Поверхностная гравитация

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент периапсиса Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита ( Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки ( Орбиты гало ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта
v т е

Поверхностная сила тяжести , г , из астрономических объектов является гравитационное ускорение испытали на своей поверхности на экваторе, включая эффекты вращения. Поверхностную гравитацию можно рассматривать как ускорение силы тяжести, испытываемое гипотетической пробной частицей, которая находится очень близко к поверхности объекта и которая, чтобы не мешать системе, имеет незначительную массу.

Поверхностная сила тяжести измеряется в единицах ускорения, которые в системе СИ представляют собой квадратные метры в секунду . Он также может быть выражен как кратное Земли «ы стандартной поверхности тяжести , г  = 9,80665 м / с . ^[1] В астрофизике поверхностная сила тяжести может быть выражена как log  g , который получается путем сначала выражения силы тяжести в единицах cgs , где единицей ускорения является квадрат сантиметров в секунду, а затем логарифма по основанию 10 . ^[2]Следовательно, сила тяжести на поверхности Земли может быть выражена в единицах cgs как 980,665 см / с² с десятичным логарифмом (log  g ) 2,992.

Поверхностная сила тяжести белого карлика очень высока, а нейтронной звезды еще больше. Компактность нейтронной звезды дает ей силу тяжести на поверхности до 7 × 10 ¹² м / с² с типичными значениями порядка 10 ¹²  м / с² (что более чем в 10 ¹¹ раз больше земного). Одним из показателей такой огромной гравитации является то, что нейтронные звезды имеют убегающую скорость около 100 000 км / с , что составляет около трети скорости света . Для черных дыр поверхностную гравитацию необходимо рассчитывать релятивистски.

Связь силы тяжести на поверхности с массой и радиусом [ править ]

В ньютоновской теории гравитации , то сила тяжести , оказываемое на объект, пропорциональна его массе: объект с удвоенной массой производит вдвое больше силы. Ньютоновская гравитация также следует закону обратных квадратов , так что перемещение объекта вдвое дальше делит его гравитационную силу на четыре, а перемещение его в десять раз дальше делит ее на 100. Это похоже на интенсивность света , которая также следует закон обратных квадратов: в зависимости от расстояния свет становится менее заметным. Вообще говоря, это можно понимать как геометрическое растворение, соответствующее излучению точечного источника, в трехмерном пространстве.

Большой объект, такой как планета или звезда , обычно будет приблизительно круглым, приближаясь к гидростатическому равновесию (где все точки на поверхности имеют одинаковое количество гравитационной потенциальной энергии ). В небольшом масштабе эродированы более высокие части местности, при этом эродированный материал откладывается в более низких частях местности. В больших масштабах сама планета или звезда деформируется до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие. ^[4] Для большинства небесных объектов в результате рассматриваемая планета или звезда может рассматриваться как почти идеальная сфера при низкой скорости вращения. Однако для молодых массивных звезд экваториальный азимутальныйскорость может быть довольно высокой - до 200 км / с и более, вызывая значительную экваториальную выпуклость . Примеры таких быстро вращающихся звезд включают Ахернар , Альтаир , Регулус А и Вега .

Тот факт, что многие большие небесные объекты являются приблизительно сферами, упрощает расчет их силы тяжести на поверхности. Гравитационная сила вне сферически-симметричного тела такая же, как если бы вся его масса была сосредоточена в центре, как было установлено сэром Исааком Ньютоном . ^[5] Следовательно, сила тяжести на поверхности планеты или звезды с данной массой будет приблизительно обратно пропорциональна квадрату ее радиуса , а сила тяжести на поверхности планеты или звезды с данной средней плотностью будет приблизительно пропорциональна ее радиусу. . Например, недавно обнаруженный планета , Gliese 581 гр, имеет как минимум 5-кратную массу Земли, но вряд ли имеет 5-кратную поверхностную гравитацию. Если ее масса не более чем в 5 раз больше массы Земли, как ожидается, ^[6] и если это скалистая планета с большим железным ядром, ее радиус должен быть примерно на 50% больше, чем у Земли. ^{[7] [8]} Гравитация на поверхности такой планеты будет примерно в 2,2 раза сильнее, чем на Земле. Если это ледяная или водная планета, ее радиус может быть в два раза больше, чем у Земли, и в этом случае ее поверхностная гравитация может быть не более чем в 1,25 раза сильнее, чем у Земли. ^[8]

Эти пропорции можно выразить формулой:

${\ displaystyle g \ propto {\ frac {m} {r ^ {2}}}}$

где g - сила тяжести на поверхности объекта, кратная земной , m - его масса, кратная массе Земли (5,976 · 10 ²⁴  кг), а r - ее радиус, выраженный как кратный (среднему) радиусу Земли (6371 км). ^[9] Например, Марс имеет массу 6,4185 · 10 ²³  кг = 0,107 массы Земли и средний радиус 3390 км = 0,532 радиуса Земли. ^[10] Таким образом, сила тяжести на поверхности Марса приблизительно равна

${\ displaystyle {\ frac {0.107} {0,532 ^ {2}}} = 0,38}$

раз больше Земли. Без использования Земли в качестве опорного тела, поверхностная гравитация также может быть вычислена непосредственно из закона Ньютона всемирного тяготения , что дает формулу

${\ displaystyle g = {\ frac {GM} {r ^ {2}}}}$

где M - масса объекта, r - его радиус, G - гравитационная постоянная . Если обозначить ρ = M / V среднюю плотность объекта, мы также можем записать это как

${\ displaystyle g = {\ frac {4 \ pi} {3}} G \ rho r}$

так что при фиксированной средней плотности поверхностная сила тяжести g пропорциональна радиусу  r .

Поскольку гравитация обратно пропорциональна квадрату расстояния, космическая станция в 400 км над Землей испытывает почти такую ​​же силу гравитации, как и мы на поверхности Земли. Космическая станция не падает на землю, потому что находится на орбите свободного падения .

Газовые гиганты [ править ]

Для газовых планет-гигантов, таких как Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун, где поверхности находятся глубоко в атмосфере и радиус неизвестен, поверхностная гравитация дается на уровне давления в атмосфере 1 бар. ^[11]

Несферически симметричные объекты [ править ]

Большинство реальных астрономических объектов не являются абсолютно сферически симметричными. Одна из причин этого заключается в том, что они часто вращаются, а это означает, что на них действует комбинированное воздействие гравитационной и центробежной сил . Это заставляет звезды и планеты сжиматься , а это означает, что их поверхностная сила тяжести на экваторе меньше, чем на полюсах. Этот эффект был использован Хэлом Клементом в его научно- фантастическом романе « Миссия гравитации» , посвященном массивной, быстро вращающейся планете, где гравитация на полюсах была намного выше, чем на экваторе.

Поскольку внутреннее распределение массы объекта отличается от симметричной модели, мы можем использовать измеренную поверхностную гравитацию, чтобы делать выводы о внутренней структуре объекта. Этот факт для практического использования , так как 1915-1916, когда Roland Eötvös «s крутильные весы используют на разведку нефти в районе города Egbell (ныне Гбель , Словакия .) ^{[12] , стр. 1663; [13] , с. 223.} В 1924 году на торсионных весах были обнаружены нефтяные месторождения Нэш-Доум в Техасе . ^{[13] , с. 223.}

Иногда бывает полезно рассчитать силу тяжести на поверхности простых гипотетических объектов, которые не встречаются в природе. Поверхностная гравитация бесконечных плоскостей, труб, линий, полых оболочек, конусов и даже более нереалистичных структур может использоваться для понимания поведения реальных структур.

Черные дыры [ править ]

В теории относительности ньютоновская концепция ускорения оказывается нечеткой. Для черной дыры, к которой следует относиться релятивистски, нельзя определить поверхностную гравитацию как ускорение, испытываемое пробным телом на поверхности объекта, потому что поверхности нет. Это связано с тем, что ускорение пробного тела на горизонте событий черной дыры оказывается бесконечным в теории относительности. Из-за этого используется перенормированное значение, соответствующее ньютоновскому значению в нерелятивистском пределе. Используемое значение обычно представляет собой локальное собственное ускорение (которое расходится на горизонте событий), умноженное на фактор гравитационного замедления времени (который стремится к нулю на горизонте событий). Для случая Шварцшильда это значение математически хорошо работает для всех ненулевых значенийг и  М .

Когда говорят о поверхностной гравитации черной дыры, мы определяем понятие, которое ведет себя аналогично ньютоновской поверхностной гравитации, но это не то же самое. Фактически, поверхностная гравитация обычной черной дыры точно не определена. Однако можно определить поверхностную гравитацию для черной дыры, горизонт событий которой является горизонтом Киллинга.

Поверхностная гравитация статического горизонта Киллинга - это ускорение на бесконечности, необходимое для удержания объекта на горизонте. Математически, если - подходящим образом нормализованный вектор Киллинга , то поверхностная гравитация определяется как${\ displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle к ^ {а}}$

${\ displaystyle k ^ {a} \, \ nabla _ {a} k ^ {b} = \ kappa k ^ {b},}$

где уравнение оценивается на горизонте. Для статического и асимптотически плоского пространства-времени нормализация должна быть выбрана так, чтобы as , и чтобы . Для решения Шварцшильда мы берем в качестве вектора Киллинга сдвиг во времени , и, в более общем плане, для решения Керра – Ньюмана мы берем линейную комбинацию векторов Киллинга сдвига во времени и осесимметрии, которая равна нулю на горизонте, где - угловая скорость .${\ Displaystyle к ^ {а} к_ {а} \ rightarrow -1}$${\ displaystyle r \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle \ kappa \ geq 0}$${\ Displaystyle к ^ {а}}$ ${\ displaystyle k ^ {a} \ partial _ {a} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}}}$${\displaystyle k^{a}\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial t}}+\Omega {\frac {\partial }{\partial \varphi }}}$${\displaystyle \Omega }$

Решение Шварцшильда [ править ]

Поскольку является вектором Киллинга, следует . В координатах . При изменении координат на расширенные координаты Эддингтона – Финклештейна метрика принимает вид${\displaystyle k^{a}}$${\displaystyle k^{a}\,\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}}$${\displaystyle -k^{a}\,\nabla ^{b}k_{a}=\kappa k^{b}}$${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle k^{a}=(1,0,0,0)}$${\displaystyle v=t+r+2M\ln |r-2M|}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dv^{2}+(\,dv\,dr+\,dr\,dv)+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right).}$

При общем изменении координат вектор Киллинга трансформируется как задающий векторы и${\displaystyle k^{v}=A_{t}^{v}k^{t}}$${\displaystyle k^{a'}=\delta _{v}^{a'}=(1,0,0,0)}$${\displaystyle k_{a'}=g_{a'v}=\left(-1+{\frac {2M}{r}},1,0,0\right).}$

Рассмотрение записи b  =  для дает дифференциальное уравнение${\displaystyle v}$${\displaystyle k^{a}\,\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}}$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(-1+{\frac {2M}{r}}\right)=\kappa .}$

Следовательно, поверхностная сила тяжести для решения Шварцшильда с массой выражается в единицах СИ). ^[14]${\displaystyle M}$${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{4M}}(={\frac {c^{4}}{4GM}}}$

Решение Керра [ править ]

Поверхностная гравитация для незаряженной вращающейся черной дыры просто

${\displaystyle \kappa =g-k,}$

где - поверхностная сила тяжести Шварцшильда, а - жесткость вращающейся черной дыры. - угловая скорость на горизонте событий. Это выражение дает простую температуру Хокинга . ^[15]${\displaystyle g={\frac {1}{4M}}}$${\displaystyle k:=M\Omega _{+}^{2}}$${\displaystyle \Omega _{+}}$${\displaystyle 2\pi T=g-k}$

Решение Керра – Ньюмана [ править ]

Поверхностная гравитация для решения Керра – Ньюмана равна

${\displaystyle \kappa ={\frac {r_{+}-r_{-}}{2(r_{+}^{2}+a^{2})}}={\frac {\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}{2M^{2}-Q^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}}},}$

где - электрический заряд, - угловой момент, мы определяем положение двух горизонтов и .${\displaystyle Q}$${\displaystyle J}$${\displaystyle r_{\pm }:=M\pm {\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}}$${\displaystyle a:=J/M}$

Динамические черные дыры [ править ]

Поверхностная гравитация для неподвижных черных дыр хорошо определена. Это потому, что у всех неподвижных черных дыр есть Убийственный горизонт. ^[16] В последнее время произошел сдвиг в сторону определения поверхностной гравитации динамических черных дыр, пространство-время которых не допускает вектора (поля) Киллинга . ^[17] На протяжении многих лет разными авторами предлагалось несколько определений. На данный момент нет консенсуса или согласия относительно того, какое определение, если таковое имеется, является правильным. ^[18]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Ньютоновская поверхностная гравитация
• Exploratorium - Ваш вес в других мирах