В математике , в частности , в топологии , А отображение псевдоаносовского является типом диффеоморфизме или гомеоморфизма о наличии поверхности . Это обобщение линейного диффеоморфизма на торе . Его определение опирается на понятие мерного слоения, введенное Уильямом Терстоном , который также ввел термин «псевдоаносовский диффеоморфизм», когда доказал свою классификацию диффеоморфизмов поверхности .
Определение мерного слоения
Измеряется слоение F на замкнутой поверхности S представляет собой геометрическую структуру на S , которое состоит из единственного числа слоения и меры в направлении поперечной. В некоторых окрестностях регулярной точки F , существует «окно потока» φ : U → R 2 , который посылает листы F к горизонтальным линиям в R 2 . Если две такие окрестности U i и U j перекрываются, то на φ j ( U j ) определена переходная функция φ ij со стандартным свойством
который должен иметь форму
для некоторой постоянной c . Это гарантирует , что по простой кривой, изменение у -координаты, измеренная локально в каждом графике, является геометрическая величина (т.е. не зависит от графика) и допускает определение полной вариации вдоль простой замкнутой кривой на S . Допускается конечное число особенностей F типа « p- зубчатого седла», p ≥3. В такой особой точке дифференцируемая структура поверхности модифицируется, чтобы сделать точку конической точкой с общим углом πp . Понятие диффеоморфизма S переопределяется относительно этой модифицированной дифференцируемой структуры. С некоторыми техническими изменениями эти определения распространяются на случай поверхности с границей.
Определение псевдоаносовского отображения
Гомеоморфизм
замкнутой поверхности S называется псевдоаносовской, если существует пара поперечных мерных слоений на S , F s (стабильное) и F u (неустойчивое) и вещественное число λ > 1 такое, что слоения сохраняются на f и их поперечные меры умножаются на 1 / λ и λ . Число λ называется простирания фактор или дилатация из F .
Значимость
Терстон построил компактификацию пространства Тейхмюллера T ( S ) поверхности S такую, что действие, индуцированное на T ( S ) любым диффеоморфизмом f поверхности S, продолжается до гомеоморфизма компактификации Терстона. Динамика этого гомеоморфизма наиболее проста, когда f является псевдо-аносовским отображением: в этом случае есть две неподвижные точки на границе Терстона, одна притягивающая и одна отталкивающая, и гомеоморфизм ведет себя аналогично гиперболическому автоморфизму половины Пуанкаре. -самолет . «Общий» диффеоморфизм поверхности рода не меньше двух изотопен псевдоаносовскому диффеоморфизму.
Обобщение
Используя теорию железнодорожных путей , понятие псевдоаносовского отображения было распространено на отображение графов в себя (с топологической стороны) и внешние автоморфизмы свободных групп (с алгебраической стороны). Это приводит к аналогу классификации Терстона для случая автоморфизмов свободных групп, разработанному Бествиной и Генделем.
Рекомендации
- А. Кассон, С. Блейлер, "Автоморфизмы поверхностей по Нильсену и Терстону", (Студенческие тексты Лондонского математического общества, 9), (1988).
- А. Фати, Ф. Лауденбах и В. Поэнару , « Траво де Терстон на поверхностях», Asterisque, Vols. 66 и 67 (1979).
- Р. К. Пеннер. «Конструкция псевдоаносовских гомеоморфизмов», Пер. Амер. Математика. Soc., 310 (1988) № 1, 179–197
- Thurston, Уильям П. (1988), «О геометрии и динамики диффеоморфизмов поверхностей», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 19 (2): 417-431, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1988- 15685-6 , ISSN 0002-9904 , MR 0956596