Узел восьмерка (математика)

Узел восьмерка
Распространенное имя	Узел восьмерка
Инвариант Arf	1
Длина тесьмы	4
Тесьма нет.	3
Мост нет.	2
Crosscap no.	2
Переход нет.	4
Род	1
Гиперболический объем	2,02988
Палка нет.	7
Распутывания нет.	1
Обозначение Конвея	[22]
Обозначение AB	4 1
Обозначение Даукера	4, 6, 8, 2
Последний / следующий	3 1 /  5 1
Другой
Переменный , гиперболической , расслаивается , премьер , полностью amphichiral , поворот

Узел-восьмерка практического завязывания узлов, со соединенными концами

В теории узлов узел в форме восьмерки (также называемый узлом Листинга ^[1] ) - это единственный узел с числом пересечения четыре. Это делает узел с третьим наименьшим возможным числом пересечения после узла и узла-трилистника . Узел в форме восьмерки - это простой узел .

Происхождение имени [ править ]

Название дано потому, что завязывание обычного узла в форме восьмерки на веревке с последующим соединением концов вместе наиболее естественным образом дает модель математического узла.

Описание [ править ]

Простое параметрическое представление узла в виде восьмерки - это набор всех точек ( x , y , z ), где

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = \ left (2+ \ cos {(2t)} \ right) \ cos {(3t)} \\ y & = \ left (2+ \ cos {(2t)} \ вправо) \ sin {(3t)} \\ z & = \ sin {(4t)} \ end {align}}}$

для t, изменяющегося по действительным числам (см. двухмерную визуальную реализацию внизу справа).

Узел в форме восьмерки простой , чередующийся , рациональный с соответствующим значением 5/2 и ахиральный . Узел в форме восьмерки также является волокнистым узлом . Это следует из других, менее простых (но очень интересных) представлений узла:

(1) Это однородная ^{[примечание 1]} замкнутая коса (а именно, замыкание 3-струнной косы σ ₁ σ ₂ ⁻¹ σ ₁ σ ₂ ⁻¹ ), и теорема Джона Столлингса показывает, что любая замкнутая однородная коса расслоен.

(2) Это ссылка на (0,0,0,0) из изолированной критической точки вещественно-полиномиальное отображение F : R ⁴ → R ² , так что ( в соответствии с теоремой Джона Милнором ) на карте милноровского из F на самом деле является расслоением. Бернар Перрон нашел первое такое F для этого узла, а именно:

${\ Displaystyle F (x, y, z, t) = G (x, y, z ^ {2} -t ^ {2}, 2zt), \, \!}$

куда

${\ displaystyle {\ begin {align} G (x, y, z, t) = \ & (z (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + t ^ {2}) + x (6x ^ {2} -2y ^ {2} -2z ^ {2} -2t ^ {2}), \\ & \ tx {\ sqrt {2}} + y (6x ^ {2} -2y ^ {2} -2z ^ {2} -2t ^ {2})). \ End {align}}}$

Математические свойства [ править ]

Узел в форме восьмерки исторически играл (и продолжает играть) важную роль в теории трехмерных многообразий . Где-то в середине-конце 1970-х годов Уильям Терстон показал, что восьмерка является гиперболической , разложив ее дополнение на два идеальных гиперболических тетраэдра . (Роберт Райли и Трэлс Йоргенсен, работая независимо друг от друга, ранее показали, что узел в форме восьмерки был гиперболическим иным образом.) Эта новая для того времени конструкция привела его ко многим впечатляющим результатам и методам. Например, он смог показать, что все операции Дена на узле восьмерки, кроме десяти, не привели кХакен , неслоистые неприводимые трехмерные многообразия, расслоенные по Зейферту ; это были первые такие примеры. Многие другие были обнаружены путем обобщения конструкции Терстона на другие узлы и зацепления.

Восьмерка узел также является гиперболической узел дополнение которого имеет наименьший возможный объем , (последовательность A091518 в OEIS ), где есть функция Лобачевский . ^[2] С этой точки зрения узел «восьмерка» можно рассматривать как простейший гиперболический узел. Восьмерка узел комплемента представляет собой двойной покрытие из многообразия Гизекинг , который имеет наименьший объем среди некомпактных гиперболических 3-многообразий.${\ displaystyle 6 \ Lambda (\ pi / 6) \ приблизительно 2,02988 ...}$${\ displaystyle \ Lambda}$

Узел в форме восьмерки и (−2,3,7) узел кренделя - единственные два гиперболических узла, которые, как известно, имеют более 6 исключительных операций , операций Дена, приводящих к негиперболическому 3-многообразию; у них 10 и 7 соответственно. Теорема Лакенби и Мейерхоффа, доказательство которой опирается на гипотезу геометризации и компьютерную помощь , утверждает, что 10 - это наибольшее возможное число исключительных перестроек любого гиперболического узла. Однако в настоящее время неизвестно, является ли узел в форме восьмерки единственным, который достигает оценки 10. Хорошо известная гипотеза состоит в том, что оценка (за исключением двух упомянутых узлов) равна 6.

Узел восьмерка имеет род 1 и расслоен. Следовательно, его дополнительные слои над окружностью, причем слои являются поверхностями Зейферта, которые представляют собой двумерные торы с одной граничной компонентой. Тогда отображение монодромии является гомеоморфизмом 2-тора, который в этом случае может быть представлен матрицей .${\ displaystyle ({\ begin {smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \ end {smallmatrix}})}$

Инварианты [ править ]

Многочлен Александера из восьмерка узла является

${\ Displaystyle \ Delta (т) = - т + 3-т ^ {- 1}, \}$

многочлен Conway является

${\ Displaystyle \ набла (г) = 1-г ^ {2}, \}$^[3]

а многочлен Джонса равен

${\ Displaystyle V (q) = q ^ {2} -q + ​​1-q ^ {- 1} + q ^ {- 2}. \}$

Симметрия между и в полиноме Джонса отражает тот факт, что узел в форме восьмерки является ахиральным.${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q ^ {- 1}}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Ян Агол , Границы исключительного заполнения Дена , Геометрия и топология 4 (2000), 431–449. Руководство по ремонту 1799796
• Чун Цао, Роберт Мейерхофф, Ориентируемые гиперболические трехмерные многообразия с каспами минимального объема , Inventiones Mathematicae, 146 (2001), вып. 3, 451–478. MR 1869847
• Марк Лакенби , Словесная гиперболическая хирургия Дена , Inventiones Mathematicae 140 (2000), нет. 2, 243–282. Руководство по ремонту 1756996
• Марк Лакенби и Роберт Мейерхофф, Максимальное количество исключительных операций Дена , arXiv: 0808.1176
• Робион Кирби , Проблемы низкоразмерной топологии (см. Задачу 1.77, предложенную Кэмероном Гордоном , для исключительных наклонов)
• Уильям Терстон, Геометрия и топология трехмерных многообразий , конспекты лекций Принстонского университета (1978–1981).

Внешние ссылки [ править ]

• " 4_1 ", Атлас узлов . Доступ: 7 мая 2013 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Узел восьмерки» . MathWorld .