Удельная орбитальная энергия

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент периапсиса Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита ( Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки ( Орбиты гало ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта
v т е

В гравитационных задачах два тел , то удельная энергия орбитали (или Vis-виват энергия ) два орбитальных тел является постоянной суммой их взаимной потенциальной энергии ( ) и их суммарной кинетической энергии ( ), деленной на пониженной массе . Согласно уравнению сохранения орбитальной энергии (также называемому уравнением vis-viva), оно не меняется со временем: ^{[ цитата необходима ]}${\ displaystyle \ epsilon}$${\displaystyle \epsilon _{p}}$${\displaystyle \epsilon _{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon &=\epsilon _{k}+\epsilon _{p}\\&={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu ^{2}}{h^{2}}}\left(1-e^{2}\right)=-{\frac {\mu }{2a}}\end{aligned}}}$

куда

• ${\displaystyle v}$- относительная орбитальная скорость ;
• ${\displaystyle r}$- орбитальное расстояние между телами;
• ${\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})}$- сумма стандартных гравитационных параметров тел;
• ${\displaystyle h}$- удельный относительный угловой момент в смысле относительного углового момента, деленный на приведенную массу;
• ${\displaystyle e}$- эксцентриситет орбиты ;
• ${\displaystyle a}$- большая полуось .

Выражается в Дж / кг = м ² с ⁻² или МДж / кг = км ² с ⁻² . Для эллиптической орбиты удельная орбитальная энергия является отрицательной величиной дополнительной энергии, необходимой для ускорения массы в один килограмм до космической скорости ( параболическая орбита ). Для гиперболической орбиты он равен избыточной энергии по сравнению с параболической орбитой. В этом случае удельная орбитальная энергия также называется характеристической энергией .

Формы уравнений для разных орбит [ править ]

Для эллиптической орбиты уравнение удельной орбитальной энергии в сочетании с сохранением удельного углового момента на одной из сторон орбиты упрощается до: ^[1]

${\displaystyle \epsilon =-{\frac {\mu }{2a}}}$

куда

• ${\displaystyle \mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)}$- стандартный гравитационный параметр ;
• ${\displaystyle a}$- большая полуось орбиты.

Доказательство:

Для эллиптической орбиты с удельным угловым моментом h, определяемым выражением

${\displaystyle h^{2}=\mu p=\mu a\left(1-e^{2}\right)}$

мы используем общую форму уравнения удельной орбитальной энергии,

${\displaystyle \epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}}$

с соотношением, что относительная скорость в перицентре равна

${\displaystyle v_{p}^{2}={h^{2} \over r_{p}^{2}}={h^{2} \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu a\left(1-e^{2}\right) \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu \left(1-e^{2}\right) \over a(1-e)^{2}}}$

Таким образом, наше конкретное уравнение орбитальной энергии становится

${\displaystyle \epsilon ={\mu \over a}{\left[{1-e^{2} \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\mu \over a}{\left[{(1-e)(1+e) \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\mu \over a}{\left[{1+e \over 2(1-e)}-{2 \over 2(1-e)}\right]}={\mu \over a}{\left[{e-1 \over 2(1-e)}\right]}}$

и, наконец, с последним упрощением получаем:

${\displaystyle \epsilon =-{\mu \over 2a}}$

Для параболической орбиты это уравнение упрощается до

${\displaystyle \epsilon =0.}$

Для гиперболической траектории эта удельная орбитальная энергия определяется как

${\displaystyle \epsilon ={\mu \over 2a}.}$

или то же, что и для эллипса, в зависимости от обозначения знака a .

В этом случае удельная орбитальная энергия также называется характеристической энергией (или ) и равна избыточной удельной энергии по сравнению с удельной энергией для параболической орбиты.${\displaystyle C_{3}}$

Это связано с гиперболической избыточной скоростью ( орбитальной скоростью на бесконечности) соотношением${\displaystyle v_{\infty }}$

${\displaystyle 2\epsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}.}$

Это актуально для межпланетных миссий.

Таким образом, если вектор орбитального положения ( ) и вектор орбитальной скорости ( ) известны в одном положении и известны, то можно вычислить энергию и, исходя из этого, для любого другого положения орбитальную скорость.${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mu }$

Скорость изменения [ править ]

Для эллиптической орбиты скорость изменения удельной орбитальной энергии относительно изменения большой полуоси равна

${\displaystyle {\frac {\mu }{2a^{2}}}}$

куда

• ${\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})}$- стандартный гравитационный параметр ;
• ${\displaystyle a\,\!}$- большая полуось орбиты.

В случае круговых орбит эта скорость составляет половину гравитации на орбите. Это соответствует тому факту, что для таких орбит полная энергия составляет половину потенциальной энергии, потому что кинетическая энергия составляет минус половину потенциальной энергии.

Дополнительная энергия [ править ]

Если центральное тело имеет радиус R , то дополнительная удельная энергия эллиптической орбиты по сравнению с неподвижностью на поверхности равна

${\displaystyle \ -{\frac {\mu }{2a}}+{\frac {\mu }{R}}={\frac {\mu (2a-R)}{2aR}}}$

• Величина - это высота, на которой эллипс простирается над поверхностью, плюс расстояние перицентра (расстояние, на которое эллипс выходит за пределы центра Земли). Для Земли и немного больше, чем дополнительная удельная энергия ; что кинетическая энергия горизонтальной составляющей скорости, то есть , .${\displaystyle 2a-R}$${\displaystyle a}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (gR/2)}$${\displaystyle {\frac {V^{2}}{2}}={\frac {gR}{2}}}$${\displaystyle V={\sqrt {gR}}}$

Примеры [ править ]

ISS [ править ]

Международная космическая станция имеет орбитальный период 91.74 мин (5504  с), следовательно , и большая полуось находится 6738  км.

Энергия -29,6  МДж / кг: потенциальная энергия -59,2  МДж / кг, кинетическая энергия 29,6  МДж / кг. Сравните с потенциальной энергией на поверхности, которая составляет -62,6  МДж / кг. Дополнительная потенциальная энергия составляет 3,4  МДж / кг, полная дополнительная энергия - 33,0  МДж / кг. Средняя скорость составляет 7,7  км / с, чистый дельта-V , чтобы достичь этой орбиты составляет 8,1  км / с (фактическая дельта-V , как правило , 1,5-2,0  км / с больше для сопротивления атмосферы и гравитационного сопротивления ).

Увеличение на метр составит 4,4  Дж / кг; эта скорость соответствует половине местной силы тяжести 8,8  м / с ² .

Для высоты 100  км (радиус 6471  км):

Энергия составляет -30,8  МДж / кг: потенциальная энергия -61,6  МДж / кг и кинетическая энергия 30,8  МДж / кг. Сравните с потенциальной энергией на поверхности, которая составляет -62,6  МДж / кг. Дополнительная потенциальная энергия составляет 1,0  МДж / кг, полная дополнительная энергия - 31,8  МДж / кг.

Увеличение на метр составит 4,8  Дж / кг; эта скорость соответствует половине местной силы тяжести 9,5  м / с ² . Скорость - 7,8  км / с, чистая дельта-v для достижения этой орбиты - 8,0  км / с.

С учетом вращения Земли дельта-v будет на 0,46  км / с меньше (начиная с экватора и идя на восток) или более (если идти на запад).

"Вояджер-1" [ править ]

Для Вояджера 1 относительно Солнца:

• ${\displaystyle \mu =GM}$= 132,712,440,018 км ³ ⋅с ⁻² - стандартный гравитационный параметр Солнца.
• r = 17 миллиардов километров
• v = 17,1 км / с

Следовательно:

${\displaystyle \epsilon =\epsilon _{k}+\epsilon _{p}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}}$= 146 км ² ⋅s ^-2 - 8 км ² ⋅s ^-2 = 138 км ² ⋅s ^-2

Таким образом, гиперболическая избыточная скорость (теоретическая орбитальная скорость на бесконечности) определяется выражением

${\displaystyle v_{\infty }=}$16,6  км / с

Однако " Вояджеру-1" не хватает скорости, чтобы покинуть Млечный Путь . Вычисленная скорость применима далеко от Солнца, но в таком положении, что потенциальная энергия по отношению к Млечному Пути в целом изменилась незначительно, и только если нет сильного взаимодействия с другими небесными телами, кроме Солнца.

Применение тяги [ править ]

Предполагать:

• а - ускорение из-за тяги (скорость, с которой расходуется дельта-v )
• g - напряженность гравитационного поля
• v - скорость ракеты

Тогда скорость изменения удельной энергии ракеты равна : количеству кинетической энергии и количеству потенциальной энергии.${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {v} \cdot (\mathbf {a} -\mathbf {g} )}$${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {g} }$

Изменение удельной энергии ракеты на единицу изменения дельта-v равно

${\displaystyle {\frac {\mathbf {v\cdot a} }{|\mathbf {a} |}}}$

который | v | умноженное на косинус угла между v и a .

Таким образом, при применении дельта-v для увеличения удельной орбитальной энергии это делается наиболее эффективно, если a применяется в направлении v , а когда | v | большой. Если угол между v и g тупой, например, при запуске и переходе на более высокую орбиту, это означает применение delta-v как можно раньше и на полную мощность. См. Также сопротивление силы тяжести . При прохождении мимо небесного тела это означает применение толчка, когда он находится ближе всего к телу. Постепенно увеличивая эллиптическую орбиту, нужно прикладывать тягу каждый раз, когда она приближается к перицентру.

При применении дельта-v для уменьшения удельной орбитальной энергии это делается наиболее эффективно, если a применяется в направлении, противоположном направлению v , и снова, когда | v | большой. Если угол между v и g острый, например, при приземлении (на небесное тело без атмосферы) и при переходе на круговую орбиту вокруг небесного тела при прибытии извне, это означает, что дельта-v применяется так поздно, как возможный. При прохождении мимо планеты это означает применение тяги, когда она ближе всего к планете. При постепенном уменьшении эллиптической орбиты это означает применение тяги каждый раз, когда она приближается к перицентру.

Если a находится в направлении v :

${\displaystyle \Delta \epsilon =\int v\,d(\Delta v)=\int v\,adt}$

Тангенциальные скорости на высоте [ править ]

См. Также [ править ]

• Изменение удельной энергии ракет
• Характеристическая энергия C3 (удвоенная удельная орбитальная энергия)

Ссылки [ править ]