В орбитальной механике , уравнение Кеплера относится различные геометрические свойства орбиты субъект тела к центральной силе .
Впервые оно было получено Иоганном Кеплером в 1609 г. в главе 60 его Astronomia nova , [1] [2] и в книге V его « Эпитоме астрономии Коперника» (1621 г.) Кеплер предложил итеративное решение уравнения. [3] [4] Уравнение сыграло важную роль в истории физики и математики, особенно в классической небесной механике .
Уравнение
Уравнение Кеплера является
где M - средняя аномалия , E - эксцентричная аномалия , а e - эксцентриситет .
«Эксцентрическая аномалия» E полезна для вычисления положения точки, движущейся по кеплеровской орбите. Например, если тело проходит периастр в координатах x = a (1 - e ) , y = 0 , в момент времени t = t 0 , то для определения положения тела в любой момент необходимо сначала вычислить среднее значение аномалии M от времени и среднего движения n по формуле M = n ( t - t 0 ) , затем решите уравнение Кеплера выше, чтобы получить E , затем получите координаты из:
где является большой полуосью , а по оси пола-минор .
Уравнение Кеплера является трансцендентным уравнением, потому что синус является трансцендентной функцией , а это означает, что его нельзя решить для E алгебраически . Для оценки E обычно требуется численный анализ и разложение в ряд .
Альтернативные формы
Есть несколько форм уравнения Кеплера. Каждая форма связана с определенным типом орбиты. Стандартное уравнение Кеплера используется для эллиптических орбит (0 ≤ e <1). Гиперболическое уравнение Кеплера используется для гиперболических траекторий ( e > 1). Радиальное уравнение Кеплера используется для линейных (радиальных) траекторий ( e = 1). Уравнение Баркера используется для параболических траекторий ( e = 1).
Когда e = 0, орбита круговая. Увеличение e приводит к тому, что круг становится эллиптическим. Когда e = 1, есть три возможности:
- параболическая траектория,
- траектория, входящая или выходящая по бесконечному лучу, исходящему из центра притяжения,
- или траектория, которая идет вперед и назад по отрезку линии от центра притяжения до точки на некотором расстоянии.
Небольшое увеличение e выше 1 приводит к гиперболической орбите с углом поворота чуть менее 180 градусов. Дальнейшее увеличение уменьшает угол поворота, и когда e стремится к бесконечности, орбита становится прямой линией бесконечной длины.
Гиперболическое уравнение Кеплера
Гиперболическое уравнение Кеплера:
где H - гиперболическая эксцентрическая аномалия. Это уравнение получается путем переопределения M как квадратного корня из -1, умноженного на правую часть эллиптического уравнения:
(в котором E теперь мнимое), а затем заменив E на iH .
Радиальное уравнение Кеплера
Радиальное уравнение Кеплера:
где t пропорционально времени, а x пропорционально расстоянию от центра притяжения вдоль луча. Это уравнение получается путем умножения уравнения Кеплера на 1/2 и установки e равным 1:
а затем сделайте замену
Обратная задача
Вычислить M для данного значения E несложно. Однако решение для E, когда задано M, может быть значительно более сложной задачей. Не существует закрытого решения .
Можно написать выражение бесконечного ряда для решения уравнения Кеплера, используя обращение Лагранжа , но ряд не сходится для всех комбинаций e и M (см. Ниже).
Путаница по поводу разрешимости уравнения Кеплера сохраняется в литературе на протяжении четырех столетий. [5] Сам Кеплер выразил сомнение в возможности найти общее решение:
Я достаточно удовлетворен тем, что его [уравнение Кеплера] нельзя решить априори из-за разной природы дуги и синуса. Но если я ошибаюсь и кто-нибудь укажет мне путь, он будет в моих глазах великим Аполлонием .
- Иоганн Кеплер [6]
Обратное уравнение Кеплера
Обратное уравнение Кеплера является решением уравнения Кеплера для всех действительных значений :
Оценка этого урожая:
Эти серии могут быть воспроизведены в системе Mathematica с помощью операции InverseSeries.
InverseSeries[Series[M - Sin[M], {M, 0, 10}]]
InverseSeries[Series[M - e Sin[M], {M, 0, 10}]]
Эти функции представляют собой простые серии Маклорена . Такие представления ряда Тейлора трансцендентных функций считаются определениями этих функций. Следовательно, это решение является формальным определением обратного уравнения Кеплера. Однако E не является целой функцией от M при заданном ненулевом e . Производная
стремится к нулю на бесконечном множестве комплексных чисел, когда e <1. Есть решения на и при этих значениях
(где обратный cosh считается положительным), а dE / dM стремится к бесконечности в этих точках. Это означает, что радиус сходимости ряда Маклорена равени ряд не будет сходиться для значений M больше этого. Ряд можно также использовать для гиперболического случая, когда радиус сходимости равенРяд для при e = 1 сходится при m <2π .
Хотя это решение является самым простым в определенном математическом смысле, [ какое? ] , для большинства приложений предпочтительны другие решения. В качестве альтернативы уравнение Кеплера можно решить численно.
Решение для e ≠ 1 было найдено Карлом Штумпфом в 1968 г. [7], но его значение не было признано. [8] [ требуется пояснение ]
Можно также написать серию Маклорена на e . Этот ряд не сходится, когда e больше предела Лапласа (около 0,66), независимо от значения M (если M не кратно 2π ), но сходится для всех M, если e меньше предела Лапласа. Коэффициенты в ряду, кроме первого (который просто M ), зависят от M периодическим образом с периодом 2π .
Обратное радиальное уравнение Кеплера
Обратное радиальное уравнение Кеплера ( e = 1) также можно записать как:
Оценка этого урожая:
Чтобы получить этот результат с помощью Mathematica :
InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]] - Sqrt[(1 - t) t], {t, 0, 15}]]
Численное приближение обратной задачи.
Для большинства приложений обратная задача может быть вычислена численно, найдя корень функции:
Это можно сделать итеративно с помощью метода Ньютона :
Обратите внимание, что в этом вычислении E и M выражены в радианах. Эта итерация повторяется до тех пор, пока не будет получена желаемая точность (например, когда f ( E ) <желаемой точности). Для большинства эллиптических орбит достаточно начального значения E 0 = M ( t ). Для орбит с e > 0,8 следует использовать начальное значение E 0 = π . Если e тождественно 1 , то производная от f , которая находится в знаменателе метода Ньютона, может приблизиться к нулю, что делает методы на основе производных, такие как Ньютон-Рафсон, секанс или regula falsi, численно нестабильными. В этом случае метод деления пополам обеспечит гарантированную сходимость, тем более что решение может быть ограничено в небольшом начальном интервале. На современных компьютерах можно достичь точности 4 или 5 знаков за 17–18 итераций. [9] Аналогичный подход можно использовать для гиперболической формы уравнения Кеплера. [10] : 66–67 В случае параболической траектории используется уравнение Баркера .
Итерация с фиксированной точкой
Родственный метод начинается с того, что . Неоднократно подставляя выражение справа вместосправа дает простой итерационный алгоритм с фиксированной точкой для вычисления. Этот метод идентичен решению Кеплера 1621. [4]
функция E ( e , M , n ) E = M для k = от 1 до n E = M + e * sin E следующий k вернуть E
Количество итераций, , зависит от значения . Аналогично гиперболическая форма имеет.
Этот метод связан с решением метода Ньютона выше тем, что
На первый заказ в небольших количествах а также ,
- .
Смотрите также
- Законы движения планет Кеплера
- Проблема Кеплера
- Проблема Кеплера в общей теории относительности
- Радиальная траектория
Рекомендации
- Перейти ↑ Kepler, Johannes (1609). "LX. Methodus, ex hac Physica, hoc est genuina & verissima hypothesi, extruendi utramque partem æquationis, & distantias genuinas: quorum utrumque simul per vicariam fieri hactenus non potuit. Argumentsum falsæ hypotheseos" . Astronomia Nova Aitiologētos, Seu Physica Coelestis, tradita commentariis De Motibus Stellæ Martis, Ex monitoringibus GV Tychonis Brahe (на латыни). С. 299–300.
- ^ Обое, Асгер (2001). Эпизоды из ранней истории астрономии . Springer. С. 146–147. ISBN 978-0-387-95136-2.
- ^ Кеплер, Иоганнес (1621). "Либри В. Парс альтера.". Воплощение астрономии Коперника в форму Quæstionum & Responsionum conscripta, inq; VII. Libros digesta, quorum tres hi priores sunt de Doctrina Sphæricâ (на латыни). С. 695–696.
- ^ а б Свердлов, Ноэль М. (2000). «Итерационное решение Кеплера уравнения Кеплера» . Журнал истории астрономии . 31 : 339–341. Bibcode : 2000JHA .... 31..339S . DOI : 10.1177 / 002182860003100404 .
- ^ Часто утверждают, что уравнение Кеплера «не может быть решено аналитически»; см. например здесь . Верно это или нет, зависит от того, считать ли бесконечный ряд (или ряд, который не всегда сходится) аналитическим решением. Другие авторы абсурдно заявляют, что это вообще невозможно решить; см. например Madabushi VK Chari; Салон Шеппарда Джоэла; Численные методы в электромагнетизме , Academic Press, Сан-Диего, Калифорния, США, 2000 г. ISBN 0-12-615760-X , стр. 659
- ^ «Mihi ſufficit credere, ſolvi a priori non poſſe, propter arcus & ſinus ετερογενειαν. Erranti mihi, quicumque viam monſtraverit, это erit mihi magnus Apollonius».Холл, Асаф (май 1883 г.). «Проблема Кеплера» . Анналы математики . 10 (3): 65–66. DOI : 10.2307 / 2635832 .
- ^ Штумпфф, Карл (1 июня 1968). «О применении рядов Ли к задачам небесной механики» . Техническая нота НАСА D-4460. Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Колвелл, Питер (1993). Решение уравнения Кеплера за три века . Виллманн – Белл. п. 43. ISBN 0-943396-40-9.
- ^ Кейстер, Адриан. «Численный анализ определения высоты отрезка окружности» . Wineman Technology . Wineman Technology, Inc . Проверено 28 декабря 2019 .
- ^ Пфлегер, Томас; Монтенбрюк, Оливер (1998). Астрономия на персональном компьютере (Третье изд.). Берлин, Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-662-03349-4.
Внешние ссылки
- Дэнби, Джон М .; Буркардт, Томас М. (1983). «Решение уравнения Кеплера. I». Небесная механика . 31 : 95–107. Bibcode : 1983CeMec..31 ... 95D . DOI : 10.1007 / BF01686811 .
- Конвей, Брюс А. (1986). Усовершенствованный алгоритм Лагерра для решения уравнения Кеплера . DOI : 10.2514 / 6.1986-84 .
- Миккола, Сеппо (1987). «Кубическое приближение для уравнения Кеплера». Небесная механика . 40 (3). Bibcode : 1987CeMec..40..329M . DOI : 10.1007 / BF01235850 .
- Nijenhuis, Альберт (1991). «Решение уравнения Кеплера с высокой эффективностью и точностью». Небесная механика и динамическая астрономия . 51 (4): 319–330. Bibcode : 1991CeMDA..51..319N . DOI : 10.1007 / BF00052925 .
- Маркли, Ф. Лэндис (1995). "Решатель уравнения Кеплера". Небесная механика и динамическая астрономия . 63 (1): 101–111. DOI : 10.1007 / BF00691917 .
- Фукусима, Тосио (1996). «Метод решения уравнения Кеплера без трансцендентных вычислений функций». Небесная механика и динамическая астрономия . 66 (3): 309–319. Bibcode : 1996CeMDA..66..309F . DOI : 10.1007 / BF00049384 .
- Чарльз, Эдгар Д .; Татум, Джереми Б. (1997). «Сходимость итерации Ньютона-Рафсона с уравнением Кеплера». Небесная механика и динамическая астрономия . 69 (4): 357–372. Bibcode : 1997CeMDA..69..357C . DOI : 10,1023 / A: 1008200607490 .
- Штумпф, Лаура (1999). «Хаотическое поведение в итерационной функции Ньютона, связанной с уравнением Кеплера». Небесная механика и динамическая астрономия . 74 (2): 95–109. DOI : 10,1023 / A: 1008339416143 .
- Паласиос, Мануэль (2002). «Уравнение Кеплера и ускоренный метод Ньютона» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 138 : 335–346. Bibcode : 2002JCoAM.138..335P . DOI : 10.1016 / S0377-0427 (01) 00369-7 .
- Бойд, Джон П. (2007). «Поиск корней для трансцендентного уравнения без предварительного предположения: полиномиализация уравнения Кеплера через полиномиальное уравнение синуса Чебышева». Прикладная вычислительная математика . 57 (1): 12–18. DOI : 10.1016 / j.apnum.2005.11.010 .
- Пал, Андраш (2009). «Аналитическое решение проблемы Кеплера» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 396 (3): 1737–1742. DOI : 10.1111 / j.1365-2966.2009.14853.x .
- Эсмаэлзаде, Реза; Гадири, Хоссейн (2014). «Подходящий стартер для решения уравнения Кеплера» . Международный журнал компьютерных приложений . 89 (7): 31–38. DOI : 10.5120 / 15517-4394 .
- Зехмайстер, Матиас (2018). «CORDIC-подобный метод решения уравнения Кеплера» . Астрономия и астрофизика . 619 : A128. DOI : 10.1051 / 0004-6361 / 201833162 .
- Уравнение Кеплера в Wolfram Mathworld