Аменабле группа

В математике , аменабельная группа является локально компактной топологической группой G , несущей вида операции усреднения на ограниченных функциях, которое инвариантно относительно сдвига на группы элементы. Первоначальное определение в терминах конечно-аддитивной инвариантной меры (или среднего) на подмножествах G было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году под немецким названием «messbar» («измеримый» на английском языке) в ответ на предложение Банаха – Тарского. парадокс . В 1949 году Махлон М. Дэй ввел английский перевод «amenable», очевидно, как каламбур на « средний ». ^[1]

Свойство аменабельности имеет большое количество эквивалентных формулировок. В области анализа определение дано в терминах линейных функционалов . Интуитивный способ понять эту версию, что поддержка из регулярного представления является всем пространством неприводимых представлений .

В теории дискретных групп , где G имеет дискретную топологию , используется более простое определение. В этом случае группа считается приемлемой, если можно сказать, какую долю G занимает какое-либо данное подмножество.

Если в группе есть последовательность Фёльнера, то она автоматически поддается изменению.

Определение для локально компактных групп [ править ]

Пусть G - локально компактная хаусдорфова группа . Тогда хорошо известно, что она обладает единственной масштабной нетривиальной кольцевой мерой, инвариантной относительно левого (или правого) вращения, - мерой Хаара . (Это борелевская регулярная мера, когда G имеет счетность до секунд ; когда G компактна, существуют как левая, так и правая меры .) Рассмотрим банахово пространство L ^∞ ( G ) существенно ограниченных измеримых функций внутри этого пространства мер (которое, очевидно, не зависит от шкалы меры Хаара).

Определение 1. Линейный функционал Λ в Hom ( L ^∞ ( G ), R ) называется средним, если Λ имеет норму 1 и неотрицательно, т.е. f ≥ 0 п.в. влечет Λ ( f ) ≥ 0.

Определение 2. Среднее Λ в Hom ( L ^∞ ( G ), R ) называется левоинвариантным (соответственно правоинвариантным ), если Λ ( g · f ) = Λ ( f ) для всех g в G и f в L ^∞ ( G ) относительно действия сдвига влево (соответственно вправо) g · f (x) = f ( g ⁻¹ x ) (соответственно f · g (x) = f ( xg ⁻¹)).

Определение 3. Локально компактная хаусдорфова группа называется аменабельной, если она допускает лево (или право) инвариантное среднее.

Эквивалентные условия ответственности [ править ]

Pier (1984) содержит исчерпывающий отчет об условиях на второй счетной локально компактной группе G , которые эквивалентны аменабельности: ^[2]

• Существование лево (или право) инвариантного среднего на L ^∞ ( G ). Исходное определение, которое зависит от выбранной аксиомы .
• Существование левоинвариантных состояний. На любой сепарабельной левоинвариантной унитальной C * -подалгебре ограниченных непрерывных функций на G существует левоинвариантное состояние .
• Свойство с фиксированной точкой. Любое действие группы непрерывными аффинными преобразованиями на компактном выпуклом подмножестве (сепарабельного) локально выпуклого топологического векторного пространства имеет неподвижную точку. Для локально компактных абелевых групп это свойство выполняется в результате теоремы Маркова – Какутани о неподвижной точке .
• Неприводимый двойственный. Все неприводимые представления слабо содержится в левом регулярном представлении Х на L ² ( G ).
• Тривиальное представление. Тривиальное представление группы G слабо содержится в левом регулярном представлении.
• Состояние годемента. Каждая ограниченная положительно определенная мера μ на G удовлетворяет условию μ (1) ≥ 0. Валетт (1998) улучшил этот критерий, показав, что достаточно спросить, что для любой непрерывной положительно определенной функции f с компактным носителем на G функция ∆ ^–½ f имеет неотрицательный интеграл по мере Хаара, где Δ обозначает модулярную функцию.
• Условие асимптотической инвариантности Дэя. Существует последовательность интегрируемых неотрицательных функций φ _n с интегралом 1 на G такая, что λ ( g ) φ _n - φ _n стремится к 0 в слабой топологии на L ¹ ( G ).
• Состояние Рейтера. Для каждого конечного (или компактный) подмножество F в G существует интегрируемая неотрицательная функция φ с интегралом 1 такой , что λ ( г ) ф - φ сколь угодно малым по Л ¹ ( G ) для г в F .
• Состояние Диксмье. Для каждого конечного (или компактного) подмножества F в G есть единичный вектор е в л ² ( G ) такое , что λ ( г ) е - е сколь угодно малые по Л ² ( G ) для г в F .
• Условие Гликксберга – Рейтера. Для любого f в L ¹ ( G ) расстояние между 0 и замкнутой выпуклой оболочкой в L ¹ ( G ) слева переводит λ ( g ) f равным | ∫ f |.
• Условие Фёльнера . Для каждого конечного (или компактный) подмножество F в G существует измеримое подмножество U из G с конечной положительной мерой Хаара такимчто м ( U Δ GU ) / т ( U ) сколь угодно малым для г в F .
• Состояние лептина. Для каждого конечного (или компактного) подмножества F группы G существует измеримое подмножество U группы G с конечной положительной мерой Хаара такое, что m ( FU Δ U ) / m ( U ) сколь угодно мало.
• Состояние Кестена . Левая свертка на L ² ( G ) с помощью симметричной вероятностной меры на G дает оператору оператор норма 1.
• Когомологическое условие Джонсона. Банахова алгебра A = L ¹ ( G ) аменабельна как банахова алгебра , т. Е. Любое ограниченное дифференцирование A в двойственное банаховому A -бимодулю является внутренним.

Случай дискретных групп [ править ]

Определение аменабельности проще в случае дискретной группы , ^[3] , т.е. группы , оснащенной дискретной топологией. ^[4]

Определение. Дискретная группа G является аменабельной, если существует конечно-аддитивная мера (также называемая средним) - функция, которая присваивает каждому подмножеству G число от 0 до 1, такая что

1. Мера - это вероятностная мера : мера всей группы G равна 1.
2. Мера конечно аддитивна : для данного конечного числа непересекающихся подмножеств G мера объединения множеств является суммой мер.
3. Мера левоинвариантна : для подмножества A и элемента g из G мера A равна мере gA . ( gA обозначает набор элементов ga для каждого элемента a в A. То есть каждый элемент A переводится слева на  g .)

Это определение можно резюмировать следующим образом: G аменабельна, если она имеет конечно-аддитивную левоинвариантную вероятностную меру. Учитывая подмножество A группы G , эту меру можно рассматривать как ответ на вопрос: какова вероятность того, что случайный элемент G находится в A ?

Это факт, что это определение эквивалентно определению в терминах  L ^∞ ( G ).

Имея мера на G позволяет определить интеграцию ограниченных функций на  G . Для ограниченной функции f  : G → R интеграл

${\ Displaystyle \ int _ {G} е \, д \ му}$

определяется как в интегрировании Лебега . (Обратите внимание, что здесь не действуют некоторые свойства интеграла Лебега, поскольку наша мера только конечно аддитивна.)

Если группа имеет левоинвариантную меру, она автоматически становится биинвариантной. Для левоинвариантной меры μ функция μ ^- ( A ) = μ ( A ⁻¹ ) является правоинвариантной мерой. Объединение этих двух дает биинвариантную меру:

${\ displaystyle \ nu (A) = \ int _ {g \ in G} \ mu \ left (Ag ^ {- 1} \ right) \, d \ mu ^ {-}.}$

Эквивалентные условия аменабельности упрощаются и в случае счетной дискретной группы Γ. Для такой группы следующие условия эквивалентны: ^[5]

• Γ аменабельна.
• Если Γ действует изометриями на (сепарабельному) банаховом пространстве Е , в результате чего слабо замкнутое выпуклое подмножество C замкнутого единичного шара Е * инвариантно, то Γ имеет фиксированную точку C .
• На ℓ ^∞ (Γ) существует левоинвариантный функционал μ, непрерывный по норме, такой, что μ (1) = 1 (это требует аксиомы выбора ).
• На любой левоинвариантной сепарабельной унитальной C * -подалгебре в ^∞ (Γ) существует левоинвариантное состояние μ .
• Существует набор вероятностных мер μ _n на Γ таких, что || g · μ _n  - μ _n || ₁ стремится к 0 для каждого g в Γ (MM Day).
• В ℓ ² (Γ) существуют единичные векторы x _n такие, что || g · x _n  -  x _n || ₂ стремится к 0 для каждого g в Γ (Ж. Диксмье).
• Существуют конечные подмножества S _n в Γ такие, что | g · S _n Δ S _n | / | S _n | стремится к 0 для каждого g в Γ (Фёльнер).
• Если μ - симметричная вероятностная мера на Γ с носителем, порождающим Γ, то свертка по μ определяет оператор нормы 1 на ² (Γ) (Кестен).
• Если Γ действует изометриями на (сепарабельном) банаховом пространстве E и f в ℓ ^∞ (Γ, E *) является ограниченным 1-коциклом, т. Е. F ( gh ) =  f ( g ) +  g · f ( h ), то f является 1-кограницей, т. е. f ( g ) = g · φ - φ для некоторого φ из E * (Б. Е. Джонсон).
• Приведенная групповая C * -алгебра (см. Редуцированную групповую C * -алгебру C r * ( G ) ) ядерна .
• Приведенная групповая C * -алгебра квазидиагональна (Дж. Розенберг, А. Тикуисис, С. Уайт, У. Винтер).
• Групповая алгебра фон Неймана (см алгебры фон Неймана , связанные с группами ) от Г гиперфинитные (А. Конн).

Заметим, что А. Конн также доказал, что групповая алгебра фон Неймана любой связной локально компактной группы гиперконечна , поэтому последнее условие больше не применяется в случае связных групп.

Аменабельность связана со спектральной теорией некоторых операторов. Например, фундаментальная группа замкнутого риманова многообразия аменабельна тогда и только тогда, когда нижняя часть спектра лапласиана на L2-пространстве универсального накрытия многообразия равна 0. ^[6]

Свойства [ править ]

• Каждая (замкнутая) подгруппа аменабельной группы аменабельна.
• Каждый фактор аменабельной группы аменабельный.
• Расширение группы аменабельной группы по аменабельной группе снова поддается. В частности, конечное прямое произведение аменабельных групп аменабельно, хотя бесконечные произведения не обязательно.
• Прямые пределы поддающихся влиянию групп поддаются изменению. В частности, если группу можно записать как направленное объединение аменабельных подгрупп, то она аменабельна.
• Аменабельные группы унитаризуемы ; обратное - открытая проблема.
• Счетные дискретные аменабельные группы подчиняются теореме об изоморфизме Орнштейна . ^{[7] [8]}

Примеры [ править ]

• Конечные группы аменабельны. Используйте счетную меру с дискретным определением. В более общем смысле, компактные группы поддаются изменению. Мера Хаара - это инвариантное среднее (единственное, принимая полную меру 1).
• Группа целых чисел аменабельна (последовательность интервалов длины, стремящаяся к бесконечности, является последовательностью Фёльнера). Существование инвариантной относительно сдвига конечно-аддитивной вероятностной меры на группе Z также легко следует из теоремы Хана – Банаха . Пусть S - оператор сдвига в пространстве последовательностей ℓ ^∞ ( Z ), который определяется формулой ( Sx ) _i  =  x _{i +1} для всех x  ∈ ℓ ^∞ ( Z ), и пусть u  ∈ ℓ ^∞ ( Z) Быть постоянной последовательности у _я  = 1 для всех я  ∈  Z . Любой элемент y  ∈ Y : = range ( S  -  I ) имеет расстояние больше или равное 1 от u (в противном случае y _i  = x _{i + 1}  - x _i было бы положительным и отделенным от нуля, поэтому x _i не мог бы быть ограниченным). Отсюда следует, что на подпространстве R u  +  Y существует четко определенная линейная форма с единицей нормы, переводящая tu + y в t. По теореме Хана-Банаха последний допускает норма-один линейный расширение на л ^∞ ( Z ), которая по построению инвариантное относительно сдвига конечно аддитивная вероятностная мера на Z .
• Если каждый класс сопряженности в локально компактной группе имеет компактное замыкание, то группа аменабельна. Примеры групп с этим свойством включают компактные группы, локально компактные абелевы группы и дискретные группы с конечными классами сопряженности. ^[9]
• По указанному выше свойству прямого предела группа аменабельна, если все ее конечно порожденные подгруппы таковыми. То есть локально поддающиеся группе поддаются.
  • Из основной теоремы о конечно порожденных абелевых группах следует, что абелевы группы аменабельны.
• Из свойства расширения следует, что группа аменабельна, если она имеет аменабельную подгруппу конечного индекса . То есть поддаются фактически поддающиеся изменению группы.
• Кроме того, отсюда следует, что все разрешимые группы аменабельны.

Все приведенные выше примеры элементарно поддаются . Первый класс примеров ниже может быть использован для демонстрации неэлементарных поддающихся примеров благодаря существованию групп промежуточного роста .

• Конечно порожденные группы субэкспоненциального роста аменабельны. Подходящая подпоследовательность шаров даст последовательность Фёльнера. ^[10]

• Конечно порожденные бесконечные простые группы не могут быть получены конструкциями бутстрапа, которые используются для построения элементарных аменабельных групп. Так как существуют такие простые группы, которые поддаются, из - за Juschenko и Моно , ^[11] это обеспечивает снова неэлементарные поддающиеся примеры.

Nonexamples [ править ]

Если счетная дискретная группа содержит (неабелеву) свободную подгруппу с двумя образующими, то она не аменабельна. Обратным этому утверждению является так называемая гипотеза фон Неймана , которая была опровергнута Ольшанским в 1980 году с использованием его монстров Тарского . Впоследствии Адян показал, что свободные бернсайдовские группы неаменабельны: поскольку они периодичны , они не могут содержать свободную группу с двумя образующими. Эти группы конечно порождены, но не конечно представимы. Однако в 2002 г. Сапир и Ольшанский нашли конечно определенные контрпримеры: неаменабельные конечно определенные группы , у которых есть периодическая нормальная подгруппа с фактором целых чисел.^[12]

Однако для конечно порожденных линейных групп гипотеза фон Неймана верна альтернативой Титса : ^[13] каждая подгруппа в GL ( n , k ) с k полем либо имеет нормальную разрешимую подгруппу конечного индекса (и, следовательно, аменабельна) или содержит свободную группу на двух образующих. Хотя Тица «доказательство используется алгебраическая геометрия , Guivarc'h позже нашли аналитическое доказательство , основанное на V. Оселедца » мультипликативной эргодической теоремы . ^[14] Аналоги альтернативы Титса доказаны для многих других классов групп, таких какфундаментальные группы 2-мерных симплициальных комплексов с не-положительной кривизны . ^[15]

См. Также [ править ]

• Равномерно ограниченное представление
• Имущество Каждан (Т)
• Гипотеза фон Неймана

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Эта статья включает материалы группы Amenable на PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

• Брукс, Роберт (1981), "Фундаментальная группа и спектр лапласиана", Комментарий. Математика. Helv. , 56 : 581-598, DOI : 10.1007 / bf02566228
• Диксмье, Жак (1977), C * -алгебры (перевод с французского Фрэнсиса Джеллетта) , Математическая библиотека Северной Голландии, 15 , Северная Голландия
• Гринлиф, Ф.П. (1969), Инвариантные средние на топологических группах и их приложения , Ван Ностранд Рейнхольд
• Ющенко, Катя; Моно, Николя (2013), "Cantor система, кусочно - переводы и простые аменабельные группы", Анналы математики , 178 (2): 775-787, Arxiv : 1204.2132 , DOI : 10,4007 / annals.2013.178.2.7
• Лептин, Х. (1968), "Zur Harmonischen Analyze klassenkompakter Gruppen", Invent. Математика. , 5 (4): 249–254, Bibcode : 1968InMat ... 5..249L , doi : 10.1007 / bf01389775
• Пьер, Жан-Поль (1984), Аменабельные локально компактные группы , Чистая и прикладная математика, Wiley, Zbl  0621.43001
• Рунде, В. (2002), Лекции по приемлемости , Лекционные заметки по математике, 1774 , Springer, ISBN 9783540428527
• Сунада, Тошиказу (1989), «Унитарные представления фундаментальных групп и спектр скрученных лапласианов», Топология , 28 (2): 125–132, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (89) 90015-3
• Такесаки М. (2001), Теория операторных алгебр I , Springer, ISBN 9783540422488
• Такесаки М. (2002), Теория операторных алгебр II , Springer, ISBN 9783540429142
• Такесаки М. (2013), Теория операторных алгебр III , Springer, ISBN 9783662104538
• Валетт, Ален (1998), "О характеристике податливости Годеманом" (PDF) , Bull. Austral. Математика. Soc. , 57 : 153-158, DOI : 10,1017 / s0004972700031506
• фон Нейман, J (1929), "Zur allgemeinen Theorie des Maßes" (PDF) , Fund. Математика. , 13 (1): 73-111, DOI : 10,4064 / FM-13-1-73-116

Внешние ссылки [ править ]

• Некоторые замечания по аменабельности по Терри Тао