Среднее движение

Эта статья может сбивать с толку или непонятна читателям . Помогите, пожалуйста, прояснить статью . На странице обсуждения может быть обсуждение этого вопроса . ( Декабрь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В орбитальной механике , среднее движение (представленный п ) является угловой скоростью , необходимой для тела , чтобы завершить одной орбиту, предполагая постоянную скорость в круговой орбите , которая завершается в то же время , как скорость переменной, эллиптическая орбита фактического тела. ^[1] Эта концепция одинаково хорошо применима к маленькому телу, вращающемуся вокруг большого массивного первичного тела, или к двум телам относительно одинакового размера, вращающимся вокруг общего центра масс . В то время как номинально среднее , и теоретически , так и в случае движения двух тел , на практике среднее движение не обычно представляет собой среднее значениес течением времени для орбит реальных тел, которые только аппроксимируют предположение о двух телах. Это скорее мгновенное значение, которое удовлетворяет указанным выше условиям, рассчитанное исходя из текущих гравитационных и геометрических условий постоянно меняющейся возмущенной орбиты тела .

Среднее движение используется как приближение к фактической орбитальной скорости при первоначальном вычислении положения тела на его орбите, например, на основе набора орбитальных элементов . Это среднее положение уточняется уравнением Кеплера для получения истинного положения.

Определение [ править ]

Определите период обращения (период времени, за который тело совершит один оборот) как P с измерением времени. Среднее движение - это просто один оборот, разделенный на это время, или,

{\ displaystyle n = {\ frac {2 \ pi} {P}}, \ qquad n = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {P}}, \ quad {\ mbox {или}} \ quad n = {\ frac {1} {P}},}

с размерами радиан в единицу времени, градусов в единицу времени или оборотов в единицу времени. ^[2]^[3]

Величина среднего движения зависит от условий конкретной гравитирующей системы. В системах с большей массой тела будут вращаться быстрее в соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона . Точно так же тела, расположенные ближе друг к другу, также будут вращаться быстрее.

Среднее движение и законы Кеплера [ править ]

Третий закон Кеплера о движении планет состояний, квадрат в периодическое время пропорционален кубе от среднего расстояния , ^[4] или

{\ displaystyle {a ^ {3}} \ propto {P ^ {2}},}

где a - большая полуось или среднее расстояние, а P - период обращения, как указано выше. Константа пропорциональности определяется выражением

{\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {P ^ {2}}} = {\ frac {\ mu} {4 \ pi ^ {2}}}}

где μ - стандартный гравитационный параметр , постоянная для любой конкретной гравитационной системы.

Если среднее движение дано в радианах за единицу времени, мы можем объединить его в приведенное выше определение 3-го закона Кеплера:

{\ displaystyle {\ frac {\ mu} {4 \ pi ^ {2}}} = {\ frac {a ^ {3}} {\ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right) ^ {2}}},}

и сокращение,

{\ Displaystyle \ му = а ^ {3} п ^ {2},}

что является еще одним определением 3-го закона Кеплера. ^[3]^[5] μ , константа пропорциональности, ^[6]^{[примечание 1]} является гравитационный параметр , определяемый по масс тел идет речь , и в ньютоновской гравитационной постоянной , G (см ниже). Следовательно, n также определено ^[7]

{\ displaystyle n ^ {2} = {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}, \ quad {\ mbox {или}} \ quad n = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}}.}

Расширяя среднее движение за счет расширения μ ,

{\ Displaystyle п = {\ sqrt {\ гидроразрыва {G (M + m)} {a ^ {3}}}} \, \ !,}

где M - обычно масса основного тела системы, а m - масса меньшего тела.

Это полное гравитационное определение среднего движения в системе двух тел . Часто в небесной механике первичное тело намного больше любого из вторичных тел системы, то есть M ≫ m . Именно при этих обстоятельствах m становится неважным, и 3-й закон Кеплера приблизительно постоянен для всех более мелких тел.

Кеплера второй закон движения планет состояний, линия , соединяющая планету и зачисток Sun равные площади в равные промежутки времени , ^[6] или

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} A} {\ operatorname {d} t}} = {\ text {constant}}}

для двухчастичной орбиты, где г А/д т- скорость изменения пройденной площади во времени .

Положив dt = P , орбитальный период, развернутая область представляет собой всю площадь эллипса , d A = $π$ ab , где a - большая полуось, а b - малая полуось эллипса. ^[8] Следовательно,

{\frac {\operatorname {d} A}{\operatorname {d} t}}={\frac {\pi ab}{P}}.

Умножая это уравнение на 2,

2\left({\frac {\operatorname {d} A}{\operatorname {d} t}}\right)=2\left({\frac {\pi ab}{P}}\right).

Из приведенного выше определения среднее движение n = 2 $π$ /п. Подставляя,

2{\frac {\operatorname {d} A}{\operatorname {d} t}}=nab,

и среднее движение также

n={\frac {2}{ab}}{\frac {\operatorname {d} A}{\operatorname {d} t}},

который сам по себе постоянен как a , b иг А/д т все постоянны в движении двух тел.

Среднее движение и константы движения [ править ]

Из-за природы движения двух тел в консервативном гравитационном поле два аспекта движения не меняются: угловой момент и механическая энергия .

Первую константу, называемую удельным угловым моментом , можно определить как ^[8]^[9]

h=2{\frac {\operatorname {d} A}{\operatorname {d} t}},

и подставив в вышеприведенное уравнение, среднее движение также

n={\frac {h}{ab}}.

Вторую константу, называемую удельной механической энергией , можно определить ^[10]^[11]

\xi =-{\frac {\mu }{2a}}.

Перестановка и умножение на 1/а ²,

{\frac {-2\xi }{a^{2}}}={\frac {\mu }{a^{3}}}.

Сверху квадрат среднего движения n ² = μ/а ³. Подставляя и переставляя, среднее движение также может быть выражено:

n={\frac {1}{a}}{\sqrt {-2\xi }},

где −2 показывает, что ξ следует определять как отрицательное число, как это принято в небесной механике и астродинамике .

Среднее движение и гравитационные постоянные [ править ]

В небесной механике Солнечной системы обычно используются две гравитационные константы : G , ньютоновская гравитационная постоянная и k , гауссова гравитационная постоянная . Из приведенных выше определений среднее движение равно

n={\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}}\,\!.

Нормализуя части этого уравнения и делая некоторые предположения, его можно упростить, выявив связь между средним движением и константами.

Настройка массы Солнца к единице, M = 1. Массы планет все намного меньше, м « M . Следовательно, для любой конкретной планеты

n\approx {\sqrt {\frac {G}{a^{3}}}},

а также принимая большую полуось за одну астрономическую единицу ,

n_{1\;{\text{AU}}}\approx {\sqrt {G}}.

Гауссова гравитационная постоянная k = √ G , ^[12]^[13]^{[примечание 2],} следовательно, при тех же условиях, что и выше, для любой конкретной планеты

n\approx {\frac {k}{\sqrt {a^{3}}}},

и снова принимая большую полуось за одну астрономическую единицу,

n_{1\;{\text{AU}}}\approx k.

Среднее движение и средняя аномалия [ править ]

Среднее движение также представляет собой скорость изменения средней аномалии и, следовательно, также может быть вычислено, ^[14]

n={\frac {M_{1}-M_{0}}{t}}

где M ₁ и M ₀ - средние аномалии в определенные моменты времени, а t - время, прошедшее между ними. M ₀ называется средней аномалией в эпоху , а t - время с начала эпохи .

Формулы [ править ]

Для параметров орбиты спутника Земли среднее движение обычно измеряется в оборотах в день . В таком случае,

n={\frac {d}{2\pi }}{\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}}=d{\sqrt {\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}a^{3}}}}\,\!

куда

d - количество времени в сутках ,
G - гравитационная постоянная ,
M и m - массы вращающихся тел,
а - длина большой полуоси .

Чтобы преобразовать радианы в единицу времени в количество оборотов в день, примите во внимание следующее:

{\rm {{\frac {radians}{time\ unit}}\times {\frac {1\ revolution}{2\pi \ radians}}\times }}{\frac {d\ {\rm {time\ units}}}{1{\rm {\ day}}}}={\frac {d}{2\pi }}{\rm {\ revolutions\ per\ day}}

Сверху среднее движение в радианах в единицу времени равно:

n={\frac {2\pi }{P}},

поэтому среднее количество оборотов в день равно

n={\frac {d}{2\pi }}{\frac {2\pi }{P}}={\frac {d}{P}},

где P - период обращения , как указано выше.

См. Также [ править ]

Гауссова гравитационная постоянная
Орбита Кеплера
Средняя аномалия
Средняя долгота
Средний резонанс движения
Орбитальные элементы

Заметки [ править ]

^ Не путайте μ , гравитационный параметр, с μ , приведенной массой .
^ Gaussian гравитационная постоянная , к ,правилоимеет единицы радиан в день и ньютоновской гравитационной постоянной , G , обычно дается в системе СИ . Будьте осторожны при конвертации.

Ссылки [ править ]

^ Зайдельманн, П. Кеннет; Урбан, Шон Э., ред. (2013). Пояснительное приложение к астрономическому альманаху (3-е изд.). Научные книги университета, Милл-Вэлли, Калифорния. п. 648. ISBN 978-1-891389-85-6.
^ Рой, AE (1988). Орбитальное движение (третье изд.). Издательский институт Физики . п. 83. ISBN 0-85274-229-0.
^ a b Брауэр, Дирк; Клеменс, Джеральд М. (1961). Методы небесной механики . Академическая пресса . С. 20–21 .
^ Vallado, David A. (2001). Основы астродинамики и приложений (второе изд.). Эль-Сегундо, Калифорния: Microcosm Press. п. 29. ISBN 1-881883-12-4.
^ Баттин, Ричард Х. (1999). Введение в математику и методы астродинамики, исправленное издание . Американский институт аэронавтики и астронавтики, Inc. стр. 119. ISBN 1-56347-342-9.
^ a b Валладо, Дэвид А. (2001). п. 31.
^ Vallado, David A. (2001). п. 53.
^ a b Валладо, Дэвид А. (2001). п. 30.
^ Бейт, Роджер Р .; Мюллер, Дональд Д .; Уайт, Джерри Э. (1971). Основы астродинамики . Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. п. 32 . ISBN 0-486-60061-0.
^ Vallado, David A. (2001). п. 27.
^ Бейт, Роджер Р .; Мюллер, Дональд Д .; Уайт, Джерри Э. (1971). п. 28.
^ Военно-морская обсерватория США, Управление морского альманаха; Управление морского альманаха HM (1961). Пояснительное приложение к астрономическим эфемеридам и американским эфемеридам и морскому альманаху . Канцелярский офис HM, Лондон. п. 493.
^ Смарт, WM (1953). Небесная механика . Longmans, Green and Co., Лондон. п. 4.
^ Vallado, David A. (2001). п. 54.

Внешние ссылки [ править ]

Запись в глоссарии означает движение в онлайн-астрономическом альманахе Военно-морской обсерватории США

[7] Не путайте μ , гравитационный параметр, с μ , приведенной массой .

[15] Gaussian гравитационная постоянная , к ,правилоимеет единицы радиан в день и ньютоновской гравитационной постоянной , G , обычно дается в системе СИ . Будьте осторожны при конвертации.

[1] Зайдельманн, П. Кеннет; Урбан, Шон Э., ред. (2013). Пояснительное приложение к астрономическому альманаху (3-е изд.). Научные книги университета, Милл-Вэлли, Калифорния. п. 648. ISBN 978-1-891389-85-6.

[2] Рой, AE (1988). Орбитальное движение (третье изд.). Издательский институт Физики . п. 83. ISBN 0-85274-229-0.

[BrowerClemence-3] Брауэр, Дирк; Клеменс, Джеральд М. (1961). Методы небесной механики . Академическая пресса . С. 20–21 .

[4] Vallado, David A. (2001). Основы астродинамики и приложений (второе изд.). Эль-Сегундо, Калифорния: Microcosm Press. п. 29. ISBN 1-881883-12-4.

[5] Баттин, Ричард Х. (1999). Введение в математику и методы астродинамики, исправленное издание . Американский институт аэронавтики и астронавтики, Inc. стр. 119. ISBN 1-56347-342-9.

[Vallado31-6] Валладо, Дэвид А. (2001). п. 31.

[Vallado53-8] Vallado, David A. (2001). п. 53.

[Vallado30-9] Валладо, Дэвид А. (2001). п. 30.

[10] Бейт, Роджер Р .; Мюллер, Дональд Д .; Уайт, Джерри Э. (1971). Основы астродинамики . Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. п. 32 . ISBN 0-486-60061-0.

[Vallado27-11] Vallado, David A. (2001). п. 27.

[BMW28-12] Бейт, Роджер Р .; Мюллер, Дональд Д .; Уайт, Джерри Э. (1971). п. 28.

[13] Военно-морская обсерватория США, Управление морского альманаха; Управление морского альманаха HM (1961). Пояснительное приложение к астрономическим эфемеридам и американским эфемеридам и морскому альманаху . Канцелярский офис HM, Лондон. п. 493.

[14] Смарт, WM (1953). Небесная механика . Longmans, Green and Co., Лондон. п. 4.

[16] Vallado, David A. (2001). п. 54.

[1]