Плоский коллектор

В математике , А риманово многообразие называется плоским , если его тензор кривизны Римана всюду равна нулю. Интуитивно, плоское многообразие - это такое многообразие, которое «локально похоже» на евклидово пространство с точки зрения расстояний и углов, например, внутренние углы треугольника в сумме составляют 180 °.

Универсальная крышка из полного плоского многообразия является евклидово пространство. Это может быть использовано для доказательства теоремы Бибербаха ( 1911 , 1912 ) о том, что все компактные плоские многообразия конечно покрываются торами; 3-мерный случай был ранее доказан Шенфлисом (1891) .

Примеры [ править ]

Следующие многообразия можно снабдить плоской метрикой. Обратите внимание, что это может не быть их «стандартной» метрикой (например, плоская метрика на 2-мерном торе не является метрикой, индуцированной его обычным вложением в ).${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Измерение 1 [ править ]

Любое одномерное риманово многообразие является плоским. Наоборот, учитывая, что каждое связное одномерное гладкое многообразие диффеоморфно либо одному, либо несложно увидеть, что каждое связное одномерное риманово многообразие изометрично одному из следующих (каждое со своей стандартной римановой структурой):${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle S ^ {1},}$

• настоящая линия
• открытый интервал для некоторого числа${\ Displaystyle (0, х)}$${\ displaystyle x> 0}$
• открытый интервал ${\ displaystyle (0, \ infty)}$
• круг радиуса для некоторого числа${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}}$${\displaystyle r,}$${\displaystyle r>0.}$

Только первая и последняя завершены. Если включаются римановы многообразия с краем, то должны быть также включены полуоткрытые и замкнутые интервалы.

Простота полного описания в этом случае может быть приписана тому факту, что каждое одномерное риманово многообразие имеет гладкое векторное поле единичной длины и что изометрия из одного из приведенных выше модельных примеров обеспечивается рассмотрением интегральной кривой.

Измерение 2 [ править ]

Пять возможностей, с точностью до диффеоморфизма [ править ]

Если есть гладкое двумерный связное полное плоское риманово многообразие, то должно быть диффеоморфны в Мёбиус , или бутылки Клейна . Обратите внимание, что единственными компактными возможностями являются и бутылка Клейна, в то время как единственными ориентированными возможностями являются и${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1},}$${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ,}$${\displaystyle S^{1}\times S^{1}.}$

Требуется больше усилий, чтобы описать различные полные плоские римановы метрики на этих пространствах. Например, у него даже есть много разных показателей плоского продукта, поскольку можно принять два фактора, чтобы иметь разные радиусы; следовательно, это пространство даже имеет разные метрики плоского продукта, которые не изометричны с точностью до масштабного коэффициента. Чтобы единообразно говорить о пяти возможностях и, в частности, работать конкретно с лентой Мёбиуса и бутылкой Клейна как с абстрактными многообразиями, полезно использовать язык групповых действий.${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$

Пять возможностей, вплоть до изометрии [ править ]

Дано, пусть обозначает сдвиг, заданный как. Позвольте обозначить отражение, заданное Данными двумя положительными числами, рассмотрим следующие подгруппы группы изометрий с ее стандартной метрикой.${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle T_{(x_{0},y_{0})}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+x_{0},y+y_{0}).}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y).}$${\displaystyle a,b,}$${\displaystyle \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{2}),}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• ${\displaystyle G_{e}=\{T_{(0,0)}\}}$
• ${\displaystyle G_{\text{cyl}}(a)=\{T_{(an,0)}:n\in \mathbb {Z} \}}$
• ${\displaystyle G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$ при условии ${\displaystyle a<b.}$
• ${\displaystyle G_{\text{Moeb}}(a)=\{T_{(2na,0)}:n\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a,0)}\circ R:n\in \mathbb {Z} \}}$
• ${\displaystyle G_{\text{KB}}(b)=\{T_{(2na,bm)}:n,m\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a,bm)}\circ R:n,m\in \mathbb {Z} \}}$

Все эти группы действуют свободно и должным образом прерывно, поэтому все пространства смежных классов естественным образом имеют структуру двумерных полных плоских римановых многообразий. Ни одно из них не изометрично друг другу, и любое гладкое двумерное полное плоское связное риманово многообразие изометрично одному из них.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/G}$

Орбифолды [ править ]

Есть 17 компактных двумерных орбифолдов с плоской метрикой (включая тор и бутылку Клейна), перечисленных в статье об орбифолдах , которые соответствуют 17 группам обоев .

Замечания [ править ]

Обратите внимание, что стандартная «картина» тора как бублика не представляет его с плоской метрикой, так как точки, наиболее удаленные от центра, имеют положительную кривизну, а точки, ближайшие к центру, имеют отрицательную кривизну. Согласно формулировке Койпера теоремы вложения Нэша , существует вложение, которое индуцирует любую из метрик плоского произведения, которые существуют на, но их нелегко визуализировать. Поскольку представлено как вложенное подмногообразие любой из (плоских) структур продукта на , естественно представляется как подмногообразие${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle S^{1}\times S^{1},}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}.}$Точно так же стандартные трехмерные визуализации бутылки Клейна не представляют плоскую метрику. Стандартное построение ленты Мебиуса путем склеивания концов полосы бумаги действительно дает ей плоскую метрику, но не является полной.

Измерение 3 [ править ]

Полный список из 6 ориентируемых и 4 неориентируемых компактных примеров см. В расслоении Зейферта .

Высшие измерения [ править ]

• Евклидово пространство
• Тори
• Продукция плоских коллекторов
• Факторы плоских многообразий по группам, действующим свободно.

Отношение к ответственности [ править ]

Среди всех замкнутых многообразий с неположительной секционной кривизной плоские многообразия характеризуются как раз с аменабельной фундаментальной группой .

Это следствие теоремы Адамса- Баллмана (1998), ^[1], которая устанавливает эту характеризацию в гораздо более общих условиях дискретных кокомпактных групп изометрий пространств Адамара . Это дает далеко идущее обобщение теоремы Бибербаха .

Предположение о дискретности является существенным в теореме Адамса-Баллмана: в противном случае классификация должна включать симметричные пространства , здания Брюа-Титса и деревья Басса-Серра в силу «недискретной» теоремы Бибербаха Капраса- Моно . ^[2]

См. Также [ править ]

• Космические формы
• Кристаллографические группы
• Риччи-плоское многообразие
• Конформно плоский коллектор
• Аффинное многообразие

Ссылки [ править ]

• Бибербах, Л. (1911), "Убер умереть Bewegungsgruppen дер Euklidischen Räume I", Mathematische Annalen , 70 (3): 297-336, DOI : 10.1007 / BF01564500.

• Бибербах, Л. (1912), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume II: Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich" , Mathematische Annalen , 72 (3): 400–412, doi : 10.1007 / BF01456724.

• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии. Vol. I (Перепечатка оригинального издания 1963 г.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., стр. 209–224, ISBN 0-471-15733-3
• Schoenflies, A. (1891), Kristallsysteme und Kristallstruktur , Teubner.

• Винберг, Е.Б. (2001) [1994], "Кристаллографическая группа" , Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Плоский коллектор» . MathWorld .

Ссылки [ править ]