В математике , то L р пространства являются функциональными пространствами , определенные с использованием естественного обобщения р -норма для конечномерных векторных пространств . Иногда их называют пространствами Лебега в честь Анри Лебега ( Dunford & Schwartz 1958 , III.3), хотя, согласно группе Бурбаки ( Bourbaki 1987 ), они были впервые введены Фриджесом Риссом ( Riesz 1910 ). Пространства L p образуют важный класс банаховых пространств вфункциональный анализ и топологических векторных пространств . Из-за своей ключевой роли в математическом анализе пространств меры и вероятностей пространства Лебега используются также при теоретическом обсуждении проблем физики, статистики, финансов, инженерии и других дисциплин.
Приложения
Статистика
В статистике меры центральной тенденции и статистической дисперсии , такие как среднее значение , медиана и стандартное отклонение , определяются в терминах показателей L p , а меры центральной тенденции могут быть охарактеризованы как решения вариационных задач .
В регрессии со штрафами «штраф L1» и «штраф L2» относятся к штрафу либо нормы L 1 вектора значений параметров решения (то есть суммы его абсолютных значений), либо его нормы L 2 (его евклидовой длины ). Методы, использующие штраф L1, такие как LASSO , поощряют решения, в которых многие параметры равны нулю. Методы, которые используют штраф L2, такие как регрессия гребня , поощряют решения, в которых большинство значений параметров малы. Упругая сетевая регуляризация использует штрафной член, который представляет собой комбинацию нормы L 1 и нормы L 2 вектора параметров.
Неравенство Хаусдорфа – Юнга.
Преобразование Фурье для вещественной прямой (или, для периодических функций , см. Ряд Фурье ), отображает L p ( R ) в L q ( R ) (или L p ( T ) в ℓ q ) соответственно, где 1 ≤ p ≤ 2 и 1 / p + 1 / q = 1 . Это следствие интерполяционной теоремы Рисса – Торина и уточняется с помощью неравенства Хаусдорфа – Юнга .
Напротив, если p > 2 , преобразование Фурье не отображается в L q .
Гильбертовы пространства
Гильбертовые пространства занимают центральное место во многих приложениях, от квантовой механики до стохастического исчисления . Пространства L 2 и л 2 оба являются гильбертовыми. В самом деле, выбирая гильбертово базис (т.е. максимального ортонормированного подмножества L 2 или любого гильбертова пространства), один видит , что все гильбертовые изометричен л 2 ( Х ) , где Е представляет собой набор с соответствующей мощностью.
Р -норм в конечных размерах
Длина вектора x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) в n -мерном вещественном векторном пространстве R n обычно задается евклидовой нормой :
Евклидово расстояние между двумя точками x и y - это длина || х - у || 2 прямой линии между двумя точками. Во многих ситуациях евклидово расстояние недостаточно для определения фактических расстояний в заданном пространстве. Аналогию с этим предлагают водители такси в сеточном плане улиц, которые должны измерять расстояние не с точки зрения длины прямой линии до места назначения, а с точки зрения прямолинейного расстояния , которое учитывает, что улицы либо ортогональны, либо параллельно друг другу. Класс p -норм обобщает эти два примера и имеет множество приложений во многих областях математики , физики и информатики .
Определение
Для вещественного числа р ≥ 1 , то р -норм или L р -нормы из й определяются
Полоски абсолютных значений не нужны, если p - рациональное число и в сокращенном виде имеет четный числитель.
Евклидова норма сверху попадает в этот класс и является 2 -нормой , а 1 -норма - нормой, соответствующей прямолинейному расстоянию .
L ∞ -норм или максимальная норма (или равномерная норма) является пределом л р -норма для р → ∞ . Оказывается, этот предел эквивалентен следующему определению:
См. L -infinity .
Для всех р ≥ 1 , то р -норм и максимальная норма , как определено выше , действительно удовлетворяют свойства «функции длины» (или норма ), которые заключаются в следующем :
- только нулевой вектор имеет нулевую длину,
- длина вектора положительно однородна относительно умножения на скаляр ( положительная однородность ), и
- длина суммы двух векторов не больше суммы длин векторов ( неравенство треугольника ).
Абстрактно это означает, что R n вместе с p -нормой является банаховым пространством . Это банахово пространство является L p -пространством над R n .
Связь между p -нормами
Расстояние по сетке или прямолинейное расстояние (иногда называемое « манхэттенским расстоянием ») между двумя точками никогда не бывает короче, чем длина отрезка прямой между ними (евклидово или « прямолинейное » расстояние). Формально это означает, что евклидова норма любого вектора ограничена его 1-нормой:
Этот факт обобщается на p -нормы в том смысле, что p -норма || х || p любого заданного вектора x не растет вместе с p :
- || х || p + a ≤ || х || p для любого вектора x и действительных чисел p ≥ 1 и a ≥ 0 . (На самом деле это остается верным для 0 < p <1 и a ≥ 0. )
Для противоположного направления известно следующее соотношение между 1- нормой и 2- нормой:
Это неравенство зависит от размерности n лежащего в основе векторного пространства и непосредственно следует из неравенства Коши – Шварца .
В общем, для векторов из C n, где 0 < r < p :
Это следствие неравенства Гёльдера .
Когда 0 < p <1
В R n при n > 1 формула
определяет абсолютно однородную функцию при 0 < p <1 ; однако результирующая функция не определяет норму, потому что она не является субаддитивной . С другой стороны, формула
определяет субаддитивную функцию за счет потери абсолютной однородности. Однако он определяет F-норму , однородную степени p .
Следовательно, функция
определяет метрику . Метрическое пространство ( R n , d p ) обозначается ℓ n p .
Хотя p -единичный шар B n p вокруг начала координат в этой метрике является «вогнутым», топология, определяемая на R n метрикой d p, является обычной топологией векторного пространства R n , следовательно, ℓ n p является локально выпуклой топологической векторное пространство. Помимо этого качественного заявления, количественный способ измерения отсутствие выпуклости л п р является Обозначим через С р ( п ) наименьшая константа C такая , что многократное С В п р о р -Unit шара содержит выпуклую оболочку B n p , равное B n 1 . Тот факт, что при фиксированном p <1 имеем
показывает, что бесконечномерное пространство последовательностей ℓ p, определенное ниже, больше не является локально выпуклым. [ необходима цитата ]
Когда p = 0
Существует одна ℓ 0 нормы , а другая функция называется ℓ 0 «норма» (в кавычках).
Математическое определение ℓ 0 нормы было установлено банаховом «s теории линейных операций . Пространство последовательностей имеет полную метрическую топологию , представленную F-норма
который обсуждается Стефаном Ролевичем в метрических линейных пространствах . [1] ℓ 0 -нормированной пространство изучается в функциональном анализе, теории вероятностей и гармонического анализа.
Другая функция была названа ℓ 0 «нормой» Дэвидом Донохо - чьи кавычки предупреждают, что эта функция не является правильной нормой - это количество ненулевых элементов вектора x . Многие авторы злоупотребляют терминологией , опуская кавычки. Определяя 0 0 = 0 , нулевая «норма» x равна
Это не норма, потому что он неоднороден . Например, масштабирование вектора x положительной константой не изменяет «норму». Несмотря на эти дефекты как математическую норму, ненулевая «норма» счета используется в научных вычислениях , теории информации и статистике, особенно в сжатых измерениях при обработке сигналов и вычислительном гармоническом анализе . Соответствующая дефектная «метрика» известна как расстояние Хэмминга .
Р -норм в бесконечных размерах и ℓ р пространствах
Пространство последовательностей ℓ p
Р -норм может быть расширен до векторов , которые имеют бесконечное число компонентов ( последовательность ), что дает пространство л р . Это содержит как особые случаи:
- ℓ 1 , пространство последовательностей, серия абсолютно сходится ,
- ℓ 2 , пространство квадратично суммируемых последовательностей, который представляет собой гильбертово пространство , и
- ℓ ∞ , пространство ограниченных последовательностей .
Пространство последовательностей имеет естественную структуру векторного пространства за счет применения сложения и скалярного умножения координаты на координату. Явно векторная сумма и скалярное действие для бесконечных последовательностей действительных (или комплексных ) чисел задаются следующим образом:
Определите p -норму:
Здесь возникает сложность, заключающаяся в том, что ряд справа не всегда сходится, поэтому, например, последовательность, состоящая только из единиц, (1, 1, 1, ...) , будет иметь бесконечную p -норму для 1 ≤ p <∞ . Тогда пространство ℓ p определяется как множество всех бесконечных последовательностей действительных (или комплексных) чисел таких, что p -норма конечна.
Можно проверить, что с увеличением p множество ℓ p увеличивается. Например, последовательность
не находится в ℓ 1 , но он находится в ℓ p при p > 1 , так как ряд
расходится при p = 1 ( гармонический ряд ), но сходится при p > 1 .
Также можно определить ∞ -норму с помощью супремума :
и соответствующее пространство ℓ ∞ всех ограниченных последовательностей. Оказывается, [2]
если правая часть конечна или левая бесконечна. Таким образом, мы будем рассматривать ℓ p пространств для 1 ≤ p ≤ ∞ .
Р -норме , таким образом , определенный на л р действительно является нормой, а ℓ р вместе с этой нормой является банахово пространство . Полностью общее пространство L p получается, как показано ниже, путем рассмотрения векторов не только с конечным или счетно-бесконечным числом компонентов, но и с « произвольным числом компонентов »; другими словами, функции . Для определения p -нормы используется интеграл вместо суммы .
Общее ℓ p -пространство
Совершенно аналогично предыдущему определению можно определить пространство по общему набору индексов (а также ) в виде
- ,
где сходимость справа означает, что только счетное число слагаемых ненулевое (см. также Безусловная сходимость ). С нормой
космос становится банаховым пространством. В случае, когда конечно с элементов, эта конструкция дает R n с-norm, определенный выше. Если счетно бесконечно, это в точности пространство последовательностей определено выше. Для бесчисленных наборовэто не- отделимо банахово пространство , которое можно рассматривать как локально выпуклый прямой предел из-последовательности. [3]
Набор индексов можно превратить в пространство с мерой , придав ему дискретную σ-алгебру и считающую меру . Тогда пространство это просто частный случай более общего -пространство (см. ниже).
L p пространства и интегралы Лебега
Л р пространство может быть определено как пространство измеримых функций , для которых-я степень абсолютной величины является интегрируемой по Лебегу , где идентифицируются функции, которые согласуются почти везде. В более общем смысле, пусть 1 ≤ p <∞ и ( S , Σ, μ ) - пространство с мерой . Рассмотрим множество всех измеримых функций от S до C или R , абсолютное значение которых, возведенное в p -ю степень, имеет конечный интеграл, или, что то же самое, что
Набор таких функций образует векторное пространство со следующими естественными операциями:
для любого скаляра λ .
То , что сумма два р -й мощности интегрируемых функций снова р -м мощность интегрируемые следует из неравенства
(Это происходит из-за выпуклости для .)
На самом деле, правда больше. Неравенство Минковского утверждает, что неравенство треугольника выполняется для || · || стр . Таким образом, набор функций, интегрируемых в p-й степени, вместе с функцией || · || p , является полунормированным векторным пространством, которое обозначается.
При p = ∞ пространство- пространство измеримых функций, ограниченных почти всюду, с существенной верхней гранью его модуля как нормы:
Как и в дискретном случае, если существует q <∞ такое, что f ∈ L ∞ ( S , μ ) ∩ L q ( S , μ ) , то
может быть преобразовано в нормированное векторное пространство стандартным способом; один просто занимает фактор - пространство относительно ядра из || · || стр . Поскольку для любой измеримой функции f имеем || f || p = 0 тогда и только тогда, когда f = 0 почти всюду , ядро || · || p не зависит от p ,
В фактор-пространстве две функции f и g отождествляются, если f = g почти всюду. Результирующее нормированное векторное пространство по определению
В общем, этот процесс нельзя повернуть вспять: не существует последовательного способа определить «канонического» представителя каждого смежного класса в . ДляОднако есть теория подъемов, позволяющих такое восстановление.
Когда понимается основное пространство меры S , L p ( S , μ ) часто обозначается сокращенно L p ( μ ) или просто L p .
Для 1 ≤ p ≤ ∞ L p ( S , μ ) - банахово пространство . Тот факт, что L p полон, часто называют теоремой Рисса-Фишера , и его можно доказать с помощью теорем сходимости для интегралов Лебега .
Приведенные выше определения обобщаются на пространства Бохнера .
Особые случаи
Подобно ℓ р пространств, L 2 является единственным гильбертово пространство между L р пространств. В комплексном случае, скалярное произведение на L 2 определяется
Дополнительная структура внутреннего продукта позволяет использовать более богатую теорию с приложениями, например, к рядам Фурье и квантовой механике . Функции L 2 иногда называют квадратично интегрируемых функций , интегрируемых с квадратом функций или квадратично суммируемых функций , но иногда эти термины зарезервированы для функций, интегрируемых с квадратом в каком - то другом смысле, например, в смысле интеграла Римана ( Titchmarsh 1976 ).
Если использовать комплекснозначные функции, пространство L ∞ является коммутативной C * -алгеброй с поточечным умножением и сопряжением. Для многих пространств с мерой, включая все сигма-конечные, это фактически коммутативная алгебра фон Неймана . Элемент из L ∞ определяет ограниченный оператор в любом пространстве L p умножением .
Для 1 ≤ р ≤ ∞ в л р пространства являются частным случаем L р пространств, когда S = N , а μ является подсчет мера на N . В более общем смысле, если рассматривать любое множество S со счетной мерой, результирующее пространство L p обозначается ℓ p ( S ) . Например, пространство ℓ p ( Z ) - это пространство всех последовательностей, индексированных целыми числами, и при определении p -нормы в таком пространстве производится суммирование по всем целым числам. Пространство ℓ p ( n ) , где n - множество из n элементов, есть R n с его p -нормой, как определено выше. В любом гильбертовом пространстве, каждое пространство L - линейно изометричен подходящим л 2 ( I ) , где мощность множества I является мощностью произвольного гильбертова основы для этого конкретного L 2 .
Свойства L р пространств
Двойные пространства
Сопряженное пространство (банахово пространство всех непрерывных линейных функционалов) из L р ( ц ) для 1 < р <∞ имеет естественный изоморфизм с L д ( ц ) , где Q является таким , что 1/п + 1/q= 1 (т.е. q = п/п - 1). Этот изоморфизм связывает g ∈ L q ( μ ) с функционалом κ p ( g ) ∈ L p ( μ ) ∗, определенным равенством
- для каждого
Тот факт, что κ p ( g ) корректно определен и непрерывен, следует из неравенства Гёльдера . κ p : L q ( μ ) → L p ( μ ) ∗ - линейное отображение, которое является изометрией в соответствии с экстремальным случаем неравенства Гёльдера. Также можно показать (например, с помощью теоремы Радона – Никодима , см. [4] ), что любую G ∈ L p ( μ ) ∗ можно выразить следующим образом: т. Е. Что κ p находится на . Поскольку κ р является на и изометрической, это изоморфизм из банаховых пространств . Имея в виду этот (изометрический) изоморфизм, обычно просто говорят, что L q - двойственное банахово пространство к L p .
Для 1 < р <∞ , пространство L р ( μ ) является рефлексивный . Пусть κ p такое же, как указано выше, и пусть κ q : L p ( μ ) → L q ( μ ) ∗ - соответствующая линейная изометрия. Рассмотрим отображение из L p ( μ ) в L p ( μ ) ∗∗ , полученное составлением κ q с транспонированным (или присоединенным) обратным к κ p :
Это отображение совпадает с каноническим вложением J множества L p ( μ ) в его бидуал. Более того, отображение j p на, как композиция двух на изометрии, и это доказывает рефлексивность.
Если мера μ на S является сигма-конечна , то сопряженное L 1 ( μ ) изометрически изоморфно L ∞ ( μ ) (более точно, отображение κ 1 , соответствующий р = 1 является изометрией из L ∞ ( μ ) на L 1 ( μ ) ∗ ).
Двойник L ∞ более тонкий. Элементы L ∞ ( μ ) ∗ можно отождествить с ограниченными знаковыми конечно- аддитивными мерами на S , абсолютно непрерывными относительно μ . Смотрите ba space для более подробной информации. Если мы примем аксиому выбора, это пространство будет намного больше, чем L 1 ( μ ), за исключением некоторых тривиальных случаев. Тем не менее, Сахарон Шелы доказали , что существует относительно последовательных расширений Цермели-Френкель теории множеств (ZF + DC + «Каждое подмножество действительных чисел имеет свойство Бэра ») , в котором сопряженный л ∞ является ℓ 1 . [5]
Вложения
Говоря простым языком, если 1 ≤ p < q ≤ ∞ , то L p ( S , μ ) содержит функции, которые являются более локально сингулярными, в то время как элементы L q ( S , μ ) могут быть более разбросанными. Рассмотрим меру Лебега на полупрямой (0, ∞) . Непрерывная функция в L 1 может взорваться около 0, но должна достаточно быстро затухать к бесконечности. С другой стороны, непрерывные функции в L ∞ вовсе не обязательно должны убывать, но разрушение не допускается. Точный технический результат заключается в следующем. [6] Предположим, что 0 < p < q ≤ ∞ . Потом:
- L q ( S , μ ) ⊂ L p ( S , μ ) тогда и только тогда, когда S не содержит множеств конечной, но сколь угодно большой меры, и
- L p ( S , μ ) ⊂ L q ( S , μ ) тогда и только тогда, когда S не содержит множеств ненулевой, но сколь угодно малой меры.
Для вещественной прямой с мерой Лебега оба условия не выполняются. В обоих случаях вложение является непрерывным, т. Е. Тождественный оператор является ограниченным линейным отображением из L q в L p в первом случае и из L p в L q во втором. (Это следствие теоремы о замкнутом графике и свойств пространств L p .) Действительно, если область S имеет конечную меру, можно выполнить следующее явное вычисление, используя неравенство Гёльдера
ведущий к
- .
Константа, фигурирующая в приведенном выше неравенстве, является оптимальной в том смысле, что операторная норма тождества I : L q ( S , μ ) → L p ( S , μ ) в точности равна
случай равенства достигается именно тогда, когда f = 1 μ -ae
Плотные подпространства
В этом разделе мы предполагаем, что: 1 ≤ p <∞ .
Пусть ( S , Σ, μ ) - пространство с мерой. Интегрируемая простая функция F на S является одной из форм
где J является скаляром, J ∈ Σ имеет конечную меру и- индикаторная функция множества, для j = 1, ..., n . По построению интеграла векторное пространство интегрируемых простых функций плотно в L p ( S , Σ, μ ) .
Можно сказать больше, когда S - нормальное топологическое пространство, а Σ - его борелевская σ –алгебра , т. Е. Наименьшая σ –алгебра подмножеств S, содержащая открытые множества .
Предположим, что V ⊂ S - открытое множество с μ ( V ) <∞ . Можно доказать, что для любого борелевского множества A ∈ Σ, содержащегося в V , и для любого ε > 0 существуют замкнутое множество F и открытое множество U такие, что
Отсюда следует, что существует непрерывная функция Урысона 0 ≤ φ ≤ 1 на S , равная 1 на F и 0 на S ∖ U , причем
Если S покрывается возрастающей последовательностью ( V n ) открытых множеств, имеющих конечную меру, то пространство p -интегрируемых непрерывных функций плотно в L p ( S , Σ, μ ) . Точнее, можно использовать ограниченные непрерывные функции, обращающиеся в нуль вне одного из открытых множеств V n .
В частности, это применимо, когда S = R d и когда μ - мера Лебега. Пространство непрерывных функций с компактным носителем плотно в L p ( R d ) . Аналогично, пространство интегрируемых ступенчатых функций плотно в L p ( R d ) ; это пространство является линейной оболочкой индикаторных функций ограниченных интервалов, когда d = 1 , ограниченных прямоугольников, когда d = 2, и, в более общем случае, произведений ограниченных интервалов.
Некоторые свойства общих функций в L p ( R d ) сначала доказываются для непрерывных функций с компактным носителем (иногда для ступенчатых функций), а затем распространяются по плотности на все функции. Например, таким образом доказывается, что трансляции непрерывны на L p ( R d ) в следующем смысле:
где
L p (0 < p <1)
Пусть ( S , Σ, μ ) - пространство с мерой. Если 0 < p <1 , то L p ( μ ) можно определить, как указано выше: это векторное пространство тех измеримых функций f таких, что
Как и раньше, мы можем ввести p -норму || f || p = N p ( f ) 1 / p , но || · || p не удовлетворяет неравенству треугольника в этом случае и определяет только квазинорму . Из неравенства ( a + b ) p ≤ a p + b p , справедливого для a , b ≥ 0, следует, что ( Рудин 1991 , §1.47)
и поэтому функция
является метрикой на L p ( μ ) . Получающееся метрическое пространство полно ; проверка аналогична известному случаю, когда p ≥ 1 .
В этом случае L p удовлетворяет обратному неравенству Минковского , то есть для u , v в L p
Этот результат может быть использован для доказательства неравенств Кларксона , которые, в свою очередь, используются для установления равномерной выпуклости пространств L p для 1 < p <∞ ( Adams & Fournier 2003 ).
Пространство L p для 0 < p <1 является F-пространством : оно допускает полную трансляционно-инвариантную метрику, относительно которой операции векторного пространства непрерывны. Он также локально ограничен , как и в случае p ≥ 1 . Это прототипический пример F-пространство , что для большинства разумных пространств с мерой, не является локально выпуклым : в л р или L р ([0, 1]) , каждое открытое множество выпукло , содержащий 0 функции не ограниченно для р -квазинорма; следовательно, вектор 0 не имеет фундаментальной системы выпуклых окрестностей. В частности, это верно, если пространство с мерой S содержит бесконечное семейство непересекающихся измеримых множеств конечной положительной меры.
Единственное непустое выпуклое открытое множество в L p ([0, 1]) - это все пространство ( Рудин, 1991 , §1.47). Как частное следствие, на L p ([0, 1]) нет ненулевых линейных функционалов : двойственное пространство - это нулевое пространство. В случае подсчета меры на множество натуральных чисел (производящего пространство последовательностей L р ( х ) = л р ), ограниченные линейные функционалы на л р в точности те , которые ограничены на л 1 , а именно тех , кто задается последовательностями в л ∞ . Хотя ℓ p действительно содержит нетривиальные выпуклые открытые множества, их недостаточно, чтобы дать основу для топологии.
Ситуация отсутствия линейных функционалов крайне нежелательна для целей анализа. В случае меры Лебега на R n , вместо того, чтобы работать с L p для 0 < p <1 , обычно по возможности работают с пространством Харди H p , поскольку оно имеет довольно много линейных функционалов: достаточно, чтобы различать точки друг от друга. Однако теорема Хана – Банаха все еще неверна в H p при p <1 ( Duren 1970 , §7.5).
L 0 пространство измеримых функций
Векторное пространство (классов эквивалентности) измеримых функций на ( S , Σ, μ ) обозначается L 0 ( S , Σ, μ ) ( Kalton, Peck & Roberts 1984 ). По определению он содержит все L p и снабжен топологией сходимости по мере . Когда μ является вероятностной мерой (т. Е. Μ ( S ) = 1 ), этот способ сходимости называется сходимостью по вероятности .
Описание проще, когда μ конечно. Если μ - конечная мера на ( S , Σ) , функция 0 допускает сходимость по мере следующей фундаментальной системы окрестностей
Топология может быть определена любой метрикой d вида
где φ - ограниченная непрерывная вогнутая и неубывающая на [0, ∞) , причем φ (0) = 0 и φ ( t )> 0 при t > 0 (например, φ ( t ) = min ( t , 1) ) . Такая метрика называется метрикой Леви для L 0 . Под этой метрикой пространство L 0 полно (это снова F-пространство). Пространство L 0, вообще говоря, не является локально ограниченным и не локально выпуклым.
Для бесконечной меры Лебега λ на R n определение фундаментальной системы окрестностей может быть изменено следующим образом
Полученное пространство L 0 ( R n , λ ) совпадает как топологическое векторное пространство с L 0 ( R n , g ( x ) d λ (x)) для любой положительной λ –интегрируемой плотности g .
Обобщения и расширения
Слабый L p
Пусть ( S , Е , М ) пространство с мерой, и е в измеримой функции с действительными или комплексными значениями на S . Функция распределения по F определяется для т ≥ 0 с помощью
Если F в L р ( S , μ ) для некоторого р с 1 ≤ р <∞ , то в силу неравенства Маркова ,
Функция F называется в пространстве слабым L р ( S , μ ) , или L р , ш ( S , ц ) , если существует постоянная С > 0 такое , что при всех т > 0 ,
Наилучшая константа C для этого неравенства является L p , w -нормой функции f и обозначается через
Слабые L p совпадают с пространствами Лоренца L p , ∞ , поэтому эти обозначения также используются для их обозначения.
L р , ш -нормой не является истинной нормой, так как неравенство треугольника не выполняется. Тем не менее, для F в L р ( S , μ ) ,
и, в частности, L p ( S , μ ) ⊂ L p , w ( S , μ ) .
Фактически, есть
- ,
возведя в степень 1 / p и взяв верхнюю грань по t, получим
Согласно соглашению, что две функции равны, если они равны μ почти всюду, пространства L p , w полны ( Grafakos 2004 ).
Для любого 0 < r < p выражение
сравнимо с L p , w -нормой. Далее, в случае p > 1 это выражение определяет норму, если r = 1 . Следовательно, при p > 1 слабые L p- пространства являются банаховыми пространствами ( Grafakos 2004 ).
Основным результатом, который использует L p , w -пространства, является интерполяционная теорема Марцинкевича , которая имеет широкие приложения к гармоническому анализу и изучению сингулярных интегралов .
Весовые пространства L p
Как и раньше, рассмотрим пространство с мерой ( S , Σ, μ ) . Пусть w : S → [0, ∞) - измеримая функция. Ш - взвешенное L р пространство определяется как L р ( S , ш г ц ) , где W d М означает меру ν , определяемой
или, в терминах производной Радона – Никодима , w = d ν/d μ норма для L р ( S , ш г ц ) явно
Как L p -пространства, весовые пространства не имеют ничего особенного, поскольку L p ( S , w d µ ) равно L p ( S , d ν ) . Но они являются естественной основой для некоторых результатов гармонического анализа ( Grafakos 2004 ); они появляются, например, в теореме Макенхаупта : для 1 < p <∞ классическое преобразование Гильберта определено на L p ( T , λ ), где T обозначает единичную окружность, а λ - меру Лебега; (нелинейный) максимальный оператор Харди – Литтлвуда ограничен на L p ( R n , λ ) . Теорема Макенхаупта описывает веса w такие, что преобразование Гильберта остается ограниченным на L p ( T , w d λ ) и максимальный оператор на L p ( R n , w d λ ) .
L p пространств на многообразиях
Можно также определить пространства L p ( M ) на многообразии, называемые внутренними пространствами L p многообразия, используя плотности .
Векторнозначные пространства L p
Для пространства с мерой ( X , Σ, μ ) и локально-выпуклого пространства E можно также различными способами определить пространства p -интегрируемых E-значных функций. Наиболее распространенным из них является пространства интегрируемых по Бохнеру и Петтису интегрируемых функций. Используя тензорное произведение локально выпуклых пространств, они могут быть соответственно определены как а также ; где а также обозначают соответственно проективное и инъективное тензорные произведения локально выпуклых пространств. Когда E - ядерное пространство , Гротендик показал, что эти две конструкции неразличимы.
Смотрите также
- Пространство Бирнбаума – Орлича
- Харди космос
- Теорема Рисса – Торина.
- Гёльдера
- Пространство Гёльдера
- Среднеквадратичное значение
- Локально интегрируемая функция
- L п ( грамм ) {\ Displaystyle \ scriptstyle L ^ {p} (G)} пространства над локально компактной группой грамм {\ displaystyle G}
- Расстояние Минковского
- L-бесконечность
- Сумма Lp
Заметки
- ^ Ролевич, Стефан (1987), Функциональный анализ и теория управления: Линейные системы , Математика и ее приложения (East European Series), 29 ( В переводе с польского Эва Bednarczuk ред.), Dordrecht; Варшава: D. Reidel Publishing Co .; PWN - Польские научные издательства, стр. Xvi + 524, doi : 10.1007 / 978-94-015-7758-8 , ISBN 90-277-2186-6, Руководство по ремонту 0920371 , OCLC 13064804[ требуется страница ]
- ^ Мэддокс, И. Дж. (1988), Элементы функционального анализа (2-е изд.), Кембридж: CUP, стр.16
- ^ Рафаэль Дахмен, Габор Лукач: Длинные копределы топологических групп I: Непрерывные отображения и гомеоморфизмы. в: Топология и ее приложения Nr. 270, 2020. Пример 2.14.
- ^ Рудин, Уолтер (1980), Реальный и комплексный анализ (2-е изд.), Нью-Дели: Тата МакГроу-Хилл, ISBN 9780070542341, Теорема 6.16
- ^ Шехтер, Эрик (1997), Справочник по анализу и его основам , Лондон: Academic Press Inc. См. Разделы 14.77 и 27.44–47.
- ^ Виллани, Альфонсо (1985), "Еще одно замечание о включении L p ( μ ) ⊂ L q ( μ ) ", Amer. Математика. В месяц , 92 (7): 485-487, DOI : 10,2307 / 2322503 , JSTOR 2322503 , МР 0801221
Рекомендации
- Адамс, Роберт А .; Фурнье, Джон Ф. (2003), Пространства Соболева (второе изд.), Academic Press, ISBN 978-0-12-044143-3.
- Бурбаки, Николас (1987), Топологические векторные пространства , Элементы математики, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9.
- ДиБенедетто, Эммануэле (2002), Реальный анализ , Биркхойзер, ISBN 3-7643-4231-5.
- Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб Т. (1958), Линейные операторы, том I , Wiley-Interscience.
- Дурен П. (1970), Теория H p -пространств , Нью-Йорк: Academic Press.
- Графакос, Лукас (2004), Классический и современный анализ Фурье , Pearson Education, Inc., стр. 253–257, ISBN 0-13-035399-X.
- Хьюитт, Эдвин; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag.
- Калтон, Найджел Дж .; Пек, Н. Тенни; Робертс, Джеймс В. (1984), пробоотборник F-пространства , Серия лекций Лондонского математического общества, 89 , Кембридж: Cambridge University Press, DOI : 10.1017 / CBO9780511662447 , ISBN 0-521-27585-7, Руководство по ремонту 0808777
- Рисса, Фридьеш (1910), "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen" , Mathematische Annalen , 69 (4): 449-497, DOI : 10.1007 / BF01457637 , S2CID 120242933
- Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, Руководство по ремонту 0924157
- Титчмарш, EC (1976), Теория функций , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853349-8
Внешние ссылки
- "Пространство Лебега" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Доказательство полноты пространств L p