В математике , теорема классификации Терстона характеризует гомеоморфизмы из более компактной ориентируемой поверхности . Теорема Уильяма Терстона завершает работу, начатую Якобом Нильсеном ( 1944 ).
Учитывая гомеоморфизм F : S → S , существует отображение г изотопного к F таким образом, что по меньшей мере одно из следующих условий:
- g периодичен, т. е. некоторая степень g является единицей;
- g сохраняет некоторое конечное объединение непересекающихся простых замкнутых кривых на S (в этом случае g называется приводимой ); или же
- g - псевдо-Аносов .
Случай, когда S - тор (т. Е. Поверхность, род которой равен единице), рассматривается отдельно (см. Расслоение торов ) и был известен до работы Терстона. Если род S равен двум или больше, то S естественно гиперболичен , и инструменты теории Тейхмюллера становятся полезными. В дальнейшем мы предполагаем, что S имеет род не менее двух, как это и рассматривался Терстон. (Обратите внимание, однако, что случаи, когда S имеет границу или не ориентируется , определенно по-прежнему интересны.)
Три типа в этой классификации не исключают друг друга, хотя псевдоаносовский гомеоморфизм никогда не бывает периодическим или сводимым . Приводимый гомеоморфизм г может быть дополнительно проанализирован путем разрезания поверхности вдоль сохранившегося союза простого замкнутых кривых Г . На каждую из полученных компактных поверхностей с краем действует некоторая степень (т.е. повторная композиция ) g , и классификация снова может быть применена к этому гомеоморфизму.
Группа классов отображений для поверхностей высшего рода
Классификация Терстона применяется к гомеоморфизмам ориентируемых поверхностей рода ≥ 2, но тип гомеоморфизма зависит только от ассоциированного с ним элемента группы классов отображений Mod (S) . Фактически, доказательство классификационной теоремы приводит к каноническому представителю каждого класса отображений с хорошими геометрическими свойствами. Например:
- Когда г является периодическим, то есть элемент отображения его класса , который является изометрией из гиперболической структуры на S .
- Когда г является псевдо-Аносовым , есть элемент его отображение класса , который сохраняет пару поперечных сингулярных слоений из S , растягивая листы одного ( неустойчивого слоения) в то время заражения листьев другого (в стабильном слоении).
Отображение торов
Первоначальная мотивация Терстона для разработки этой классификации состояла в том, чтобы найти геометрические структуры на отображающих торах типа, предсказываемого гипотезой геометризации . Отображение тор М г гомеоморфизма г поверхностного S представляет собой 3-многообразие получается из S × [0,1] склеиванием S × {0} до S × {1} , используя г . Геометрическая структура M g связана с типом g в классификации следующим образом:
- Если g периодический, то M g имеет структуру H 2 × R;
- Если г является приводимым , то М г имеет несжимаемые торы , и должен быть разрезаны вдоль этих торов с получением кусков, каждые из которых геометрических структуры (The разложение JSJ );
- Если г является псевдо-Аносов , то М г имеет гиперболический (т.е. H 3 ) структуру.
Первые два случая сравнительно просты, в то время как существование гиперболической структуры на торе отображения псевдоаносовского гомеоморфизма - глубокая и трудная теорема (также принадлежащая Терстону ). Гиперболическое 3-многообразие, возникающее таким образом, называется расслаивается , потому что они являются поверхностными расслоениями над окружностью , и эти многообразия рассматриваются отдельно в доказательстве Терстен теоремы геометризации для Хакен многообразий . Волокнистые гиперболические трехмерные многообразия обладают рядом интересных и патологических свойств; например, Кэннон и Терстон показали, что поверхностная подгруппа возникающей клейновой группы имеет предельное множество, которое является кривой, заполняющей сферу .
Классификация с фиксированной точкой
Три типа поверхностных гомеоморфизмов также связаны с динамикой группы классов отображений Mod ( S ) на пространстве Тейхмюллера T ( S ). Тёрстон ввел компактифи- из T ( S ), которое гомеоморфно замкнутый шар, и к которой действие Mod ( S ) естественным образом распространяется. Тип элемента g группы классов отображений в классификации Терстона связан с его неподвижными точками при действии на компактификацию T ( S ):
- Если g периодический, то внутри T ( S ) есть неподвижная точка ; эта точка соответствует гиперболической структуре на S , группа изометрий которой содержит элемент, изотопный g ;
- Если нет г является псевдо-Аносов , то г имеет неподвижных точек в Т ( S ) , но имеет пару неподвижных точек на границе Thurston; эти неподвижные точки соответствуют устойчивому и неустойчивому слоениям S, сохраняемым g .
- Для некоторых приводимых классов отображений g существует единственная неподвижная точка на границе Терстона; Примером может служить многократная закрутка по разложению штанов Γ . В этом случае неподвижная точка g на границе Терстона соответствует Γ .
Это напоминает классификацию гиперболических изометрий на эллиптические , параболические и гиперболические типы (которые имеют структуры с фиксированной точкой, аналогичные периодическим , приводимым и псевдоаносовским типам, перечисленным выше).
Смотрите также
Рекомендации
- Бествина, М .; Гендель, М. (1995). "Поезд-треки для поверхностных гомеоморфизмов" (PDF) . Топология . 34 (1): 109–140.
- Фенчел, Вернер ; Нильсен, Якоб (2003). Шмидт, Асмус Л. (ред.). Разрывные группы изометрий в гиперболической плоскости . Де Грюйтер Исследования по математике. 29 . Берлин: Walter de Gruyter & Co.
- Travaux de Thurston sur les поверхностей , Astérisque, 66-67, Soc. Математика. Франция, Париж, 1979 г.
- Handel, M .; Терстон, WP (1985). «Новые доказательства некоторых результатов Нильсена» (PDF) . Успехи в математике . 56 (2): 173–191.
- Нильсен, Якоб (1944), "Классы преобразования поверхности алгебраически конечного типа", Danske Vid. Сельск. Math.-Phys. Medd. , 21 (2): 89, MR 0015791
- Пеннер, Р. К. (1988). «Конструкция псевдоаносовских гомеоморфизмов» . Труды Американского математического общества . 310 (1): 179–197. DOI : 10.1090 / S0002-9947-1988-0930079-9 . Руководство по ремонту 0930079 .
- Thurston, Уильям П. (1988), «О геометрии и динамики диффеоморфизмов поверхностей», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 19 (2): 417-431, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1988- 15685-6 , ISSN 0002-9904 , MR 0956596