Эллиптическая орбита

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Анимация орбиты по эксцентриситету
  0,0  ·   0,2  ·   0,4  ·   0,6  ·   0,8

Два тела с одинаковой массой, вращающиеся вокруг общего центра масс с эллиптическими орбитами.

Эллиптические орбиты изображены в верхнем правом квадранте этой диаграммы, где гравитационная потенциальная яма центральной массы показывает потенциальную энергию, а кинетическая энергия орбитальной скорости показана красным. Высота кинетической энергии уменьшается с уменьшением скорости движущегося по орбите тела и увеличением расстояния согласно законам Кеплера.

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент периапсиса Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита ( Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки ( Орбиты гало ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта
v т е

В астродинамики или небесной механике , эллиптическая орбита или эллиптическая орбита является Кеплер орбитой с эксцентриситетом менее 1; это включает частный случай круговой орбиты с эксцентриситетом, равным 0. В более строгом смысле, это орбита Кеплера с эксцентриситетом больше 0 и меньше 1 (таким образом, исключая круговую орбиту). В более широком смысле это орбита Кеплера с отрицательной энергией . Это включает радиальную эллиптическую орбиту с эксцентриситетом, равным 1.

В гравитационной задаче двух тел с отрицательной энергией оба тела движутся по одинаковым эллиптическим орбитам с одинаковым периодом обращения вокруг своего общего барицентра . Также относительное положение одного тела по отношению к другому следует по эллиптической орбите.

Примеры эллиптических орбит включают в себя: Хохман орбиту передачи , Молния орбиту и тундры орбиту .

Скорость [ править ]

При стандартных предположениях орбитальная скорость ( ) тела, движущегося по эллиптической орбите, может быть вычислена из уравнения vis-viva как:${\ displaystyle v \,}$

${\ displaystyle v = {\ sqrt {\ mu \ left ({2 \ over {r}} - {1 \ over {a}} \ right)}}}$

куда:

• ${\ displaystyle \ mu \,}$- стандартный гравитационный параметр ,
• ${\ Displaystyle г \,}$ расстояние между вращающимися телами.
• ${\ Displaystyle а \, \!}$- длина большой полуоси .

Уравнение скорости для гиперболической траектории имеет либо + , либо то же самое с условием, что в этом случае a отрицательно.${\ displaystyle {1 \ over {a}}}$

Орбитальный период [ править ]

При стандартных предположениях орбитальный период ( ) тела, движущегося по эллиптической орбите, может быть вычислен как:${\ Displaystyle Т \, \!}$

${\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {a ^ {3} \ over {\ mu}}}}$

куда:

• ${\ displaystyle \ mu \,}$- стандартный гравитационный параметр ,
• ${\ Displaystyle а \, \!}$- длина большой полуоси .

Выводы:

• Орбитальный период равен периоду круговой орбиты с радиусом орбиты, равным большой полуоси ( ),${\ Displaystyle а \, \!}$
• Для данной большой полуоси орбитальный период не зависит от эксцентриситета (см. Также: третий закон Кеплера ).

Энергия [ править ]

При стандартных предположениях удельная орбитальная энергия ( ) эллиптической орбиты отрицательна, и уравнение сохранения орбитальной энергии ( уравнение Висививы ) для этой орбиты может иметь вид:${\ displaystyle \ epsilon \,}$

${\ displaystyle {v ^ {2} \ over {2}} - {\ mu \ over {r}} = - {\ mu \ over {2a}} = \ epsilon <0}$

куда:

• ${\ displaystyle v \,}$- орбитальная скорость движущегося по орбите тела,
• ${\ Displaystyle г \,}$расстояние орбитального тела от центрального тела ,
• ${\ Displaystyle а \,}$- длина большой полуоси ,
• ${\ displaystyle \ mu \,}$- стандартный гравитационный параметр .

Выводы:

• Для данной большой полуоси удельная орбитальная энергия не зависит от эксцентриситета.

Используя теорему вириала, находим:

• среднее по времени удельной потенциальной энергии равно −2ε
  • среднее по времени из г ^-1 является ^-1
• среднее по времени удельной кинетической энергии равно ε

Энергия в терминах большой полуоси [ править ]

Может быть полезно знать энергию в терминах большой полуоси (и задействованных масс). Полная энергия орбиты определяется выражением

${\ displaystyle E = -G {\ frac {Mm} {2a}}}$,

где а - большая полуось.

Вывод [ править ]

Поскольку гравитация является центральной силой, угловой момент постоянен:

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {L}}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = \ mathbf {r} \ times F (r) \ mathbf {\ hat {r}} = 0 }$

На самом близком и самом дальнем подходе угловой момент перпендикулярен расстоянию от вращающейся массы, поэтому:

${\ Displaystyle L = rp = rmv}$.

Полная энергия орбиты определяется выражением

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{r}}}$.

Мы можем заменить v и получить

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}-G{\frac {Mm}{r}}}$.

Это верно для r, являющегося ближайшим / самым дальним расстоянием, поэтому мы получаем два одновременных уравнения, которые мы решаем для E:

${\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{r_{1}+r_{2}}}}$

Поскольку и , где эпсилон - эксцентриситет орбиты, мы наконец получили заявленный результат.${\textstyle r_{1}=a+a\epsilon }$${\displaystyle r_{2}=a-a\epsilon }$

Угол траектории полета [ править ]

Угол траектории полета - это угол между вектором скорости движущегося по орбите тела (= вектор, касательный к мгновенной орбите) и местной горизонталью. При стандартных предположениях о сохранении углового момента угол траектории полета удовлетворяет уравнению:${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle h\,=r\,v\,\cos \phi }$

куда:

• ${\displaystyle h\,}$- удельный относительный угловой момент орбиты,
• ${\displaystyle v\,}$- орбитальная скорость движущегося по орбите тела,
• ${\displaystyle r\,}$- радиальное расстояние орбитального тела от центрального тела ,
• ${\displaystyle \phi \,}$ угол траектории полета

${\displaystyle \psi }$- угол между вектором орбитальной скорости и большой полуосью. это местная истинная аномалия. , следовательно,${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \phi =\nu +{\frac {\pi }{2}}-\psi }$

${\displaystyle \cos \phi =\sin(\psi -\nu )=\sin \psi \cos \nu -\cos \psi \sin \nu ={\frac {1+e\cos \nu }{\sqrt {1+e^{2}+2e\cos \nu }}}}$

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {e\sin \nu }{1+e\cos \nu }}}$

где эксцентриситет.${\displaystyle e}$

Угловой момент связан с векторным векторным произведением положения и скорости, которое пропорционально синусу угла между этими двумя векторами. Здесь определяется как угол, который отличается от этого на 90 градусов, поэтому вместо синуса появляется косинус.${\displaystyle \phi }$

Уравнение движения [ править ]

От исходной позиции и скорости [ править ]

Уравнение орбиты определяет путь к орбите тела вокруг центрального тела относительно , без указания позиции в качестве функции времени. Если эксцентриситет меньше 1, то уравнение движения описывает эллиптическую орбиту. Поскольку уравнение Кеплера не имеет общего решения в замкнутой форме для эксцентрической аномалии (E) в терминах средней аномалии (M), уравнения движения как функции времени также не имеют решения в замкнутой форме (хотя численные решения существуют для обоих) .${\displaystyle m_{2}\,\!}$ ${\displaystyle m_{1}\,\!}$${\displaystyle m_{1}\,\!}$ ${\displaystyle M=E-e\sin E}$

Однако не зависящие от времени траектории в замкнутой форме для эллиптической орбиты относительно центрального тела могут быть определены только из начального положения ( ) и скорости ( ).${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

В этом случае удобно использовать следующие предположения, которые несколько отличаются от стандартных предположений выше:

1. Положение центрального тела находится в начале координат и является основным фокусом ( ) эллипса (в качестве альтернативы, вместо этого можно использовать центр масс, если вращающееся тело имеет значительную массу)${\displaystyle \mathbf {F1} }$
2. Масса центрального тела (m1) известна
3. Начальное положение ( ) и скорость ( ) орбитального тела известны.${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$
4. Эллипс лежит в плоскости XY.

Четвертое предположение может быть сделано без ограничения общности, поскольку любые три точки (или вектора) должны лежать в одной плоскости. В этих предположениях второй фокус (иногда называют «пустым» фокус) также должны лежать в XY-плоскости: .${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$

Использование векторов [ править ]

Общее уравнение эллипса при этих предположениях с использованием векторов:

${\displaystyle |\mathbf {F2} -\mathbf {r} |+|\mathbf {r} |=2a\qquad \mid z=0}$

куда:

• ${\displaystyle a\,\!}$- длина большой полуоси .
• ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$ - второй («пустой») фокус.
• ${\displaystyle \mathbf {p} =\left(x,y\right)}$ любое значение (x, y), удовлетворяющее уравнению.

Длина большой полуоси (а) может быть рассчитана как:

${\displaystyle a={\frac {\mu |\mathbf {r} |}{2\mu -|\mathbf {r} |\mathbf {v} ^{2}}}}$

где - стандартный гравитационный параметр .${\displaystyle \mu \ =Gm_{1}}$

Пустой фокус ( ) можно найти, сначала определив вектор эксцентриситета :${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {h} }{\mu }}}$

Где удельный угловой момент движущегося на орбите тела:${\displaystyle \mathbf {h} }$

${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$

потом

${\displaystyle \mathbf {F2} =2a\mathbf {e} }$

Использование координат XY [ править ]

Это можно сделать в декартовых координатах, используя следующую процедуру:

Общее уравнение эллипса при сделанных выше предположениях:

${\displaystyle {\sqrt {\left(f_{x}-x\right)^{2}+\left(f_{y}-y\right)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=2a\qquad \mid z=0}$

Данный:

${\displaystyle r_{x},r_{y}\quad }$ координаты начальной позиции

${\displaystyle v_{x},v_{y}\quad }$ координаты начальной скорости

и

${\displaystyle \mu =Gm_{1}\quad }$ гравитационный параметр

Потом:

${\displaystyle h=r_{x}v_{y}-r_{y}v_{x}\quad }$ удельный угловой момент

${\displaystyle r={\sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}}}\quad }$ начальное расстояние от F1 (в начале координат)

${\displaystyle a={\frac {\mu r}{2\mu -r\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)}}\quad }$ длина большой полуоси

${\displaystyle e_{x}={\frac {r_{x}}{r}}-{\frac {hv_{y}}{\mu }}\quad }$то вектор эксцентриситета координаты

${\displaystyle e_{y}={\frac {r_{y}}{r}}+{\frac {hv_{x}}{\mu }}\quad }$

Наконец, пустые координаты фокуса

${\displaystyle f_{x}=2ae_{x}\quad }$

${\displaystyle f_{y}=2ae_{y}\quad }$

Теперь полученные значения fx, fy и a можно применить к общему уравнению эллипса, приведенному выше.

Параметры орбиты [ править ]

Состояние движущегося по орбите тела в любой момент времени определяется положением и скоростью движущегося по орбите тела по отношению к центральному телу, что может быть представлено трехмерными декартовыми координатами (положение движущегося по орбите тела обозначено x, y и z) и аналогичные декартовы компоненты скорости движущегося по орбите тела. Этот набор из шести переменных вместе со временем называется векторами орбитального состояния . Учитывая массы двух тел, они определяют полную орбиту. Двумя наиболее общими случаями с этими 6 степенями свободы являются эллиптическая и гиперболическая орбита. Особые случаи с меньшим количеством степеней свободы - круговая и параболическая орбита.

Поскольку для полного представления эллиптической орбиты с этим набором параметров абсолютно необходимы по крайней мере шесть переменных, то для представления орбиты с любым набором параметров требуется шесть переменных. Другой набор из шести обычно используемых параметров - это элементы орбиты .

Солнечная система [ править ]

В Солнечной системе , планеты , астероиды , большинство комет и несколько кусков космического мусора имеют примерно эллиптические орбиты вокруг Солнца Строго говоря, оба тела вращаются вокруг одного и того же фокуса эллипса, более близкого к более массивному телу, но когда одно тело значительно массивнее, например, Солнце по отношению к Земле, фокус может находиться внутри большего массируя тело, и поэтому считается, что меньшее тело вращается вокруг него. В приведенной ниже таблице в перигелии и афелии из планет , карликовых планет и кометы Галлеядемонстрирует изменение эксцентриситета их эллиптических орбит. На одинаковом расстоянии от солнца более широкие полосы обозначают больший эксцентриситет. Обратите внимание на почти нулевой эксцентриситет Земли и Венеры по сравнению с огромным эксцентриситетом кометы Галлея и Эриды.

Расстояния избранных тел Солнечной системы от Солнца. Левый и правый края каждой полосы соответствуют перигелию и афелию тела, соответственно, поэтому длинные полосы обозначают высокий эксцентриситет орбиты . Радиус Солнца составляет 0,7 миллиона км, а радиус Юпитера (самой большой планеты) - 0,07 миллиона км, что слишком мало для разрешения на этом изображении.

Радиально-эллиптическая траектория [ править ]

Радиальная траектория может быть сегментом двойной линии , которая представляет собой вырожденный эллипс с малой полуосью = 0 и эксцентриситетом = 1. Хотя эксцентриситет равен 1, это не параболическая орбита. Применяются большинство свойств и формул эллиптических орбит. Однако закрыть орбиту нельзя. Это открытая орбита, соответствующая части вырожденного эллипса с момента, когда тела касаются друг друга и удаляются друг от друга, пока они снова не коснутся друг друга. В случае точечных масс возможна одна полная орбита, начинающаяся и заканчивающаяся сингулярностью. Скорости в начале и в конце бесконечны в противоположных направлениях, а потенциальная энергия равна минус бесконечности.

Радиальная эллиптическая траектория - это решение задачи двух тел с в некоторый момент времени нулевой скоростью, как в случае падения объекта (без учета сопротивления воздуха).

История [ править ]

В вавилоняне были первыми , чтобы понять , что движение Солнца по эклиптике не было однородным, хотя они не знали о том, почему это было; сегодня известно, что это происходит из-за того, что Земля движется по эллиптической орбите вокруг Солнца, причем Земля движется быстрее, когда она приближается к Солнцу в перигелии, и медленнее, когда она дальше в афелии . ^[1]

В 17 веке Иоганн Кеплер обнаружил, что орбиты, по которым планеты движутся вокруг Солнца, представляют собой эллипсы с Солнцем в одном фокусе, и описал это в своем первом законе движения планет . Позже Исаак Ньютон объяснил это следствием своего закона всемирного тяготения .

См. Также [ править ]

• Апсис
• Характерная энергия
• Эллипс
• Список орбит
• Орбитальный эксцентриситет
• Уравнение орбиты
• Параболическая траектория

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Д'Элизео, ММ (2007). «Орбитальное уравнение первого порядка». Американский журнал физики . 75 (4): 352–355. Bibcode : 2007AmJPh..75..352D . DOI : 10.1119 / 1.2432126 .
• Д'Элизео, ММ; Миронов, Сергей В. (2009). «Гравитационный эллипс». Журнал математической физики . 50 : 022901–022901. arXiv : 0802.2435 . Bibcode : 2009JMP .... 50a2901M . DOI : 10.1063 / 1.3078419 .
• Кертис, Ховард Д. (2019). Орбитальная механика для студентов инженерных специальностей (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 978-0-08-102133-0.

Внешние ссылки [ править ]

• Java-апплет, анимирующий орбиту спутника на эллиптической орбите Кеплера вокруг Земли с любым значением большой полуоси и эксцентриситета.
• Апогей - Сравнение фотографий Луны в перигее
• Афелий - Перигелий Солнечное фотографическое сравнение
• http://www.castor2.ca