Суперэллипс

Примеры суперэллипсов для ${\ displaystyle a = 1, \ b = 0,75}$

Суперэллипс , также известный как кривой Ламе после Gabriel Ламэ , представляет собой замкнутую кривую , напоминающие эллипс , сохраняя при этом геометрические характеристики большой полуоси и малой полуоси , и симметрии относительно них, но другая общая форма.

В декартовой системе координат множество всех точек ( x ,  y ) на кривой удовлетворяет уравнению

${\ displaystyle \ left | {\ frac {x} {a}} \ right | ^ {n} \! + \ left | {\ frac {y} {b}} \ right | ^ {n} \! = 1 ,}$

где n , a и b - положительные числа, а вертикальные полосы |  | вокруг числа указывают абсолютное значение числа.

Конкретные случаи [ править ]

Эта формула определяет замкнутую кривую, содержащуюся в прямоугольнике - a ≤ x  ≤ + a и - b  ≤  y  ≤ + b . Параметры a и b называются полудиаметрами кривой.

${\ Displaystyle 0 <п <1}$	Суперэллипс выглядит как четырехлучевая звезда с вогнутыми (загнутыми внутрь) сторонами. В  частности, при n = 1/2 каждая из четырех дуг является отрезком параболы . Астроида является частным случаем  =  Ь , п  = 2/3.	Суперэллипс с п  = 1 / 2 , с  =  Ь  = 1
${\ Displaystyle п = 1}$	Кривая представляет собой ромб с углами (± a , 0) и (0, ± b ).
${\ Displaystyle 1 <п <2}$	Кривая выглядит как ромб с такими же углами, но с выпуклыми (загнутыми наружу) сторонами. В искривлении увеличивается без предела при приближении его крайних точек.	Суперэллипс с п  = 3 / 2 , в  =  Ь  = 1
${\ displaystyle n = 2}$	Кривая представляет собой обычный эллипс (в частности, окружность, если a  =  b ).
${\ displaystyle n> 2}$	Кривая внешне выглядит как прямоугольник со скругленными углами. Кривизна равна нулю в точках (± a , 0) и (0, ± b ).	Squircle , суперэллипс с n  = 4, a  =  b  = 1

Если n  <2, фигура также называется гипоэллипсом ; если n  > 2, гиперэллипс .

При п  ≥ 1 и  =  Ь , то суперэллипс является границей шара из R ² в п -норме .

Крайние точки суперэллипса - это (± a , 0) и (0, ± b ), а его четыре «угла» - это (± sa, ± sb ), где (иногда называемое «сверхсильностью» ^[1] ).${\ displaystyle s = 2 ^ {- 1 / n}}$

Математические свойства [ править ]

Когда n - положительное рациональное число p / q (в младших терминах), то каждый квадрант суперэллипса является плоской алгебраической кривой порядка pq . ^[2] В частности, когда a = b = 1 и n - четное целое число, то это кривая Ферма степени n . В этом случае он неособый, но в целом будет особенным . Если числитель не четный, тогда кривая составляется из частей одной и той же алгебраической кривой в разных ориентациях.

Кривая задается параметрическими уравнениями (с параметром , не имеющим элементарной геометрической интерпретации)${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle \ left. {\ begin {align} x \ left (t \ right) & = \ pm a \ cos ^ {\ frac {2} {n}} t \\ y \ left (t \ right) & = \ pm b \ sin ^ {\ frac {2} {n}} t \ end {выровнено}} \ right \} \ qquad 0 \ leq t \ leq {\ frac {\ pi} {2}}}$

где каждый ± можно выбрать отдельно, так что каждое значение дает четыре точки на кривой. Эквивалентно, позволяя диапазону более${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle 0 \ Leq T <2 \ pi,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(t\right)&={|\cos t|}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={|\sin t|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t)\end{aligned}}}$

где знаковая функция является

${\displaystyle \operatorname {sgn}(w)={\begin{cases}-1,&w<0\\0,&w=0\\+1,&w>0.\end{cases}}}$

Здесь не угол между положительной горизонтальной осью и лучом от начала координат до точки, поскольку тангенс этого угла равен y / x, а в параметрических выражениях y / x = ( b / a ) (tan ^{2 / n} ≠ загар${\displaystyle t}$${\displaystyle t)}$${\displaystyle t.}$

Площадь внутри суперэллипса может быть выражена через гамма-функцию Γ ( x ) как

${\displaystyle \mathrm {Area} =4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}}.}$

Кривой педали относительно просто вычислить. В частности, педаль

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,}$

дается в полярных координатах с помощью ^[3]

${\displaystyle (a\cos \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}+(b\sin \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}=r^{\tfrac {n}{n-1}}.}$

Обобщения [ править ]

Суперэллипс далее обобщается как:

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m,n>0.}$

или же

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(t\right)&={|\cos t|}^{\frac {2}{m}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={|\sin t|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t).\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что это параметр, который не связан с физическим углом через элементарные функции.${\displaystyle t}$

История [ править ]

Общее декартово обозначение формы пришло от французского математика Габриэля Ламе (1795–1870), который обобщил уравнение для эллипса.

Hermann Zapf «s гарнитура Melior , опубликованный в 1952 году, использует superellipses для писем , таких как O . Тридцать лет спустя Дональд Кнут построил способность выбирать между истинными эллипсами и суперэллипсами (оба аппроксимированы кубическими сплайнами ) в своем семействе шрифтов Computer Modern .

Суперэллипс был назван датским поэтом и ученым Питом Хайном (1905–1996), хотя он не обнаружил его, как иногда утверждают. В 1959 году городские планировщики Стокгольма ( Швеция) объявили конкурс на проектирование кольцевой развязки на своей городской площади Сергельс Торг . Выигравшее предложение Пита Хайна было основано на суперэллипсе с n = 2,5 и a / b = 6/5. ^[4] Как он объяснил:

Человек - это животное, которое рисует линии, о которых он сам спотыкается. Во всей структуре цивилизации было две тенденции: одна - к прямым линиям и прямоугольным образцам, а другая - к круговым линиям. У обеих тенденций есть причины, механические и психологические. Вещи с прямыми линиями хорошо сочетаются друг с другом и экономят место. И мы можем легко перемещаться - физически или мысленно - вокруг вещей, сделанных с круглыми линиями. Но мы находимся в смирительной рубашке и вынуждены принимать одно или другое, тогда как часто какая-то промежуточная форма была бы лучше. Нарисовать что-нибудь от руки - например, лоскутное кольцо на перекрестке, которое пробовали в Стокгольме - не годится. Он не фиксирован, не определен, как круг или квадрат. Вы не знаете, что это такое. Это не эстетично. Суперэллипс решил проблему.Он не круглый и не прямоугольный, а промежуточный. И все же он фиксирован, определен - в нем есть единство.

Сергельсторг была завершена в 1967 г. В том же время, Piet Hein продолжал использовать суперэллипс в других артефактах, такие как кровати, посуда, столы и т.д. ^[5] При вращении суперэллипса вокруг длинной оси, он создал суперяйцо , твердое яйцеобразной формы, которая могла стоять вертикально на плоской поверхности и продавалась как новинка .

В 1968 году, когда переговорщики в Париже по войне во Вьетнаме не смогли договориться о форме стола переговоров, Балински, Кирон Андервуд и Холт предложили суперэллиптический стол в письме в New York Times . ^[4] Суперэллипс был использован для формы Олимпийского стадиона Ацтека 1968 года в Мехико .

Уолдо Р. Тоблер разработал картографическую проекцию , гиперэллиптическую проекцию Тоблера , опубликованную в 1973 г. ^[6], в которой меридианы представляют собой дуги суперэллипсов.

Логотип новостной компании The Local представляет собой наклонный суперэллипс, повторяющий пропорции Сергельс Торга. В логотипе Pittsburgh Steelers использованы три соединенных суперэллипса .

В вычислениях мобильная операционная система iOS использует суперэллиптическую кривую для значков приложений, заменяя стиль закругленных углов, используемый до версии 6. ^[7]

См. Также [ править ]

• Astroid , то суперэллипс с п  = ² / ₃ и с  =  Ь , является гипоциклоида с четырьмя остриями.
  • Дельтовидная дуга , гипоциклоида трех бугорков.
• Squircle , суперэллипс с n  = 4 и a  =  b , выглядит как «Четырехугольное колесо».
  • Треугольник Рело , «Трехугольное колесо».
• Суперформула , обобщение суперэллипса.
• Суперквадрики и суперэллипсоиды , трехмерные «родственники» суперэллипсов.
• Суперэллиптическая кривая , уравнение вида Y ⁿ = f ( X ).
• L p пространства
• Суперэллипсоид

Ссылки [ править ]

• Барр, Алан Х. (1983), Геометрическое моделирование и гидродинамический анализ плавающих сперматозоидов , Политехнический институт Ренсселера (Кандидатская диссертация по суперэллипсоидам)
• Барр, Алан Х. (1992), «Жесткие физически основанные суперквадрики», Кирк, Дэвид (редактор), Graphics Gems III , Academic Press , стр. 137–159 ( код : 472–477), ISBN 978-0-12-409672-1
• Гиелис, Йохан (2003), Изобретая круг: геометрия природы , Антверпен: Geniaal Press, ISBN 978-90-807756-1-9

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме " Суперэллипс" .

• Соколов Д.Д. (2001) [1994], "Кривая Ламе" , Энциклопедия математики , EMS Press
• «Кривая Ламе» в MathCurve.
• Вайсштейн, Эрик В. «Суперэллипс» . MathWorld .
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Хромые кривые» , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет.
• "Супер Эллипс" на 2dcurves.com
• Калькулятор суперэллипсов и генератор шаблонов
• Код C для установки суперэллипсов