В математике , то группа кос п нитей (обозначается), также известная как группа кос Артина , [1] - это группа, элементы которой являются классами эквивалентности n- кос (например, при объемлющей изотопии ), а групповая операция - композиция кос (см. § Введение ). Примеры применения групп кос включают теорию узлов , где любой узел может быть представлен как замыкание определенных кос (результат, известный как теорема Александера ); в математической физике, где каноническое представление Артина группы кос соответствует уравнению Янга – Бакстера (см. § Основные свойства); и в инвариантах монодромии алгебраической геометрии . [2]
Вступление
Во введении пусть n = 4 ; обобщение на другие значения n будет простым. Рассмотрим два набора из четырех предметов, лежащих на столе, причем предметы в каждом наборе расположены по вертикальной линии и так, что один набор находится рядом с другим. (На рисунках ниже это черные точки.) Используя четыре нити, каждый элемент первого набора соединяется с элементом второго набора, так что получается взаимно однозначное соответствие. Такое соединение называется косой . Часто одни пряди должны проходить над другими или под другими, и это очень важно: следующие два соединения - это разные косы:
отличается от |
С другой стороны, два таких соединения, которые могут выглядеть одинаково, «потянув за пряди», считаются одной и той же косой:
такой же как |
Все пряди требуется двигать слева направо; такие узлы, как следующие, не считаются косами:
это не коса |
Любые две косы могут быть составлены , опираясь первым рядом со вторым, идентификации четырех элементов в середине, и соединения , соответствующие нити:
составлен с | дает |
Другой пример:
составлен с | дает |
Композиция кос σ и τ записывается как στ .
Набор всех кос на четырех прядях обозначается . Вышеупомянутая композиция косичек действительно является групповой операцией. Единичный элемент является косом , состоящим из четырех параллельных горизонтальных нитей, а обратные кос состоит из тех косов , которая «Отменяет» независимо от первого кос сделал, который получается путем переключения диаграммы , такие как те , выше по всем вертикальной линии , идущие через его центр. (Первые два примера косичек выше противоположны друг другу.)
Приложения
Теория кос недавно была применена к механике жидкости , в частности к области хаотического перемешивания в потоках жидкости. Сплетение (2 + 1) -мерных пространственно-временных траекторий, образованных движением физических стержней, периодических орбит или «призрачных стержней», и почти инвариантных множеств использовалось для оценки топологической энтропии нескольких инженерных и естественных жидкостных систем. , с использованием классификации Нильсена – Терстона . [3] [4] [5]
Еще одна область интенсивных исследований с участием групп кос и связанных с ними топологических концепций в контексте квантовой физики - это теория и (предполагаемая) экспериментальная реализация так называемых анионов . Они вполне могут стать основой для квантовых вычислений с исправлением ошибок, поэтому их абстрактное исследование в настоящее время имеет фундаментальное значение для квантовой информации .
Формальное лечение
Для того, чтобы поставить выше неофициальное обсуждение групп кос на твердом грунте, необходимо использовать гомотопическое понятие алгебраической топологии , определение групп кос в качестве основных групп одного конфигурационного пространства . В качестве альтернативы, можно определить группу кос чисто алгебраически через отношения кос, имея в виду изображения только для того, чтобы руководствоваться интуицией.
Чтобы объяснить, как свести группу кос по Артину к фундаментальной группе, рассмотрим связное многообразие размерности по крайней мере , 2. симметричен продукт из копии означает частное от , то -кратной декартово произведение издействием перестановки симметрической группы напряди, работающие по индексам координат. То есть заказанный-tuple находится на той же орбите, что и любой другой, который является его переупорядоченной версией.
Путь в -симметричное произведение - это абстрактный способ обсуждения точки , рассматривается как неупорядоченный -температура, самостоятельно отслеживающая струны. Поскольку мы должны требовать, чтобы строки никогда не проходили друг через друга, необходимо перейти к подпространству симметричного произведения орбит -наборы различных точек. То есть мы удаляем все подпространства определяется условиями для всех . Это инвариантно относительно симметрической группы, и является фактором по симметрической группе неисключенных - пары. При условии размерности будет подключен.
Таким образом, с помощью этого определения мы можем назвать группу кос с участием струны фундаментальной группы(при любом выборе базовой точки - это определено с точностью до изоморфизма). Случай, когдаЕвклидова плоскость является исходной плоскостью Артина. В некоторых случаях это может быть показано , что высшие гомотопические группы из тривиальны.
Закрытые косы
Когда X представляет собой плоскость, коса может быть замкнута , т. Е. Соответствующие концы могут быть соединены попарно, чтобы образовать связь , то есть возможно переплетенное объединение возможно связанных петель в трех измерениях. Количество компонентов ссылки может быть любым от 1 до n , в зависимости от перестановки цепей, определяемой ссылкой. Теорема Дж. В. Александера показывает, что каждое звено может быть получено таким образом как «замыкание» косы. Сравните со строковыми ссылками .
Из разных кос может образоваться одно и то же звено, так же как разные схемы скрещивания могут дать начало одному и тому же узлу . В 1935 году Андрей Марков-младший описал два движения на диаграммах кос, которые дают эквивалентность в соответствующих замкнутых косах. [6] Одноходовая версия теоремы Маркова была опубликована в 1997 году. [7]
Воан Джонс первоначально определил свой многочлен как инвариант косы, а затем показал, что он зависит только от класса замкнутой косы.
Теорема Маркова дает необходимые и достаточные условия, при которых замыкания двух кос являются эквивалентными зацеплениями. [8]
Индекс косы
«Индекс косы» - это наименьшее количество строк, необходимое для создания замкнутой косы, представляющей ссылку. Он равен наименьшему количеству окружностей Зейферта в любой проекции узла. [9]
История
Группы кос были явно введены Эмилем Артином в 1925 году, хотя (как указал Вильгельм Магнус в 1974 году [10] ) они уже неявно присутствовали в работе Адольфа Гурвица о монодромии с 1891 года.
Группы кос могут быть описаны с помощью явных представлений , как было показано Эмилем Артином в 1947 году. [11] Группы кос также понимаются с помощью более глубокой математической интерпретации: как фундаментальная группа некоторых конфигурационных пространств . [11]
Как говорит Магнус, Гурвиц дал интерпретацию группы кос как фундаментальной группы конфигурационного пространства (см. Теорию кос ), интерпретацию, которая была потеряна из виду, пока не была повторно открыта Ральфом Фоксом и Ли Нойвиртом в 1962 году [12].
Основные свойства
Генераторы и отношения
Рассмотрим следующие три косы:
Каждая коса в можно записать как композицию из ряда этих кос и их перевернутых. Другими словами, эти три косы образуют группу. Чтобы убедиться в этом, произвольная коса сканируется слева направо на предмет пересечений; начиная сверху, когда пересекаются пряди а также встречается, или же записывается, в зависимости от того, прядь перемещается под или над прядью . Достигнув правого конца, коса была написана как продукти их обратные.
Ясно, что
- (я) ,
в то время как следующие два отношения не так очевидны:
- (iia) ,
- (iib)
(эти отношения лучше всего можно оценить, нарисовав косу на листе бумаги). Можно показать, что все остальные отношения между косами, а также уже следуют из этих соотношений и аксиом группы.
Обобщая этот пример на пряди, группа можно абстрактно определить с помощью следующего представления :
где в первой группе отношений а во второй группе отношений . Это представление приводит к обобщениям групп кос, называемых группами Артина . Кубические отношения, известные как отношения кос , играют важную роль в теории уравнений Янга – Бакстера .
Другие свойства
- Группа кос является тривиальным ,бесконечная циклическая группа , а также изоморфна группе узлов узла - трилистника - в частности, это бесконечная неабелева группа .
- Группа кос из n нитейвстраивается как подгруппа вгруппа косичек добавив дополнительную прядь, которая не пересекает ни одну из первых n прядей. Растущее объединение групп кос со всемиэто бесконечная группа кос .
- Все неидентификационные элементы иметь бесконечный порядок ; т.е.является кручением .
- Существует левоинвариантный линейный порядок наназывается Дехорный заказ .
- Для , содержит подгруппу, изоморфную свободной группе с двумя образующими.
- Есть гомоморфизм определяется как σ i ↦ 1 . Так, например, коса σ 2 σ 3 σ 1 −1 σ 2 σ 3 отображается в 1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3 . Это отображение соответствует абелианизации группы кос. Поскольку σ i k ↦ k , то σ i k является тождественным тогда и только тогда, когда. Это доказывает бесконечный порядок генераторов.
Взаимодействия
Связь с симметрической группой и чистой группой кос
Забывая, как пряди скручиваются и перекрещиваются, каждая коса на n прядях определяет перестановку на n элементах. Это сопоставление наложено и согласовано с композицией и, следовательно, становится гомоморфизмом сюръективной группы B n → S n из группы кос на симметрическую группу . Образ косы σ i ∈ B n - это транспозиция s i = ( i , i +1) ∈ S n . Эти транспозиции порождают симметрическую группу, удовлетворяют групповым отношениям кос и имеют порядок 2. Это преобразует представление Артина группы кос в представление Кокстера симметрической группы:
Ядро гомоморфизма В п → S п есть подгруппа B п называется чистой кос группы по п нитей и обозначается Р п . В чистой косе начало и конец каждой пряди находятся в одном положении. Группы чистых кос укладываются в короткую точную последовательность
Эта последовательность расщепляется, и поэтому чистые группы кос реализуются как повторяющиеся полупрямые произведения свободных групп.
Связь между и модульная группа
Группа кос является универсальным центральным расширением в модулярной группы , при этом они находятся в виде решеток внутри (топологической) универсальной накрывающей группы
- .
Кроме того, модулярная группа имеет тривиальный центр, и, следовательно, модулярная группа изоморфна фактор-группе группыпо модулю его центра ,и что то же самое, к группе внутренних автоморфизмов из.
Вот конструкция этого изоморфизма . Определять
- .
Из соотношений кос следует, что . Обозначая этот последний продукт как, из соотношений кос можно проверить, что
подразумевая, что находится в центре . Позволятьобозначим подгруппу из генерируется с помощью C , так как C ⊂ Z ( B 3 ) , это нормальный делитель и можно взять фактор - группы B 3 / C . Мы утверждаем, что B 3 / C ≅ PSL (2, Z ) ; этому изоморфизму можно придать явный вид. В смежности сг 1 С и сг 2 C карту
где L и R - стандартные ходы влево и вправо на дереве Штерна – Броко ; хорошо известно, что эти ходы порождают модульную группу.
В качестве альтернативы, одним из распространенных способов представления модульной группы является
где
Отображение a в v и b в p дает гомоморфизм сюръективной группы B 3 → PSL (2, Z ) .
Центр B 3 равен С , вследствие фактов, с находится в центре, модульная группа имеет тривиальный центр, а выше сюръективного гомоморфизм имеет ядро C .
Связь с группой классов отображения и классификация кос
Группа кос В п может быть показано, что изоморфна группе классов отображений из в проколотой диска с п проколами. Это легче всего визуализировать, представив, что каждый прокол связан веревкой с границей диска; каждый гомоморфизм отображения, который переставляет два прокола, можно тогда рассматривать как гомотопию струн, то есть сплетение этих струн.
Посредством этой групповой интерпретации кос, каждая коса может быть классифицирована как периодическая, приводимая или псевдоаносовская .
Связь с теорией узлов
Если задана коса, и один соединяет первый левый элемент с первым правым элементом с помощью новой строки, второй левый элемент со вторым правым элементом и т. Д. (Без создания каких-либо кос в новых строках) ), получается звено , а иногда и узел . Теорема Александера в теории кос утверждает, что верно и обратное: каждый узел и каждое звено возникают таким образом по крайней мере из одной косы; такую косу можно получить, перерезав звено. Поскольку косы могут быть конкретно заданы как слова в генераторах σ i , это часто является предпочтительным методом завязывания узлов в компьютерные программы.
Вычислительные аспекты
Проблема слов для отношений кос является эффективно разрешимой, и существует нормальная форма для элементов B n в терминах образующих σ 1 , ..., σ n −1 . (По сути, вычисление нормальной формы косы является алгебраическим аналогом «вытягивания нитей», как показано на втором наборе изображений выше.) Бесплатная система компьютерной алгебры GAP может выполнять вычисления в B n, если заданы элементы с точки зрения этих генераторов. Также существует пакет под названием CHEVIE for GAP3 со специальной поддержкой групп кос. Проблема слов также эффективно решается с помощью представления Лоуренса – Краммера .
Помимо проблемы со словами, существует несколько известных сложных вычислительных задач, которые могут реализовать группы кос, были предложены приложения в криптографии . [13]
Действия
По аналогии с действием симметрической группы перестановками, в различных математических установках существует естественное действие группы кос на n -наборах объектов или на n- свернутом тензорном произведении, которое включает в себя некоторые «скручивания». Рассмотрим произвольную группу G , и пусть X множество всех п -кортежей элементов G , чей продукт является единичный элемент из G . Тогда B n действует на X следующим образом:
Таким образом, элементы x i и x i +1 меняются местами, и, кроме того, x i скручивается внутренним автоморфизмом, соответствующим x i +1 - это гарантирует, что произведение компонентов x остается единичным элементом. Это можно проверить , что группы кос отношения удовлетворены , и эта формула действительно определяет действия группы В п на X . В качестве другого примера, сплетенная моноидальная категория - это моноидальная категория с действием группы кос. Такие структуры играют важную роль в современной математической физике и приводят к инвариантам квантовых узлов .
Представления
Элементы группы кос B n можно более конкретно представить матрицами. Одним из классических таких представлений является представление Бурау , где матричные элементы представляют собой многочлены Лорана с одной переменной . Вопрос о том, является ли представление Бурау верным , был давним , но ответ оказался отрицательным при n ≥ 5 . В более общем плане, вопрос о том, являются ли группы кос линейными , оставался серьезной открытой проблемой . В 1990 году Рут Лоуренс описала семейство более общих «представлений Лоуренса», зависящих от нескольких параметров. В 1996 году Четан Наяк и Франк Вильчек постулировали, что по аналогии с проективными представлениями SO (3) проективные представления группы кос имеют физический смысл для некоторых квазичастиц в дробном квантовом эффекте Холла . Примерно в 2001 году Стивен Бигелоу и Даан Краммер независимо друг от друга доказали, что все группы кос линейны. В их работе использовалось представление измерения Лоуренса – Краммера.в зависимости от переменных q и t . Путем соответствующей специализации этих переменных группа косможет быть реализована как подгруппа общей линейной группы над комплексными числами .
Бесконечно порожденные группы кос
Есть много способов обобщить это понятие на бесконечное количество нитей. Самый простой способ - взять прямой предел групп кос, где прикрепляемые карты Отправить генераторы к первому генераторы (т.е. прикрепив тривиальную прядь). Пол Фабель показал, что есть две топологии, которые могут быть наложены на результирующую группу, каждая из которых завершение дает другую группу. Одна очень ручная группа и изоморфна группе классов отображений бесконечно проколотого диска - дискретному набору проколов, ограничивающемуся границей диска .
Вторую группу можно рассматривать как конечные группы кос. Поместите прядь в каждую из точек и набор всех кос - где коса определяется как набор путей из точек по пунктам так что функция дает перестановку на концах - изоморфна этой более дикой группе. Интересен тот факт, что группа чистых кос в этой группе изоморфна как обратному пределу конечных групп чистых коси к фундаментальной группе в гильбертовом кубе минус набор
Когомологии
Когомология группы определяется как когомологии соответствующего классифицирующего пространства Эйленберга – Маклейна ,, который представляет собой комплекс CW, однозначно определяемыйвплоть до гомотопии. Классифицирующее пространство для группы косявляется п - я неупорядоченной конфигурации пространства из, то есть набор различные неупорядоченные точки на плоскости: [14]
- .
Итак, по определению
Расчеты коэффициентов в можно найти у Фукса (1970). [15]
Аналогично классифицирующее пространство для чистой группы кос является , То п - й заказал конфигурации пространства из. В 1968 году Владимир Арнольд показал, что интегральные когомологии чистой группы косявляется фактором внешней алгебры, порожденной набором классов первой степени, при соблюдении соотношений [16]
Смотрите также
- Группа Артина – Титса
- Плетеная моноидальная категория
- Плетеное векторное пространство
- Плетеная алгебра Хопфа
- Изменить программное обеспечение для звонков - как программное обеспечение использует теорию кос для моделирования моделей звонков
- Теория узлов
- Некоммутативная криптография
Рекомендации
- ^ Вайсштейн, Эрик. «Группа кос» . Wolfram Mathworld .
- ^ Коэн, Дэниел; Сучиу, Александр (1997). "Монодромия кос плоских алгебраических кривых и гиперплоскостей". Commentarii Mathematici Helvetici . 72 (2): 285–315. arXiv : alg-geom / 9608001 . DOI : 10.1007 / s000140050017 .
- ^ Boyland, Philip L .; Ареф, Хасан; Стремлер, Марк А. (2000), «Топологическая жидкостная механика перемешивания» (PDF) , Journal of Fluid Mechanics , 403 (1): 277–304, Bibcode : 2000JFM ... 403..277B , doi : 10.1017 / S0022112099007107 , MR 1742169 , архивировано из оригинала (PDF) 26 июля 2011 г.
- ^ Гуйяр, Эммануэль; Тиффо, Жан-Люк; Финн, Мэтью Д. (2006), «Топологическое смешивание с призрачными стержнями», Physical Review E , 73 (3): 036311, arXiv : nlin / 0510075 , Bibcode : 2006PhRvE..73c6311G , doi : 10.1103 / PhysRevE.73.036311 , MR 2231368
- ^ Stremler, Mark A .; Росс, Шейн Д .; Гровер, Пиюш; Кумар, Панкадж (2011), «Топологический хаос и периодическое плетение почти циклических множеств» , Physical Review Letters , 106 (11): 114101, Bibcode : 2011PhRvL.106k4101S , doi : 10.1103 / PhysRevLett.106.114101
- ^ Марков, Андрей (1935), «Über die freie Äquivalenz der geschlossenen Zöpfe» , Recueil Mathématique de la Société Mathématique de Moscou (на немецком и русском языках), 1 : 73–78
- ^ Ламбропулу, София; Рурк, Колин П. (1997), "Теорема Маркова в 3-многообразиях", Топология и ее приложения , 78 (1–2): 95–122, arXiv : math / 0405498 , doi : 10.1016 / S0166-8641 (96) 00151-4 , Руководство по ремонту 1465027
- ^ Бирман, Джоан С. (1974), Косы, связи и группы классов отображения , Анналы математических исследований, 82 , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08149-6, MR 0375281
- ^ Вайсштейн, Эрик В. (август 2014 г.). «Индекс кос» . MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram . Проверено 6 августа 2014 .
- ^ Магнус, Вильгельм (1974). «Группы кос: обзор» . Материалы Второй Международной конференции по теории групп . Конспект лекций по математике. 372 . Springer. С. 463–487. ISBN 978-3-540-06845-7.
- ^ а б Артин, Эмиль (1947). «Теория кос». Анналы математики . 48 (1): 101–126. DOI : 10.2307 / 1969218 . JSTOR 1969 218 .
- ^ Фокс, Ральф ; Нойвирт, Ли (1962). «Группы кос» . Mathematica Scandinavica . 10 : 119–126. DOI : 10,7146 / math.scand.a-10518 . Руководство по ремонту 0150755 .
- ^ Гарбер, Дэвид (2009). «Криптография Braid Group». arXiv : 0711.3941v2 [ cs.CR ].
- ^ Грист, Роберт (1 декабря 2009 г.). «Конфигурационные пространства, косы и робототехника». Косички . Серия конспектов лекций, Институт математических наук, Национальный университет Сингапура. 19 . World Scientific . С. 263–304. DOI : 10.1142 / 9789814291415_0004 . ISBN 9789814291408.
- ^ Фукс, Дмитрий Б. (1970). «Когомологии группы кос mod 2». Функциональный анализ и его приложения . 4 (2): 143–151. DOI : 10.1007 / BF01094491 . Руководство по ремонту 0274463 .
- ^ Арнольд, Владимир (1969). "Кольцо когомологий группы раскрашенных кос" (PDF) . Мат. Заметки . 5 : 227–231. Руководство по ремонту 0242196 .
дальнейшее чтение
- Бирман, Джоан ; Брендл, Тара Э. (26 февраля 2005 г.), Braids: A Survey , arXiv : math.GT/0409205. В Menasco & Thistlethwaite 2005
- Карлуччи, Лоренцо; Дехорной, Патрик ; Вейерманн, Андреас (2011), «Результаты недоказуемости с использованием кос», Труды Лондонского математического общества , 3, 102 (1): 159–192, arXiv : 0711.3785 , doi : 10.1112 / plms / pdq016 , MR 2747726
- Делинь, Пьер (1972), "Les immeubles де Groupes де локоны обобщающий", Inventiones Mathematicae , 17 (4): 273-302, Bibcode : 1972InMat..17..273D , DOI : 10.1007 / BF01406236 , ISSN 0020-9910 , Руководство по ремонту 0422673
- Фокс, Ральф ; Ньювирт, Ли (1962), "группы кос", Mathematica Scandinavica , 10 : 119-126, DOI : 10,7146 / math.scand.a-10518 , МР 0150755
- Кассель, Кристиан; Тураев, Владимир (2008), Braid Groups , Springer, ISBN 978-0-387-33841-5
- Менаско, Уильям ; Thistlethwaite, Morwen , ред. (2005), Справочник по теории узлов , Elsevier, ISBN 978-0-444-51452-3
Внешние ссылки
- «Группа кос» . PlanetMath .
- CRAG: криптография и группы в Центре алгебраической криптографии Содержит обширную библиотеку для вычислений с группами кос.
- [1] Визуальная теория групп, лекция 1.3: Группы в естественных науках, искусстве и математике.
- Фабель, Пол (2005), «Завершение группы кос Артина на бесконечном количестве прядей», Journal of Knot Theory and Its Ramifications , 14 (8): 979–991, arXiv : math / 0201303 , doi : 10.1142 / S0218216505004196 , MR 2196643
- Фабель, Пол (2006), «Группа классов отображения диска с бесконечным числом отверстий», Журнал теории узлов и ее разветвлений , 15 (1): 21–29, arXiv : math / 0303042 , doi : 10.1142 / S0218216506004324 , MR 2204494
- Чернавский А.В. (2001) [1994], "Теория кос" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Бигелоу, Стивен . «Исследование Java-апплета B5» .
- Наяк, Четан; Вильчек, Франк (1996), «$ 2n $ квазихоловые состояния реализуют $ 2 ^ {n-1} $ - размерную статистику плетения спиноров в парных квантовых состояниях Холла», Nuclear Physics B , 479 (3): 529–553, arXiv : cond -mat / 9605145 , Bibcode : 1996NuPhB.479..529N , DOI : 10,1016 / 0550-3213 (96) 00430-0 - связь представлений проективных групп кос с дробным квантовым эффектом Холла
- Презентация Четана В. Наяка для FradkinFest [2] [ постоянная мертвая ссылка ]
- Рид Н. (2003), «Статистика неабелевой косы против статистики проективной перестановки», Journal of Mathematical Physics , 44 (2): 558–563, arXiv : hep-th / 0201240 , Bibcode : 2003JMP .... 44 .. 558R , DOI : 10,1063 / 1,1530369 - критика реальности представления Вильчека-Наяка
- Страница Lipmaa, Helger, Cryptography and Braid Groups , заархивированная с оригинала 3 августа 2009 г.
- Группа кос: Список авторитетных статей на arxiv.org .
- "Косы - фильм" Фильм в компьютерной графике, объясняющий некоторые аспекты теории кос (групповая презентация, проблема слов, замкнутые косы и связи, косы как движения точек на плоскости).
- ПОБЕДИТЕЛЬ журнала Science 2017 Dance Your PhD: представления групп кос . Нэнси Шерих.
- За математикой танца Ваша докторская степень, Часть 1: Группы кос. Нэнси Шерих. Объяснение групп кос, используемых в фильме.