Сфера холма

Контурная диаграмма эффективного потенциала системы двух тел за счет силы тяжести и инерции в один момент времени. Сферы Хилла - это круглые области, окружающие две большие массы.

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент периапсиса Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита ( Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки ( Орбиты гало ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта
v т е

Сфера Хилл или Рош сфера из астрономического тела является областью , в которой она доминирует притяжение спутников . Внешняя оболочка этой области представляет собой поверхность с нулевой скоростью . Чтобы удержать планету , Луна должна иметь орбиту, которая находится в сфере холма этой планеты. У этой луны, в свою очередь, будет собственная сфера Хилла. Любой объект на таком расстоянии стал бы спутником Луны, а не самой планеты. Простое представление о протяженности Солнечной системы - это сфера Солнца Хилла относительно местных звезд игалактическое ядро . ^[1]

Точнее говоря, сфера Хилла аппроксимирует гравитационную сферу влияния меньшего тела перед лицом возмущений от более массивного тела. Он был определен американским астрономом Джорджем Уильямом Хиллом на основе работы французского астронома Эдуарда Роша . По этой причине она также известна как «сфера Роша» (не путать с пределом Роша или Рош-Лобе ).

В примере справа сфера холма Земли простирается между лагранжевыми точками L 1 и L 2 , которые лежат вдоль линии центров двух тел (Земли и Солнца). Область влияния второго тела является самой короткой в ​​этом направлении, и поэтому она действует как ограничивающий фактор для размера сферы Хилла. За пределами этого расстояния третий объект на орбите второго (например, Луна) будет проводить по крайней мере часть своей орбиты за пределами сферы Хилла и будет постепенно возмущаться приливными силами центрального тела (например, Солнца), в конечном итоге в конечном итоге на орбите последнего.

Формула и примеры [ править ]

Если масса меньшего тела (например, Земля) , и она вращается тяжелее тело (например, солнце) массы с большой полуоси и эксцентриситета от , то радиус сферы Хилла меньшего тела, рассчитывается в перицентре , приблизительно ^[2]${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle e}$${\displaystyle r_{\mathrm {H} }}$

${\displaystyle r_{\mathrm {H} }\approx a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}.}$

Когда эксцентриситет пренебрежимо мал (наиболее благоприятный случай для орбитальной устойчивости), он становится

${\displaystyle r_{\mathrm {H} }\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}.}$

В примере Земля-Солнце Земля (5,97 × 10 ²⁴ кг) вращается вокруг Солнца (1,99 × 10 ³⁰ кг) на расстоянии 149,6 миллиона км, или одной астрономической единице (AU). Таким образом, сфера Хилла для Земли простирается примерно на 1,5 миллиона км (0,01 а.е.). Орбита Луны, находящаяся на расстоянии 0,384 миллиона км от Земли, удобно находится в пределах гравитационной сферы влияния Земли, и поэтому ей не грозит риск выхода на независимую орбиту вокруг Солнца. Все стабильные спутники Земли (находящиеся в сфере Хилл Земли) должны иметь период обращения короче семи месяцев.

Предыдущую формулу (без учета эксцентриситета) можно переформулировать следующим образом:

${\displaystyle 3{\frac {r_{\mathrm {H} }^{3}}{a^{3}}}\approx {\frac {m}{M}}.}$

Это выражает соотношение в терминах объема сферы Хилла по сравнению с объемом орбиты второго тела вокруг первого; в частности, соотношение масс в три раза больше отношения объемов этих двух сфер.

Вывод [ править ]

Выражение для радиуса Хилла можно найти, приравняв гравитационные и центробежные силы, действующие на пробную частицу (с массой намного меньше ), вращающуюся вокруг вторичного тела. Предположим, что расстояние между массами и составляет , и что пробная частица движется по орбите на расстоянии от вторичной обмотки. Когда пробная частица находится на линии, соединяющей первичное и вторичное тела, баланс сил требует, чтобы${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r_{\mathrm {H} }}$

${\displaystyle {\frac {Gm}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {GM}{(r-r_{\mathrm {H} })^{2}}}+\Omega ^{2}(r-r_{\mathrm {H} })=0,}$

где - гравитационная постоянная и - ( кеплеровская ) угловая скорость вторичной обмотки относительно первичной (при условии, что ). Вышеупомянутое уравнение также можно записать как ${\displaystyle G}$${\displaystyle \Omega ={\sqrt {\frac {GM}{r^{3}}}}}$${\displaystyle m\ll M}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)^{-2}+{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)=0,}$

который, посредством биномиального разложения до ведущего порядка по , может быть записан как${\displaystyle r_{\mathrm {H} }/r}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(1+2{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)+{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)={\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(3{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)\approx 0.}$

Следовательно, указанное выше соотношение

${\displaystyle {\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\approx {\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}.}$

Если орбита вторичной обмотки вокруг первичной обмотки эллиптическая, радиус Хилла максимален в апоцентре , где является наибольшим, и минимальным в перицентре орбиты. Следовательно, для обеспечения стабильности тестовых частиц (например, малых спутников) необходимо учитывать радиус Хилла на расстоянии перицентра. ^[2] В начальном порядке радиус Хилла выше также представляет собой расстояние лагранжевой точки L ₁ от вторичной обмотки.${\displaystyle r}$${\displaystyle r_{\mathrm {H} }/r}$

Быстрый способ оценки радиуса сферы Хилла заключается в замене массы плотностью в приведенном выше уравнении:

${\displaystyle {\frac {r_{\mathrm {H} }}{R_{\mathrm {secondary} }}}\approx {\frac {a}{R_{\mathrm {primary} }}}{\sqrt[{3}]{\frac {\rho _{\mathrm {secondary} }}{3\rho _{\mathrm {primary} }}}}\approx {\frac {a}{R_{\mathrm {primary} }}},}$

где и - средние плотности первичного и вторичного тел, и - их радиусы. Второе приближение оправдано тем, что для большинства случаев в Солнечной системе оно близко к единице. (Система Земля – Луна является самым большим исключением, и это приближение находится в пределах 20% для большинства спутников Сатурна.) Это также удобно, потому что многие планетные астрономы работают и запоминают расстояния в единицах радиусов планет.${\displaystyle \rho _{\mathrm {second} }}$${\displaystyle \rho _{\mathrm {primary} }}$${\displaystyle R_{\mathrm {secondary} }}$${\displaystyle R_{\mathrm {primary} }}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {\rho _{\mathrm {secondary} }}{3\rho _{\mathrm {primary} }}}}}$

Истинный регион стабильности [ править ]

Сфера Хилла является только приближением, и другие силы (например, радиационное давление или эффект Ярковского ) могут в конечном итоге вывести объект из сферы. Этот третий объект также должен иметь достаточно малую массу, чтобы не создавать дополнительных осложнений из-за собственной гравитации. Детальные численные расчеты показывают, что орбиты на или в пределах сферы Хилла нестабильны в долгосрочной перспективе; похоже, что стабильные орбиты спутников существуют только в пределах от 1/2 до 1/3 радиуса Хилла. Область устойчивости ретроградных орбит на большом расстоянии от главной звезды больше, чем область прямых орбит.на большом удалении от основного. Считалось, что это объясняет преобладание ретроградных спутников вокруг Юпитера; однако у Сатурна более равномерное сочетание ретроградных и прогрессивных спутников, поэтому причины более сложны. ^[3]

Дальнейшие примеры [ править ]

Астронавт не мог выйти на орбиту космического челнока (массой 104 тонны ), где орбита находилась на высоте 300 км над Землей, потому что его сфера Хилла на этой высоте была всего 120 см в радиусе, что намного меньше самого корабля. Сфера такого размера и массы будет плотнее свинца. Фактически, на любой низкой околоземной орбите сферическое тело должно быть более плотным, чем свинец , чтобы поместиться внутри своей собственной сферы Хилла, иначе оно не сможет поддерживать орбиту. Однако сферический геостационарный спутник должен иметь плотность более 6% от воды, чтобы поддерживать собственные спутники. ^{[ необходима цитата ]}

В Солнечной системе планета с самым большим радиусом холма - это Нептун , его длина составляет 116 миллионов км, или 0,775 а.е. его большое расстояние от Солнца полностью компенсирует его небольшую массу относительно Юпитера (собственный радиус Хилла которого составляет 53 миллиона км). Астероид из пояса астероидов будет иметь сферу Хилла , который может достигать 220,000 км (за 1 Ceres ), быстро уменьшается с уменьшением массы. Сфера Хилла 66391 Мошуп , пересекающего Меркурий астероида с луной (названной Скваннит), имеет радиус 22 км. ^[4]

Типичный внесолнечная « горячий Юпитер », HD 209458 б , ^[5] имеет Hill радиус сферы 593,000 км, примерно в восемь раз его физический радиус приблизительно 71 000 км. Даже самая маленькая внесолнечная планета, CoRoT-7b , ^[6] все еще имеет радиус сферы Хилла (61 000 км), что в шесть раз больше ее физического радиуса (приблизительно 10 000 км). Следовательно, к этим планетам могут быть близки маленькие луны, хотя и не в соответствующих пределах Роша . ^{[ необходима цитата ]}

Солнечная система [ править ]

Следующая таблица и логарифмический график показывают радиус сфер Хилла некоторых тел Солнечной системы, рассчитанный по первой формуле, указанной выше (включая эксцентриситет орбиты), с использованием значений, полученных из эфемерид JPL DE405 и с веб-сайта NASA Solar System Exploration. ^[7]

См. Также [ править ]

• Межпланетная транспортная сеть
• п -Боди проблема
• Сфера влияния (астродинамика)
• Сфера влияния (черная дыра)
• Рош Лобе

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Может ли астронавт вращаться вокруг космического шаттла?
• Луна, которая поднялась на холм, но опустилась на планету