Хирургия Дена

В топологии , раздел математики, операция Дена , названная в честь Макса Дена , представляет собой конструкцию, используемую для модификации трехмерных многообразий . В качестве входных данных для процесса используется 3-х коллектор вместе со звеном . Он часто осмысляется как два этапа: бурение затем заполнение .

Определения [ править ]

• Учитывая 3-многообразие и в связи , многообразие пробуренных вдоль получается удалением открытой трубчатой окрестности в с . Если , просверленное многообразие имеет граничные компоненты тора . Многообразие пробурено вдоль также известно как дополнение связи , так как если один удаляется соответствующая замкнутая трубчатая окрестность из , получает многообразие диффеоморфно .${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle L \ подмножество M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle M}$${\displaystyle L=L_{1}\cup \dots \cup L_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle T_{1}\cup \dots \cup T_{k}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M\setminus L}$
• Учитывая 3-многообразие, граница которого состоит из 2-торов , можно склеить в одном полнотории на гомеоморфизм (соответственно диффеоморфизм ) ее границ для каждого из тор граничных компонентов исходного 3-многообразия. В общем, есть много неэквивалентных способов сделать это. Этот процесс называется наполнением Дена .${\displaystyle T_{1}\cup \dots \cup T_{k}}$${\displaystyle T_{i}}$
• Операция Дена на 3-многообразии, содержащем звено, состоит в высверливании трубчатой ​​окрестности звена вместе с заполнением Дена всех компонентов границы, соответствующих звену.

Чтобы описать операцию Дена (см. Rolfsen, Dale (1976). Knots and Links (PDF) . Publish or Perish. Стр. 259.), выбираются две ориентированные простые замкнутые кривые и на соответствующем граничном торе просверленного трехмерного многообразия, где - меридиан (кривой , находящейся в маленьком шаре внутри и имеющей номер связи +1 с или, что то же самое, с кривой, которая ограничивает диск, который один раз пересекает компонент ) и имеет долготу (кривая, проходящая один раз вдоль или, что эквивалентно, кривая на такой, что алгебраическое пересечение равно +1). Кривые и порождают фундаментальную группу тора и составляют основу его первой группы гомологий${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle \ell _{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle \ell _{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle \langle \ell _{i},m_{i}\rangle }$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle \ell _{i}}$${\displaystyle T_{i}}$. Это дает любой простой замкнутой кривой на торе две координаты и , так что . Эти координаты зависят только от гомотопического класса в .${\displaystyle \gamma _{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle [\gamma _{i}]=[a_{i}\ell _{i}+b_{i}m_{i}]}$${\displaystyle \gamma _{i}}$

Мы можем определить гомеоморфизм границы полнотория к , если меридианная кривая полнотория отображается в кривую, гомотопную . Пока меридиан отображается на наклон операции , результирующая операция Дена даст 3-многообразие, которое не будет зависеть от конкретного склеивания (с точностью до гомеоморфизма). Отношение называется коэффициентом хирургии в .${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle [\gamma _{i}]}$${\displaystyle b_{i}/a_{i}\in \mathbb {Q} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle L_{i}}$

В случае зацеплений в 3-сфере или, в более общем смысле, в ориентированной сфере интегральных гомологий, существует канонический выбор долгот : каждая долгота выбирается так, чтобы она была гомологичной нулю в дополнительном узле - эквивалентно, если это граница поверхности Зейферта . ${\displaystyle \ell _{i}}$

Когда все отношения являются целыми числами (обратите внимание, что это условие не зависит от выбора долгот, поскольку оно соответствует новым меридианам, пересекающимся ровно один раз с древними меридианами), операция называется интегральной операцией . Такие операции тесно связаны с телом руля , кобордизмом и функциями Морзе .${\displaystyle b_{i}/a_{i}}$

Примеры [ править ]

• Если все коэффициенты хирургии бесконечны, то каждый новый меридиан гомотопен древнему меридиану . Следовательно, тип гомеоморфизма многообразия не меняется при перестройке.${\displaystyle \gamma _{i}}$${\displaystyle m_{i}}$

• Если - 3-сфера , - узел и коэффициент хирургии равен , то 3-многообразие с перенапряжением равно .${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}}$

• Если - 3-сфера , - узел и коэффициент хирургии равен , то 3-многообразие с выбросом представляет собой линзовое пространство . В частности, если коэффициент хирургии имеет форму , то 3-мерное многообразие с волнами по-прежнему остается 3-сферой.${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle b/a}$ ${\displaystyle L(b,a)}$${\displaystyle \pm 1/r}$

• Если - 3-сфера, - правосторонний узел - трилистник и коэффициент перестройки равен , то 3-многообразие с нагнетанием является додекаэдрическим пространством Пуанкаре .${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle +1}$

Результаты [ править ]

Каждые закрыто , ориентируемы , подключено 3-многообразие получается путем выполнения операции Дена по ссылке в 3-сфере . Этот результат, теорема Ликориша – Уоллеса , была впервые доказана Эндрю Х. Уоллесом в 1960 году и независимо WBR Lickorish в более сильной форме в 1962 году. Благодаря хорошо известной теперь связи между настоящей хирургией и кобордизмом этот результат эквивалентен Теорема о тривиальности группы ориентированных кобордизмов трехмерных многообразий, первоначально доказанная Владимиром Абрамовичем Рохлиным в 1951 году.

Поскольку все ориентируемые трехмерные многообразия могут быть порождены соответствующим образом оформленными связями, можно спросить, как могут быть связаны различные хирургические представления данного трехмерного многообразия. Ответ называется исчислением Кирби .

См. Также [ править ]

• Гиперболическая хирургия Дена
• Трубчатый район
• Хирургия многообразий, в общем смысле, также называется сферической модификацией.

Ссылки [ править ]

• Дена, Макс (1938), "Die Gruppe дер Abbildungsklassen", Acta Mathematica , 69 (1): 135-206, DOI : 10.1007 / BF02547712 CS1 maint: discouraged parameter (link).
• Тома, Рене (1954), "Quelques Globales Свойства Варьете différentiables" , Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17-86, DOI : 10.1007 / BF02566923 , МР  0061823 CS1 maint: discouraged parameter (link)^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
• Рольфсен, Дейл (1976). Узлы и ссылки (PDF) . Цикл лекций по математике. 346 . Беркли, Калифорния: опубликовать или погибнуть. п. 439. ISBN. 9780914098164.
• Кирби, Роб (1978), "Исчисление для каркасных звеньев в S ³ ", Inventiones Mathematicae , 45 (1): 35-56, DOI : 10.1007 / BF01406222 , МР  0467753 CS1 maint: discouraged parameter (link).
• Фенн, Роджер; Рурк, Колин (1979), «Об исчислении связей Кирби», Топология , 18 (1): 1–15, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (79) 90010-7 , MR  0528232 CS1 maint: discouraged parameter (link).
• Гомпф, Роберт ; Стипсич, Андраш (1999), 4-многообразия и исчисление Кирби , аспирантура по математике , 20 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, DOI : 10,1090 / gsm / 020 , ISBN 0-8218-0994-6, Руководство по ремонту  1707327 CS1 maint: discouraged parameter (link).