Круговая орбита

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на дополнительные источники. Найти источники:  "Круговая орбита"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2020 г. )

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент периапсиса Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита ( Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки ( Орбиты гало ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта
v т е

Круговая орбита является орбитой с фиксированным расстоянием вокруг барицентра , то есть в форме круга .

Ниже приводится круговая орбита в астродинамике или небесной механике при стандартных предположениях. Здесь центростремительная сила - это сила тяжести, а указанная выше ось - это линия, проходящая через центр центральной массы, перпендикулярную плоскости движения.

В этом случае не только расстояние, но и скорость, угловая скорость, потенциальная и кинетическая энергия постоянны. Там нет периапсиды или апоцентра. У этой орбиты нет радиального варианта.

Круговое ускорение [ править ]

Поперечное ускорение ( перпендикулярно скорости) вызывает изменение направления. Если она постоянна по величине и изменяется по направлению со скоростью, происходит круговое движение . Взяв две производные от координат частицы по времени, получаем центростремительное ускорение

${\ Displaystyle а \, = {\ гидроразрыва {v ^ {2}} {r}} \, = {\ omega ^ {2}} {r}}$

куда:

• ${\ displaystyle v \,}$- орбитальная скорость движущегося по орбите тела,
• ${\ Displaystyle г \,}$это радиус круга
• ${\ displaystyle \ omega \}$это угловая скорость , измеряется в радианах в единицу времени.

Формула безразмерна и описывает соотношение, истинное для всех единиц измерения, применяемых единообразно во всей формуле. Если числовое значение измеряется в метрах в секунду в секунду, то числовые значения будут в метрах в секунду, в метрах и радианах в секунду.${\ Displaystyle \ mathbf {а}}$${\ displaystyle v \,}$${\ Displaystyle г \,}$${\ displaystyle \ omega \}$

Скорость [ править ]

Скорость (или величина скорости) относительно центрального объекта постоянна: ^{[1] : 30}

${\ displaystyle v = {\ sqrt {GM \! \ over {r}}} = {\ sqrt {\ mu \ over {r}}}}$

куда:

• ${\ displaystyle G}$, - гравитационная постоянная
• ${\ displaystyle M}$, - масса обоих вращающихся тел , хотя в обычной практике, если большая масса значительно больше, меньшей массой часто пренебрегают, с минимальным изменением результата.${\ displaystyle (M_ {1} + M_ {2})}$
• ${\ displaystyle \ mu = GM}$, - стандартный гравитационный параметр .

Уравнение движения [ править ]

Уравнение орбиты в полярных координатах, которое в целом дает r через θ , сводится к: ^{[ требуется пояснение ] [ необходима ссылка ]}

${\ displaystyle r = {{h ^ {2}} \ over {\ mu}}}$

куда:

• ${\ displaystyle h = rv}$- удельный угловой момент движущегося по орбите тела.

Это потому что ${\displaystyle \mu =rv^{2}}$

Угловая скорость и период обращения [ править ]

${\displaystyle \omega ^{2}r^{3}=\mu }$

Следовательно, период обращения ( ) может быть вычислен как: ^{[1] : 28}${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$

Сравните две пропорциональные величины: время свободного падения (время падения до точечной массы из состояния покоя).

${\displaystyle T_{ff}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$ (17,7% периода обращения по круговой орбите)

и время, чтобы упасть в точечную массу на радиальной параболической орбите

${\displaystyle T_{par}={\frac {\sqrt {2}}{3}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$ (7,5% периода обращения по круговой орбите)

Тот факт, что формулы различаются только постоянным множителем, априори очевиден из анализа размеров . ^{[ необходима цитата ]}

Энергия [ править ]

Удельная орбитали энергия ( ) является отрицательной, и${\displaystyle \epsilon \,}$

${\displaystyle \epsilon =-{v^{2} \over {2}}}$

${\displaystyle \epsilon =-{\mu \over {2r}}}$

Таким образом, теорема вириала ^{[1] : 72} применима даже без усреднения по времени: ^{[ необходима цитата ]}

• кинетическая энергия системы равна абсолютному значению полной энергии
• потенциальная энергия системы равна удвоенной полной энергии

Скорость убегания с любого расстояния в √ 2 раза больше скорости на круговой орбите на этом расстоянии: кинетическая энергия в два раза больше, следовательно, полная энергия равна нулю. ^{[ необходима цитата ]}

Дельта-v для достижения круговой орбиты [ править ]

Маневрирование на большую круговую орбиту, например, на геостационарную орбиту , требует большей дельта-v, чем орбита ухода , хотя последняя подразумевает удаление произвольно далеко и обладание большей энергией, чем требуется для орбитальной скорости круговой орбиты. Это также вопрос выхода на орбиту. См. Также переходную орбиту Хомана .

Орбитальная скорость в общей теории относительности [ править ]

В метрике Шварцшильда орбитальная скорость для круговой орбиты с радиусом определяется следующей формулой:${\displaystyle r}$

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

где - радиус Шварцшильда центрального тела.${\displaystyle \scriptstyle r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

Вывод [ править ]

Для удобства вывод будет записан в единицах, в которых .${\displaystyle \scriptstyle c=G=1}$

Четыре скорости тела на круговой орбите определяется по формуле:

${\displaystyle u^{\mu }=({\dot {t}},0,0,{\dot {\phi }})}$

( постоянна на круговой орбите, и координаты можно выбрать так, чтобы ). Точка над переменной обозначает вывод относительно собственного времени .${\displaystyle \scriptstyle r}$${\displaystyle \scriptstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \scriptstyle \tau }$

Для массивной частицы компоненты четырехскорости удовлетворяют следующему уравнению:

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r^{2}{\dot {\phi }}^{2}=1}$

Воспользуемся геодезическим уравнением:

${\displaystyle {\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\sigma }=0}$

Единственное нетривиальное уравнение - это уравнение для . Это дает:${\displaystyle \scriptstyle \mu =r}$

${\displaystyle {\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {\phi }}^{2}=0}$

Отсюда получаем:

${\displaystyle {\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}}$

Подставляя это в уравнение для массивной частицы, получаем:

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\dot {t}}^{2}=1}$

Следовательно:

${\displaystyle {\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}}$

Предположим, что у нас есть наблюдатель в радиусе , который не движется относительно центрального тела, то есть их четырехскоростная скорость пропорциональна вектору . Условие нормализации подразумевает, что оно равно:${\displaystyle \scriptstyle r}$${\displaystyle \scriptstyle \partial _{t}}$

${\displaystyle v^{\mu }=\left({\sqrt {\frac {r}{r-2M}}},0,0,0\right)}$

Точечное произведение четырех скоростей наблюдателя и движущегося по орбите тела равно гамма-фактору для движущегося по орбите тела относительно наблюдателя, следовательно:

${\displaystyle \gamma =g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {r}{r-3M}}}{\sqrt {\frac {r}{r-2M}}}={\sqrt {\frac {r-2M}{r-3M}}}}$

Это дает скорость :

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {M}{r-2M}}}}$

Или в единицах СИ:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

См. Также [ править ]

• Эллиптическая орбита
• Список орбит
• Проблема двух тел

Ссылки [ править ]