Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( март 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение шаблона ) |
Часть серии по |
Астродинамика |
---|
Инженерия и эффективность |
В геометрии большая ось эллипса - это его самый длинный диаметр : отрезок линии , проходящий через центр и оба фокусных расстояния , с концами в самых широких точках периметра .
Большая полуось составляет половину от главной оси, и , таким образом , идет от центра, через фокус , и по периметру. Малая полуось эллипса или гипербола представляет собой отрезок линии , которая находится под прямым углом с большой полуосью и имеет один конец в центре конического сечения. В частном случае круга длины полуосей равны радиусу круга.
Длина большой полуоси a эллипса связана с длиной малой полуоси b через эксцентриситет е и прямую полуось следующим образом:
Большая полуось гиперболы составляет, в зависимости от соглашения, плюс или минус половина расстояния между двумя ветвями. Таким образом, это расстояние от центра до любой вершины гиперболы.
Парабола может быть получена как предел последовательности эллипсов , где один фокус сохраняется фиксированными , как другие могут двигаться сколь угодно далека в одном направлении, сохраняя фиксированным. Таким образом, a и b стремятся к бесконечности, а быстрее, чем b .
Большая и малая оси - это оси симметрии кривой: в эллипсе малая ось является более короткой; в гиперболе это тот, который не пересекает гиперболу.
Эллипс [ править ]
Уравнение эллипса:
где (h, k) - центр эллипса в декартовых координатах , в котором произвольная точка задается как (x, y).
Большая полуось - это среднее значение максимального и минимального расстояний и эллипса от фокуса, то есть расстояний от фокуса до конечных точек большой оси. [ необходимая цитата ] В астрономии эти крайние точки называются апсидами . [1]
Малая полуось эллипса - это среднее геометрическое этих расстояний:
Эксцентриситет эллипса определяется как
Теперь рассмотрим уравнение в полярных координатах , с одним фокусом в начале, а другой в направлении,
Среднее значение и для и равно
В эллипсе большая полуось - это среднее геометрическое расстояние от центра до любого фокуса и расстояние от центра до любой директрисы.
Малая полуось эллипса проходит от центра эллипса (точка на полпути между фокусами и на линии, проходящей между фокусами ) до края эллипса. Малая полуось - это половина малой оси. Малая ось - это самый длинный отрезок прямой, перпендикулярный большой оси, который соединяет две точки на краю эллипса.
Малая полуось b связана с большой полуосью а через эксцентриситет е и прямую полуось :
Парабола может быть получена как предел последовательности эллипсов , где один фокус сохраняется фиксированными , как другие могут двигаться сколь угодно далека в одном направлении, сохраняя фиксированным. Таким образом, a и b стремятся к бесконечности, а быстрее, чем b .
Длину малой полуоси можно также найти по следующей формуле [2]
где f - расстояние между фокусами, p и q - расстояния от каждого фокуса до любой точки эллипса.
Гипербола [ править ]
Большая полуось гиперболы составляет, в зависимости от соглашения, плюс или минус половина расстояния между двумя ветвями; если это в направлении оси х уравнение: [ править ]
С точки зрения полу-латуса прямой кишки и эксцентриситета мы имеем
Поперечная ось гиперболы совпадает с большой осью. [3]
В гиперболе сопряженная ось или малая ось длины , соответствующая малой оси эллипса, может быть проведена перпендикулярно поперечной оси или большой оси, последняя соединяет две вершины (точки поворота) гиперболы с две оси, пересекающиеся в центре гиперболы. Концы малой оси лежат на высоте асимптот над / под вершинами гиперболы. Любая половина малой оси называется малой полуосью длиной b . Обозначая длину большой полуоси (расстояние от центра до вершины) как a , длины малой и большой полуосей появляются в уравнении гиперболы относительно этих осей следующим образом:
Малая полуось - это также расстояние от одного из фокусов гиперболы до асимптоты. Часто называемый прицельным параметром , он важен в физике и астрономии и измеряет расстояние, на которое частица не попадает в фокус, если ее путешествие не нарушается телом в фокусе. [ необходима цитата ]
Малая полуось и большая полуось связаны через эксцентриситет следующим образом:
Обратите внимание, что в гиперболе b может быть больше, чем a . [5]
Астрономия [ править ]
Орбитальный период [ править ]
В астродинамике период обращения T малого тела, вращающегося вокруг центрального тела по круговой или эллиптической орбите, равен: [1]
куда:
Обратите внимание, что для всех эллипсов с данной большой полуосью период обращения один и тот же, без учета их эксцентриситета.
Удельный момент ч небольшого тела на орбите центрального тела по круговой или эллиптической орбите: [1]
куда:
В астрономии , то большая полуось является одним из наиболее важных элементов орбиты в качестве орбиты , наряду с ее орбитальным периодом . Для объектов Солнечной системы большая полуось связана с периодом орбиты третьим законом Кеплера (первоначально полученным эмпирическим путем) [1]
где T - период, а a - большая полуось. Эта форма оказывается упрощением общей формы задачи двух тел , определенной Ньютоном : [1]
где G - гравитационная постоянная , M - масса центрального тела, а m - масса движущегося по орбите тела. Обычно масса центрального тела настолько больше, чем масса вращающегося тела, что m можно не учитывать. Это предположение и использование типичных астрономических единиц приводит к более простой форме, которую открыл Кеплер.
Путь движущегося по орбите тела вокруг центра масс и его путь относительно его первичного элемента являются эллипсами. [1] Большая полуось иногда используется в астрономии как расстояние от первичного к вторичному, когда отношение масс первичного к вторичному элементу значительно ( ); таким образом, параметры орбит планет даны в гелиоцентрических терминах. Разницу между примоцентрической и «абсолютной» орбитами лучше всего можно проиллюстрировать, взглянув на систему Земля – Луна. Отношение масс в этом случае равно81,300 59 . Характерное расстояние Земля – Луна, большая полуось геоцентрической лунной орбиты, составляет 384 400 км. (Учитывая эксцентриситет лунной орбиты e = 0,0549, ее малая полуось составляет 383 800 км. Таким образом, орбита Луны почти круговая.) Барицентрическая лунная орбита, с другой стороны, имеет большую полуось 379 730 км, земную. встречная орбита, принимающая разницу, 4670 км. Средняя барицентрическая орбитальная скорость Луны составляет 1,010 км / с, а у Земли - 0,012 км / с. Сумма этих скоростей дает геоцентрическую среднюю орбитальную скорость Луны 1,022 км / с; такое же значение можно получить, рассматривая только значение большой геоцентрической полуоси. [ необходима цитата ]
Среднее расстояние [ править ]
Часто говорят, что большая полуось - это «среднее» расстояние между основным фокусом эллипса и движущимся по орбите телом. Это не совсем точно, потому что это зависит от того, какое среднее значение берется за основу.
- усреднение расстояния по эксцентрической аномалии действительно приводит к большой полуоси.
- усреднение по истинной аномалии (истинный орбитальный угол, измеренный в фокусе) дает малую полуось .
- усреднение по средней аномалии (доля орбитального периода, прошедшего с перицентра, выраженная в виде угла) дает среднее значение по времени .
Усредненное по времени значение обратной величины радиуса,, равно .
Энергия; вычисление большой полуоси из векторов состояния [ править ]
В астродинамике большая полуось a может быть вычислена из векторов орбитального состояния :
для эллиптической орбиты и, в зависимости от соглашения, то же или
для гиперболической траектории и
( удельная орбитальная энергия ) и
( стандартный гравитационный параметр ), где:
- v - орбитальная скорость от вектора скорости орбитального объекта,
- r - декартов вектор положения орбитального объекта в координатах системы отсчета, относительно которой должны быть вычислены элементы орбиты (например, геоцентрическая экваториальная линия для орбиты вокруг Земли или гелиоцентрическая эклиптика для орбиты вокруг Солнца),
- G - гравитационная постоянная ,
- M - масса гравитирующего тела, а
- - удельная энергия движущегося по орбите тела.
Обратите внимание, что для данного количества общей массы удельная энергия и большая полуось всегда одинаковы, независимо от эксцентриситета или соотношения масс. И наоборот, для данной общей массы и большой полуоси полная удельная орбитальная энергия всегда одинакова. Это утверждение всегда будет верным при любых условиях. [ необходима цитата ]
Полуглавные и малые полуоси орбит планет [ править ]
Орбиты планет всегда приводятся в качестве ярких примеров эллипсов ( первый закон Кеплера ). Однако минимальная разница между большой и малой полуосями показывает, что они практически круглые по внешнему виду. Эта разница (или отношение) основывается на эксцентриситете и вычисляется как то, что для типичных эксцентриситетов планет дает очень маленькие результаты.
Причина предположения о выдающихся эллиптических орбитах, вероятно, кроется в гораздо большей разнице между афелием и перигелием. Эта разница (или соотношение) также зависит от эксцентриситета и рассчитывается как . Из-за большой разницы между афелием и перигелием второй закон Кеплера легко визуализировать.
Имя | Эксцентриситет | Большая полуось a ( AU ) | Малая полуось b ( AU ) | разница (%) | Перигелий ( AU ) | Афелий ( AU ) | разница (%) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Меркурий | 0,206 | 0,38700 | 0,37870 | 2.2 | 0,307 | 0,467 | 52 |
Венера | 0,007 | 0,72300 | 0,72298 | 0,002 | 0,718 | 0,728 | 1.4 |
земной шар | 0,017 | 1,00000 | 0,99986 | 0,014 | 0,983 | 1.017 | 3.5 |
Марс | 0,093 | 1,52400 | 1,51740 | 0,44 | 1,382 | 1,666 | 21 год |
Юпитер | 0,049 | 5.20440 | 5,19820 | 0,12 | 4,950 | 5,459 | 10 |
Сатурн | 0,057 | 9,58260 | 9,56730 | 0,16 | 9,041 | 10,124 | 12 |
Уран | 0,046 | 19,21840 | 19.19770 | 0,11 | 18,330 | 20,110 | 9,7 |
Нептун | 0,010 | 30.11000 | 30.10870 | 0,004 | 29 820 | 30 400 | 1.9 |
См. Также [ править ]
- Полудиаметр
Ссылки [ править ]
- ^ a b c d e f Лиссауэр, Джек Дж .; де Патер, Имке (2019). Фундаментальные планетарные науки: физика, химия и обитаемость . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 24–31. ISBN 9781108411981.
- ^ http://www.mathopenref.com/ellipseaxes.html , «Основная [ постоянная мертвая ссылка ] / Малая ось эллипса», Math Open Reference, 12 мая 2013 г.
- ^ «7.1 Альтернативная характеристика» . www.geom.uiuc.edu .
- ^ «Геометрия орбит: эллипсы, параболы и гиперболы» . www.bogan.ca .
- ^ http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node27.html
Внешние ссылки [ править ]
- Большая и полу-малая оси эллипса с интерактивной анимацией