В математике , то пространство Тейхмюллер (реальной) топологической (или дифференциальной) поверхности , является пространством, параметризующим сложные структуры надо действия гомеоморфизмов , которые изотопные к тождественному . Пространства Тайхмюллера названы в честь Освальда Тайхмюллера .
Каждая точка в пространстве Тейхмюллера можно рассматривать как класс изоморфизмов «помеченных» римановых поверхностей , где «маркировка» - это изотопический класс гомеоморфизмов изсебе. Его можно рассматривать как пространство модулей для отмеченной гиперболической структуры на поверхности, и это наделяет его естественной топологией, для которой он гомеоморфен шару размерности для поверхности рода . Таким образом , пространство Тейхмюллера можно рассматривать как универсальное накрытие орбифолда в пространстве модулей Римана .
Пространство Тейхмюллера имеет структуру канонического комплексного многообразия и множество естественных метрик . Изучение геометрических особенностей этих различных структур - это активная область исследований.
История
Пространства модулей для римановых поверхностей и связанные с ними фуксовы группы изучались со времен работы Бернхарда Римана (1826-1866), который знал, что параметры были необходимы для описания вариаций сложных структур на поверхности рода . Раннее исследование пространства Тайхмюллера в конце девятнадцатого - начале двадцатого века было геометрическим и основывалось на интерпретации римановых поверхностей как гиперболических поверхностей. Среди основных участников были Феликс Кляйн , Анри Пуанкаре , Поль Кёбе , Якоб Нильсен , Роберт Фрике и Вернер Фенчель .
Основным вкладом Тейхмюллера в изучение модулей было введение квазиконформных отображений в предмет. Они позволяют нам значительно углубить изучение пространств модулей, наделяя их дополнительными возможностями, которых не было в предыдущих, более элементарных работах. После Второй мировой войны эта тема получила дальнейшее развитие в этом аналитическом ключе, в частности, Ларсом Альфорсом и Липманом Берсом . Теория продолжает быть активной, с многочисленными исследованиями сложной структуры пространства Тейхмюллера (введено Берсом).
Геометрическая жилка в изучении пространства Тейхмюллера возродилась после работы Уильяма Терстона в конце 1970-х, который ввел геометрическую компактификацию, которую он использовал в своем исследовании группы классов отображения поверхности. Другие, более комбинаторные объекты, связанные с этой группой (в частности, комплекс кривых ), также были связаны с пространством Тейхмюллера, и это очень активный объект исследований в геометрической теории групп .
Определения
Пространство Тейхмюллера из сложных конструкций
Позволять - ориентируемая гладкая поверхность ( дифференцируемое многообразие размерности 2). Неформально пространство Тейхмюллера из - пространство структур римановой поверхности навплоть до изотопии .
Формально это можно определить следующим образом. Две сложные конструкции на называются эквивалентными, если существует диффеоморфизм такой, что:
- Он голоморфен (дифференциал комплексный линейный в каждой точке, для структур у источника и на цель);
- это изотопно тождеству (есть непрерывная карта такой, что .
потом - пространство классов эквивалентности сложных структур на для этого отношения.
Другое эквивалентное определение выглядит следующим образом: это пространство пар где является римановой поверхностью и диффеоморфизм и две пары считаются эквивалентными, если изотопно голоморфному диффеоморфизму. Такая пара называется отмеченной римановой поверхностью ; маркировка является diffeomeorphism; другое определение маркировки - системы кривых. [1]
Есть два примера простых, которые непосредственно вычисленные из теоремы униформизации : есть уникальная комплексная структура на сфере (см. сферу Римана ), а на(комплексная плоскость и единичный круг) и в каждом случае группа положительных диффеоморфизмов стягиваема . Таким образом, пространство Тейхмюллера это единственная точка и точка содержит ровно две точки.
Немного более сложный пример - открытое кольцо , для которого пространство Тейхмюллера является интервалом (сложная структура, связанная с риманова поверхность ).
Пространство Тейхмюллера тора и плоские метрики
Следующий пример - тор В этом случае любую сложную структуру можно реализовать римановой поверхностью вида (комплексная эллиптическая кривая ) для комплексного числа где
- комплексная верхняя полуплоскость. Тогда у нас есть биекция: [2]
и, таким образом, пространство Тейхмюллера является
Если мы определим с евклидовой плоскостью, то каждую точку в пространстве Тейхмюллера можно также рассматривать как отмеченную плоскую структуру на Таким образом, пространство Тейхмюллера находится в биекции с множеством пар где это плоская поверхность и является диффеоморфизмом с точностью до изотопии на .
Поверхности конечного типа
Это поверхности, для которых наиболее часто исследуется пространство Тейхмюллера, к которым относятся замкнутые поверхности. Поверхность конечного типа, если она диффеоморфна компактной поверхности за вычетом конечного множества. Еслиявляется замкнутой поверхностью из рода тогда поверхность, полученная удалением очки от обычно обозначается и его пространство Тейхмюллера
Пространства Тейхмюллера и гиперболические метрики
Каждая ориентируемая поверхность конечного типа, кроме указанных выше, допускает полные римановы метрики постоянной кривизны. Для данной поверхности конечного типа существует взаимно однозначное соответствие между такими метриками и комплексными структурами, как следует из теоремы униформизации . Таким образом, если пространство Тейхмюллера может быть реализовано как множество помеченных гиперболических поверхностей рода с участием куспы , то есть множество пар где является гиперболической поверхностью и является диффеоморфизмом по модулю отношения эквивалентности, где а также идентифицируются, если изотопно изометрии.
Топология на пространстве Тейхмюллера
Во всех вычисленных выше случаях на пространстве Тейхмюллера существует очевидная топология. В общем случае существует множество естественных способов топологизации, возможно, самый простой - через гиперболические метрики и функции длины.
Если является замкнутой кривой на а также отмеченная гиперболическая поверхность, затем одна гомотопна единственной замкнутой геодезической на (до параметризации). Стоимость нав функции длины , ассоциированной с (гомотопическим классом) затем:
Позволять - множество простых замкнутых кривых на. Тогда карта
это вложение. Космосимеет топологию продукта инаделена индуцированной топологией . С этой топологией гомеоморфен
Фактически можно получить вложение с кривые, [3] и даже. [4] В обоих случаях можно использовать вложение для геометрического доказательства указанного выше гомеоморфизма.
Еще примеры малых пространств Тейхмюллера
На сфере с тремя отверстиями имеется единственная полная гиперболическая метрика конечного объема [5], и поэтому пространство Тейхмюллера конечных полных метрик постоянной кривизны является точкой (это также следует из формулы размерности предыдущего абзаца).
Пространства Тейхмюллера а также естественно реализуются как верхняя полуплоскость, что можно увидеть, используя координаты Фенхеля – Нильсена.
Пространство Тейхмюллера и конформные структуры
Вместо сложных структур гиперболических метрик можно определить пространство Тейхмюллера, используя конформные структуры . Действительно, конформные структуры аналогичны сложным структурам в двух (реальных) измерениях. [6] Более того, из теоремы униформизации также следует, что в каждом конформном классе римановых метрик на поверхности существует единственная метрика постоянной кривизны.
Пространства Тейхмюллера как пространства представления
Еще одна интерпретация пространства Тейхмюллера - это пространство представления для поверхностных групп. Если гиперболический, конечного типа и является фундаментальной группой из то пространство Тейхмюллера находится в естественной биекции с:
- Множество инъективных представлений с дискретным изображением, с точностью до сопряжения элементом , если компактный;
- В общем, набор таких представлений с добавленным условием, что эти элементы которые представлены кривыми свободно гомотопных к проколу направляются параболическими элементами из, опять же с точностью до сопряжения элементом .
Карта отправляет отмеченную гиперболическую структуру к составу где - монодромия гиперболической структуры и изоморфизм, индуцированный .
Обратите внимание, что это понимает как замкнутое подмножество который наделяет его топологией. Это можно использовать, чтобы увидеть гомеоморфизмнапрямую. [7]
Эта интерпретация пространства Тейхмюллера обобщается высшей теорией Тейхмюллера , в которой группазаменяется произвольной полупростой группой Ли .
Замечание о категориях
Все вышеприведенные определения могут быть сделаны в топологической категории, а не в категории дифференцируемых многообразий, и это не меняет объектов.
Бесконечномерные пространства Тейхмюллера
Поверхности, не относящиеся к конечному типу, также допускают гиперболические структуры, которые можно параметризовать бесконечномерными пространствами (гомеоморфными ). Другой пример бесконечномерного пространства, связанный с теорией Тейхмюллера, - это пространство Тейхмюллера расслоения поверхностями. [8] [9]
Действие группы классов отображений и отношение к пространству модулей
Карта в пространство модулей
Существует отображение из пространства Тейхмюллера в пространство модулей римановых поверхностей, диффеоморфное, определяется . Это покрывающая карта, и посколькуэто просто связано это орбиобразие универсальный чехол для пространства модулей.
Действие группы классов отображения
Группа классов отображений из группа смежных классов из группы диффеоморфизмов изнормальной подгруппой тех, которые изотопны тождеству (такое же определение может быть сделано с гомеоморфизмами вместо диффеоморфизмов, и это не меняет результирующую группу). Группа диффеоморфизмов естественным образом действует на пространстве Тейхмюллера формулой
Если класс отображения и два диффеоморфизма, представляющие его, то они изотопны. Таким образом, классы а также те же самые в пространстве Тейхмюллера, и действие выше факторизуется через группу классов отображений.
Действие группы классов отображения на пространстве Тейхмюллера собственно разрывно , а фактор-пространство является пространством модулей.
Фиксированные точки
Проблема реализации Нильсена спрашивает, имеет ли какая-либо конечная подгруппа группы классов отображений глобальную неподвижную точку (точку, фиксированную всеми элементами группы) в пространстве Тейхмюллера. Говоря более классическим языком, возникает вопрос: может ли каждая конечная подгруппа группы реализуется как группа изометрий некоторой полной гиперболической метрики на (или, что то же самое, как группа голоморфных диффеоморфизмов некоторой комплексной структуры). Это было решено Стивеном Керкхоффом . [10]
Координаты
Координаты Фенхеля – Нильсена
Координаты Фенхеля – Нильсена (названные так в честь Вернера Фенхеля и Якоба Нильсена ) на пространстве Тейхмюллерасвязаны с разложением поверхности штанов. Это разложениена пары штанов , и с каждой кривой в разложении связана ее длина в гиперболической метрике, соответствующей точке в пространстве Тейхмюллера, и еще один реальный параметр, называемый скручиванием, который более сложно определить. [11]
В случае замкнутой поверхности рода Существуют кривые в разложении штанов, и мы получаем параметры, которые являются размерностью . Координаты Фенхеля – Нильсена фактически определяют гомеоморфизм. [12]
В случае поверхности с проколами некоторые пары штанов являются «вырожденными» (они имеют заострение) и дают только два параметра длины и скручивания. И в этом случае координаты Фенхеля – Нильсена определяют гомеоморфизм.
Координаты сдвига
Если поверхность допускает идеальные триангуляции (вершинами которых являются в точности проколы). По формуле для характеристики Эйлера такая триангуляция имееттреугольники. Гиперболическая структура на определяет (единственный с точностью до изотопии) диффеоморфизм отправляя каждый треугольник в гиперболический идеальный треугольник , таким образом, точка в. Параметрами такой конструкции являются длины трансляции для каждой пары сторон треугольников, склеенных в триангуляции. [13] Есть такие параметры, каждый из которых может принимать любое значение в , а полнота конструкции соответствует линейному уравнению и, таким образом, мы получаем правильную размерность . Эти координаты называются координатами сдвига .
Для замкнутых поверхностей пара штанов может быть разложена как объединение двух идеальных треугольников (это можно рассматривать как неполную гиперболическую метрику на сфере с тремя отверстиями [14] ). Таким образом, мы также получаем координаты сдвига на .
Землетрясения
Простая траектория землетрясения в пространстве Тейхмюллера - это траектория, определяемая изменением единственной координаты сдвига или длины Фенхеля – Нильсена (для фиксированной идеальной триангуляции поверхности). Название происходит от того, что идеальные треугольники или штаны представляют собой тектонические плиты, а сдвиг - как движение плит.
В более общем случае можно делать землетрясения по геодезическим слоям . Затем в теореме Терстона говорится, что две точки в пространстве Тейхмюллера соединены уникальной траекторией землетрясения.
Аналитическая теория
Квазиконформные отображения
Квазиконформное отображение между двумя римановыми поверхностями - это гомеоморфизм, который ограниченным образом деформирует конформную структуру по поверхности. Точнее, он дифференцируем почти всюду и существует постоянная, называемая дилатацией , такая, что
где производные по конформной координате и его сопряженный .
В каждом изотопическом классе есть квазиконформные отображения, поэтому альтернативное определение пространства Тейхмюллера выглядит следующим образом. Зафиксируем риманову поверхность диффеоморфен , а пространство Тейхмюллера находится в естественной биекции с отмеченными поверхностями где является квазиконформным отображением с точностью до того же отношения эквивалентности, что и выше.
Квадратичные дифференциалы и вложение Берса
Согласно приведенному выше определению, если существует естественная карта из пространства Тейхмюллера в пространство -эквивариантные решения дифференциального уравнения Бельтрами. [15] Через производную Шварца они приводят к квадратичным дифференциалам на. [16] Пространство тех - сложное пространство сложной размерности., а образ пространства Тейхмюллера - открытое множество. [17] Это отображение называется вложением Берса.
Квадратичный дифференциал на может быть представлена трансляционной поверхностью, конформной.
Отображения Тайхмюллера
Теорема Тейхмюллера [18] утверждает, что между двумя отмеченными римановыми поверхностями а также всегда существует уникальное квазиконформное отображение в изотопическом классе который имеет минимальную дилатацию. Это отображение называется отображением Тейхмюллера.
В геометрической картине это означает, что для любых двух диффеоморфных римановых поверхностей и диффеоморфизм существует два многоугольника, представляющие и аффинная карта, отправляющая одну в другую, которая имеет наименьшее расширение среди всех квазиконформных карт .
Метрики
Метрика Тейхмюллера
Если и отображение Тейхмюллера между ними имеет дилатацию то расстояние Тейхмюллера между ними по определению . Это действительно определяет расстояние накоторый индуцирует его топологию и для которого он является полным. Это метрика, наиболее часто используемая для изучения метрической геометрии пространства Тейхмюллера. В частности, он представляет интерес для геометрических теоретиков групп.
Аналогично определена функция, использующая константы Липшица для отображений между гиперболическими поверхностями вместо квазиконформных растяжений на, что не является симметричным. [19]
Метрика Вейля – Петерсона
Квадратичные дифференциалы на римановой поверхности отождествляются с касательным пространством в точке в пространство Тейхмюллера. [20] Метрика Вейля – Петерссона - это риманова метрика, определяемая внутреннее произведение на квадратичных дифференциалах.
Компактификации
Изучено несколько неэквивалентных компактификаций пространств Тейхмюллера. Некоторые из более ранних компактификаций зависят от выбора точки в пространстве Тейхмюллера, поэтому они не инвариантны относительно модулярной группы, что может быть неудобно. Уильям Терстон позже обнаружил компактификацию без этого недостатка, которая стала наиболее широко используемой компактификацией.
Компактификация Терстона
Рассматривая гиперболические длины простых замкнутых кривых для каждой точки в пространстве Тейхмюллера и взяв замыкание в (бесконечномерном) проективном пространстве, Терстон (1988) ввел компактификацию, бесконечно удаленные точки которой соответствуют проективно измеренным слоям. Компактифицированное пространство гомеоморфно замкнутому шару. Эта компактификация Терстона находится в постоянном действии модульной группы. В частности, любой элемент модульной группы имеет фиксированную точку в компактификации Терстона, которую Терстон использовал в своей классификации элементов модулярной группы .
Компактификация Берс
Компактификация Берса дается путем замыкания образа вложения Берса пространства Тейхмюллера, изученного Берсом (1970) . Вложение Берса зависит от выбора точки в пространстве Тейхмюллера, поэтому не инвариантно относительно модулярной группы, и на самом деле модулярная группа не действует непрерывно на компактификации Берса.
Компактификация Тейхмюллера
«Точки на бесконечности» в компактификации Тейхмюллера состоят из геодезических лучей (для метрики Тейхмюллера), начинающихся в фиксированной базовой точке. Эта компактификация зависит от выбора базовой точки, поэтому на нее не действует модулярная группа, и фактически Керкгоф показал, что действие модулярной группы на пространстве Тейхмюллера не продолжается до непрерывного действия на этой компактификации.
Компактификация Гардинера – Мазура
Гардинер и Мазур (1991) рассматривали компактификацию, аналогичную компактификации Терстона, но с использованием экстремальной длины, а не гиперболической. Модульная группа непрерывно действует на эту компактификацию, но они показали, что их компактификация имеет строго больше бесконечно удаленных точек.
Крупномасштабная геометрия
Было проведено обширное исследование геометрических свойств пространства Тейхмюллера, наделенного метрикой Тейхмюллера. Известные крупномасштабные объекты недвижимости включают:
- Пространство Тейхмюллера содержит плоские подпространства размерности , и нет квазиизометрически вложенных плоскостей более высокой размерности. [21]
- В частности, если или же или же тогда не является гиперболическим .
С другой стороны, пространство Тейхмюллера проявляет несколько свойств, характерных для гиперболических пространств, таких как:
- Некоторые геодезические ведут себя так же, как в гиперболическом пространстве. [22]
- Случайные блуждания по пространству Тейхмюллера почти наверняка сходятся к точке на границе Терстона. [23]
Некоторые из этих особенностей можно объяснить изучением отображений пространства Тейхмюллера на комплекс кривых, который, как известно, является гиперболическим.
Сложная геометрия
Вложение Берса дает сложная структура как открытое подмножество
Метрики, исходящие из сложной структуры
Поскольку пространство Тейхмюллера является комплексным многообразием, оно несет метрику Каратеодори . Пространство Тейхмюллера является гиперболическим Кобаяши, и его метрика Кобаяши совпадает с метрикой Тейхмюллера. [24] Этот последний результат используется в доказательстве Ройдена, что группа классов отображений является полной группой изометрий для метрики Тейхмюллера.
Вложение Берса реализует пространство Тейхмюллера как область голоморфности и, следовательно, также несет метрику Бергмана .
Кэлеровы метрики на пространстве Тейхмюллера
Метрика Вейля – Петерсона кэлерова, но не полная.
Ченг и Яу показали, что существует единственная полная метрика Келера – Эйнштейна на пространстве Тейхмюллера. [25] Он имеет постоянную отрицательную скалярную кривизну.
Пространство Тейхмюллера также несет полную кэлерову метрику ограниченной секционной кривизны, введенную Макмюлленом (2000), которая является кэлерово-гиперболической.
Эквивалентность показателей
За исключением неполной метрики Вейля – Петерссона, все введенные здесь метрики на пространстве Тейхмюллера квазиизометричны друг другу. [26]
Смотрите также
- Модули алгебраических кривых
- p-адическая теория Тейхмюллера
- Межуниверсальная теория Тейхмюллера
Рекомендации
- ^ Imayoshi & Танигучи 1992 , стр. 14.
- ^ Imayoshi & Танигучи 1992 , стр. 13.
- ^ Imayoshi & Танигучи 1992 , теорема 3.12.
- ^ Hamenstädt, Урсула (2003). «Функции длины и параметризации пространства Тейхмюллера для поверхностей с каспами». Annales Acad. Научный. Фенн . 28 : 75–88.
- ^ Рэтклифф 2006 , теорема 9.8.8.
- ^ Imayoshi & Taniguchi 1992 , теорема 1.7.
- ^ Imayoshi & Танигучи 1992 , теорема 2.25.
- ^ Гиз, Этьен (1999). "Ламинирование поверхности Римана". Панор. Синтез . 8 : 49–95. Руководство по ремонту 1760843 .
- ^ Деруан, Бертран (2007). «Нежесткость наслоений гиперболических поверхностей» . Труды Американского математического общества . 135 (3): 873–881. DOI : 10,1090 / s0002-9939-06-08579-0 . Руководство по ремонту 2262885 .
- ^ Kerckhoff 1983 .
- ^ Imayoshi & Танигучи 1992 , стр. 61.
- ^ Imayoshi & Танигучи 1992 , теорема 3.10.
- Перейти ↑ Thurston 1988 , p. 40.
- Перейти ↑ Thurston 1988 , p. 42.
- ^ Альфорс 2006 , стр. 69.
- ^ Альфорс 2006 , стр. 71.
- ^ Альфорс 2006 , Глава VI.C.
- ^ Альфорс 2006 , стр. 96.
- ^ Терстон, Уильям (1998) [1986], Карты минимального растяжения между гиперболическими поверхностями , arXiv : math / 9801039 , Bibcode : 1998math ...... 1039T
- ^ Альфорс 2006 , Глава VI.D
- ^ Эскин, Алекс ; Мазур, Говард ; Рафи, Касра (2017). «Крупномасштабный ранг пространства Тейхмюллера». Математический журнал герцога . 166 (8): 1517–1572. arXiv : 1307.3733 . DOI : 10.1215 / 00127094-0000006X .
- ^ Рафи, Касра (2014). «Гиперболичность в пространстве Тейхмюллера». Геометрия и топология . 18 (5): 3025–3053. arXiv : 1011.6004 . DOI : 10,2140 / gt.2014.18.3025 .
- ^ Духин, Луна (2005). Тонкие треугольники и мультипликативная эргодическая теорема для геометрии Тейхмюллера (доктор философии). Чикагский университет. arXiv : math / 0508046 .
- ^ Ройден, Холси Л. (1970). «Отчет о метрике Тейхмюллера» . Proc. Natl. Акад. Sci. США . 65 (3): 497–499. Bibcode : 1970PNAS ... 65..497R . DOI : 10.1073 / pnas.65.3.497 . Руководство по ремонту 0259115 . PMC 282934 . PMID 16591819 .
- ^ Ченг, Шиу Юэнь; Яу, Шинг Тунг (1980). «О существовании полной кэлеровой метрики на некомпактных комплексных многообразиях и регулярности уравнения Феффермана». Comm. Pure Appl. Математика . 33 (4): 507–544. DOI : 10.1002 / cpa.3160330404 . Руководство по ремонту 0575736 .
- ^ Юнг, Сай-Ки (2005). «Квазиизометрия метрик на пространствах Тейхмюллера». Int. Математика. Res. Нет . 2005 (4): 239–255. DOI : 10.1155 / IMRN.2005.239 . Руководство по ремонту 2128436 .
Источники
- Альфорс, Ларс В. (2006). Лекции о квазиконформных отображениях. Второе издание. С дополнительными главами CJ Earle, I. Kra, M. Shishikura и JH Hubbard . Американская математика. Soc. С. viii + 162. ISBN 978-0-8218-3644-6.
- Берс, Липман (1970), "О границах Тайхмюллера пространств и на Клейн группы I.", Анналы математики , вторая серия 91 (3): 570-600, DOI : 10,2307 / 1970638 , JSTOR 1970638 , MR 0297992
- Фатхи, Альберт ; Лауденбах, Франсуа ; Поэнару, Валентин (2012). Работа Терстона на поверхностях . Издательство Принстонского университета. С. xvi + 254. ISBN 978-0-691-14735-2. Руководство по ремонту 3053012 .
- Гардинер, Фредерик П .; Мазур, Ховард (1991), "Экстремальная длина геометрии пространства Тейхмюллера", Теория комплексных переменных, Appl. , 16 (2-3): 209-237, DOI : 10,1080 / 17476939108814480 , МР 1099913
- Имаёси, Ёити; Танигучи, Масахико (1992). Введение в пространства Тейхмюллера . Springer. С. xiv + 279. ISBN 978-4-431-70088-3.
- Керкхофф, Стивен П. (1983). «Проблема реализации Нильсена». Анналы математики . Вторая серия. 117 (2): 235–265. CiteSeerX 10.1.1.353.3593 . DOI : 10.2307 / 2007076 . JSTOR 2007076 . Руководство по ремонту 0690845 .
- Макмаллен, Кертис Т. (2000), «Пространство модулей римановых поверхностей является кэлеровым гиперболическим», Annals of Mathematics , Second Series, 151 (1): 327–357, arXiv : math / 0010022 , doi : 10.2307 / 121120 , JSTOR 121120 , Руководство по ремонту 1745010
- Рэтклифф, Джон (2006). Основы гиперболических многообразий, Второе издание . Springer. С. xii + 779. ISBN 978-0387-33197-3.
- Thurston, Уильям П. (1988), «О геометрии и динамики диффеоморфизмов поверхностей», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 19 (2): 417-431, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1988- 15685-6 , Руководство по ремонту 0956596
дальнейшее чтение
- Берс, Липман (1981), "Конечномерная пространства Тейхмюллера и обобщения", Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 5 (2): 131-172, DOI : 10.1090 / S0273-0979-1981-14933-8 , MR 0621883
- Гардинер, Фредерик П. (1987), теория Тейхмюллера и квадратичные дифференциалы , Чистая и прикладная математика (Нью-Йорк), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-84539-3, Руководство по ремонту 0903027
- Хаббард, Джон Хамал (2006), теория Тейхмюллера и приложения к геометрии, топологии и динамике. Vol. 1 , Matrix Editions, Итака, Нью-Йорк, ISBN 978-0-9715766-2-9, Руководство по ремонту 2245223
- Пападопулос, Атанас, изд. (2007–2016), Справочник по теории Тейхмюллера. Тт. IV , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 11, 13, 17, 19, 26, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, DOI : 10.4171 / 029 , ISBN 978-3-03719-029-6, MR 2284826 Последний том содержит переводы нескольких работ Тайхмюллера.
- Тейхмюллер, Освальд (1939), «Экстремальный квазиконформ Abbildungen und quadratische Differentiale», Abh. Preuss. Акад. Wiss. Math.-Nat. Kl. , 1939 (22): 197, СУЛ 66.1252.01 , МР 0003242
- Teichmüller, Oswald (1982), Ahlfors, Lars V .; Геринг, Фредерик В. (ред.), Gesammelte Abhandlungen , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-10899-3, MR 0649778
- Войцеховский М.И. (2001) [1994], "Пространство Тейхмюллера" , Энциклопедия математики , EMS Press