Фактически, теорема утверждает, что объем уменьшается при топологическом заполнении Дена, конечно, при условии, что многообразие, заполненное Деном, является гиперболическим. Доказательство опирается на основные свойства нормы Громова .
Jorgensen также показал , что функция объема на этом пространстве является непрерывной , собственно функцией. Таким образом, согласно предыдущим результатам, нетривиальные пределы в H сводятся к нетривиальным пределам в наборе объемов. Фактически, можно далее заключить, как это сделал Терстон, что множество объемов конечных объемов трехмерных гиперболических многообразий имеет порядковый тип . Этот результат известен как теорема Терстона-Йоргенсена . Дальнейшая работа, характеризующая этот набор, была проделана Громовым .
Восьмерка узел и (-2, 3, 7) кренделя узел являются только два узла , чьи дополнения , как известно, имеют более 6 исключительных хирургических операций; у них 10 и 7 соответственно. Кэмерон Гордон предположил, что 10 - это максимально возможное число исключительных операций любого дополнения к гиперболическому узлу. Это было доказано Марком Лакенби и Робом Мейерхоффом, которые показали, что число исключительных наклонов равно 10 для любого компактного ориентируемого трехмерного многообразия с краем как тор и внутренним гиперболическим конечным объемом. Их доказательство опирается на доказательство гипотезы геометризации порожденного Григорием Перельманом и компьютерной помощи . Однако в настоящее время неизвестно, является ли узел восьмерка единственным узлом, который достигает оценки 10. Хорошо известная гипотеза состоит в том, что оценка (за исключением двух упомянутых узлов) равна 6. Агол показал, что существуют только конечное число случаев, когда число исключительных склонов равно 9 или 10.
Рекомендации
- Ян Агол, Границы исключительного заполнения Дена II , Геом. Тополь. 14 (2010) 1921-1940. arxiv: 0803: 3088
- Робион Кирби , Проблемы низкоразмерной топологии (см. Задачу 1.77, предложенную Кэмероном Гордоном , для исключительных наклонов)
- Марк Лакенби и Роберт Мейерхофф, Максимальное количество исключительных операций Дена , arXiv: 0808.1176
- Уильям Терстон , Геометрия и топология трехмерных многообразий , Примечания к лекциям в Принстоне (1978–1981).