В математике концепции существенного нижнего предела и существенного супремума связаны с понятиями нижнего нижнего предела и верхнего предела , но адаптированы к теории измерения и функциональному анализу , где часто имеют дело с утверждениями, которые не действительны для всех элементов в множестве , а скорее почти везде , т. е. кроме множества нулевой меры .
Хотя точное определение не сразу понятно, интуитивно основная верхняя грань функции - это наименьшее значение, которое больше или равно значениям функции повсюду, если допустить игнорирование того, что функция делает в наборе точек с нулевой мерой. Например, если взять функцию который равен нулю везде, кроме точки где , то супремум функции равен единице. Однако его основной верхний предел равен нулю, потому что нам разрешено игнорировать то, что функция делает в единственной точке, гдесвоеобразно. Аналогично определяется существенная нижняя грань.
Определение
Как это часто бывает в меру теоретических вопросов, определение существенного супремуму и инфимума не начинается, спрашивая , что функция F делает в точках х (т.е. изображение из F ), а запрашивая множества точек х , где е равняется стоимости конкретных у (то есть, прообраз из г при е ).
Пусть F : X → R быть реальной стоимостью функции , определенной на множестве X . Вещественное число a называется верхней границей для f, если f ( x ) ≤ a для всех x в X , т. Е. Если множество
является пустым . Позволять
- множество верхних границ функции f . Тогда супремум f определяется как
если набор верхних границ непусто, и иначе.
В качестве альтернативы, если для некоторых у нас есть для всех тогда , а также (с учетом этого инфимума если набор пуст).
Теперь предположим дополнительно, что - пространство с мерой, и для простоты предположим, что функцияизмеримо. Числоназывается существенной верхней границей функции f, если измеримое множество- множество меры нуль, [a] т. е. еслипочти для всех в . Позволять
- множество существенных верхних оценок. Тогда существенный супремум определяется аналогично как
если , а также иначе.
В качестве альтернативы, если для некоторых у нас есть почти для всех тогда , а также (с учетом этого инфимума если набор пуст).
Точно так же существенная нижняя грань определяется как верхняя грань существенных нижних граней , т. Е.
если множество существенных нижних оценок непусто, и при иначе; снова есть альтернативное выражение как (с этим существом если набор пуст).
Примеры
На прямой рассмотрим меру Лебега и соответствующую ей σ-алгебру Σ. Определим функцию f по формуле
Верхняя грань этой функции (наибольшее значение) - 5, а нижняя грань (наименьшее значение) - −4. Однако функция принимает эти значения только на наборах {1} и {−1} соответственно, которые имеют нулевую меру. В остальном функция принимает значение 2. Таким образом, существенная верхняя грань и существенная нижняя грань этой функции равны 2.
В качестве другого примера рассмотрим функцию
где Q обозначает рациональные числа . Эта функция не ограничена как сверху, так и снизу, поэтому ее верхняя и нижняя грани равны ∞ и −∞ соответственно. Однако с точки зрения меры Лебега множество рациональных чисел имеет нулевую меру; таким образом, что действительно имеет значение, так это то, что происходит в дополнении этого набора, где функция задана как arctan x . Отсюда следует, что существенная верхняя грань равна π / 2, а существенная нижняя грань - π / 2.
С другой стороны, рассмотрим функцию f ( x ) = x 3, определенную для всех действительных x . Его существенный супремум, а его существенная нижняя грань равна .
Наконец, рассмотрим функцию
Тогда для любого , у нас есть и другие а также .
Характеристики
- Если у нас есть . Если имеет нулевую меру а также . [1]
- всякий раз, когда оба условия справа неотрицательны.
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- Перейти ↑ Dieudonne J.: Трактат об анализе, Vol. II. Ассошиэйтед Пресс, Нью-Йорк, 1976. стр. 172f.
Эта статья включает в себя материал из Essential supremum на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .