п -Боди проблема

Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема заключается в следующем: примечания должны быть переписаны в более последовательном и формальном стиле и конкретно связаны с соответствующими ссылками с помощью Template: Sfn . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, если можете. ( Март 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент периапсиса Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита ( Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки ( Орбиты гало ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта
v т е

В физике , то п -Боди проблема является проблема прогнозирования отдельных движений группы небесных объектов , взаимодействующих друг с другом гравитационно . ^[1] Решение этой проблемы было продиктовано желанием понять движения Солнца , Луны , планет и видимых звезд . В 20 веке понимание динамики звездных систем шаровых скоплений стало важной проблемой n- тел. ^[2] Проблема n тел в общей теории относительности. решить значительно труднее.

Неформально классическую физическую задачу можно сформулировать следующим образом:

Учитывая квазистационарные орбитальные свойства (мгновенное положение, скорость и время) ^[3] группы небесных тел, предскажите их взаимодействующие силы; и, следовательно, предсказать их истинные орбитальные движения на все времена. ^[4]

Проблема двух тел полностью решена и обсуждается ниже, как и знаменитая ограниченная задача трех тел . ^[5]

История [ править ]

Зная три положения орбиты планеты - положения, полученные сэром Исааком Ньютоном от астронома Джона Флэмстида ^[6], - Ньютон смог составить уравнение с помощью простой аналитической геометрии, чтобы предсказать движение планеты; то есть, чтобы задать его орбитальные свойства: положение, диаметр орбиты, период и орбитальную скорость. ^[7] Сделав это, он и другие вскоре обнаружили в течение нескольких лет, что эти уравнения движения не предсказывали некоторые орбиты правильно или даже не очень хорошо. ^[8] Ньютон понял, что это произошло потому, что силы гравитационного взаимодействия между всеми планетами влияли на все их орбиты.

Вышеупомянутое открытие касается самой сути вопроса о том, что именно представляет собой физическая проблема n- тел: как понял Ньютон, недостаточно просто указать начальное положение и скорость или три орбитальные положения, чтобы определить положение планеты. истинная орбита: необходимо также знать силы гравитационного взаимодействия . Так в начале 17 века пришло осознание и возникновение «проблемы» n- тела. Эти силы гравитационного притяжения действительно соответствуют законам движения Ньютона и его закону всемирного тяготения , но множество множественных ( n- тел) взаимодействий исторически делали любое точное решение неразрешимым. Как ни странно, это соответствие привело к неправильному подходу.

После времен Ньютона проблема n- тел исторически не была сформулирована правильно, потому что она не содержала ссылки на эти гравитационные взаимодействующие силы . Ньютон не говорит напрямую , но подразумевает в его Principia п -Боди проблема неразрешима из - за эти гравитационные силы интерактивных. ^[9] Ньютон сказал ^[10] в параграфе 21 «Начала»:

И поэтому сила притяжения присутствует в обоих телах. Солнце притягивает Юпитер и другие планеты, Юпитер притягивает свои спутники, и аналогично спутники действуют друг на друга. И хотя действия каждой из пары планет на другой можно отличить друг от друга и можно рассматривать как два действия, посредством которых каждое притягивает друг друга, тем не менее, поскольку они находятся между одним и тем же телом, это не два тела, а два. простая операция между двумя терминалами. Два тела можно притянуть друг к другу, натянув веревку между ними. Причина иска двоякая, а именно расположение каждого из двух тел; действие также двоякое, поскольку оно действует на два тела; но поскольку он находится между двумя телами, он один и один ...

В своем третьем законе движения Ньютон заключил, что «согласно этому закону все тела должны притягиваться друг к другу». Последнее утверждение, которое подразумевает существование взаимодействующих сил гравитации, является ключевым.

Как показано ниже, проблема также соответствует неньютоновским первому и второму принципам Жана Ле Ронда Даламбера и алгоритму нелинейной задачи с n телами, последний допускает решение в замкнутой форме для вычисления этих взаимодействующих сил.

Проблема поиска общего решения проблемы n тел считалась очень важной и сложной. Действительно, в конце 19 века король Швеции Оскар II по совету Гёста Миттаг-Леффлера учредил приз для всех, кто сможет найти решение проблемы. Объявление было довольно конкретным:

Учитывая систему из произвольно большого количества материальных точек, каждая из которых притягивается согласно закону Ньютона, в предположении, что никакие две точки никогда не сталкиваются, попытайтесь найти представление координат каждой точки в виде ряда в переменной, которая является некоторой известной функцией времени. и для всех значений которых ряд сходится равномерно .

В случае, если проблема не может быть решена, любой другой важный вклад в классическую механику будет считаться достойным награды. Премия была присуждена Пуанкаре , хотя он не решил исходную задачу. (Первая версия его статьи содержала даже серьезную ошибку ^[11] ). Наконец, напечатанная версия содержала много важных идей, которые привели к развитию теории хаоса . Первоначально поставленная задача была окончательно решена Карлом Фритьофом Сундманом для n = 3 .

Общая формулировка [ править ]

Задача n тел рассматривает n точечных масс m _i , i = 1, 2,…, n в инерциальной системе отсчета в трехмерном пространстве ℝ ^3, движущихся под действием взаимного гравитационного притяжения. Каждая масса m _i имеет вектор положения q _i . Второй закон Ньютона гласит, что масса, умноженная на ускорение m _i г ² д _я/dt ²равна сумме сил, действующих на массу. Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что гравитационная сила, действующая на массу m _i единственной массой m _j , определяется выражением ^[12]

${\displaystyle \mathbf {F} _{ij}={\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}}\cdot {\frac {\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}={\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}},}$

где G - гравитационная постоянная, а || q _j - q _i || это величина расстояния между д _I и д _J ( метрикой , индуцированной в л 2 нормы ).

Суммирование по всем массам дает уравнения движения n тел :

${\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {q} _{i}}{dt^{2}}}=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {q} _{i}}}}$

где U - собственная потенциальная энергия

${\displaystyle U=-\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}.}$

Определив импульс как p _i = m _i д д _я/dt, Уравнения движения Гамильтона для задачи n тел превращаются в ^[13]

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {q} _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\qquad {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} _{i}}},}$

где функция гамильтониан является

${\displaystyle H=T+U}$

а T - кинетическая энергия

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left\|\mathbf {p} _{i}\right\|^{2}}{2m_{i}}}.}$

Уравнения Гамильтона показывают, что задача n тел представляет собой систему из 6 n дифференциальных уравнений первого порядка с 6 n начальными условиями как 3 n координатами начального положения и 3 n начальными значениями импульса.

Симметрии в задаче n тел дают глобальные интегралы движения, которые упрощают задачу. ^[14] Трансляционная симметрия задачи приводит к центру масс

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}}}}$

движется с постоянной скоростью, так что C = L ₀ t + C ₀ , где L ₀ - линейная скорость, а C ₀ - начальное положение. Константы движения L ₀ и C ₀ представляют шесть интегралов движения. Вращательная симметрия приводит к тому, что полный угловой момент остается постоянным.

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {q} _{i}\times \mathbf {p} _{i},}$

где × - векторное произведение . Три составляющие полного углового момента A дают еще три константы движения. Последнее вообще константа движения задается сохранения энергии H . Следовательно, каждая задача n тел имеет десять интегралов движения.

Поскольку Т и U имеют однородные функции степени 2 и -1 соответственно, уравнение движения имеет масштабирующую инвариантность : если д _я ( т ) является решением, то и λ ^{- 2 / ₃} д _я ( λt ) для любое λ > 0 . ^[15]

Момент инерции в качестве п -Боди системы определяется

${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}\cdot \mathbf {q} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left\|\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}$

а вириал равен Q =1/2 dI/dt. Тогда формула Лагранжа – Якоби утверждает, что ^[16]

${\displaystyle {\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T-U.}$

Для систем, находящихся в динамическом равновесии , долгосрочное среднее значение ⟨d ² I/dt ²⟩ Равно нулю. Тогда в среднем полная кинетическая энергия равна половине полная потенциальная энергия, ⟨ T ⟩ =1/2⟨ U ⟩ , который является примером теоремы вириала для гравитационных систем. ^[17] Если M - общая масса, а R - характерный размер системы (например, радиус, содержащий половину массы системы), то критическое время для установления системой динамического равновесия составляет ^[18]

${\displaystyle t_{\mathrm {cr} }={\sqrt {\frac {GM}{R^{3}}}}.}$

Особые случаи [ править ]

Проблема двух тел [ править ]

Любое обсуждение планетарных взаимодействующих сил всегда начиналось с проблемы двух тел . Цель этого раздела - показать реальную сложность вычисления любых планетарных сил. Отметьте в этом разделе также несколько предметов, таких как гравитация , центр тяжести , законы Кеплера и т.д .; и в следующем разделе ( Проблема трех тел ) также обсуждаются на других страницах Википедии. Однако здесь эти темы обсуждаются с точки зрения проблемы n тел.

Задача двух тел ( n = 2 ) была полностью решена Иоганном Бернулли (1667–1748) с помощью классической теории (а не Ньютоном), предполагая, что основная точечная масса была фиксированной , описывается здесь. ^[19] Рассмотрим затем движение двух тел, скажем Солнца и Земли, при фиксированном Солнце , тогда:

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}\mathbf {a} _{1}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{12}^{3}}}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})&&\quad {\text{Sun–Earth}}\\m_{2}\mathbf {a} _{2}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{21}^{3}}}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})&&\quad {\text{Earth–Sun}}\end{aligned}}}$

Уравнение, описывающее движение массы m ₂ относительно массы m ₁ , легко получается из различий между этими двумя уравнениями и после исключения общих членов дает:

${\displaystyle \mathbf {a} +{\frac {\eta }{r^{3}}}\mathbf {r} =\mathbf {0} }$

Где

• r = r ₂ - r ₁ - положение вектора m ₂ относительно m ₁ ;
• α - эйлерово ускорениеd ² r/dt ²;
• η = G ( m ₁ + m ₂ ) .

Уравнение α +η/r ³r = 0 - это фундаментальное дифференциальное уравнение для задачи двух тел, которую Бернулли решил в 1734 году. Обратите внимание, что для этого подхода силы должны быть сначала определены, а затем решено уравнение движения. Это дифференциальное уравнение имеет эллиптические, параболические или гиперболические решения. ^{[20] [21] [22]}

Неверно думать о m ₁ (Солнце) как о фиксированном в пространстве при применении закона всемирного тяготения Ньютона, и это приводит к ошибочным результатам. Неподвижной точкой для двух изолированных гравитационно взаимодействующих тел является их общий барицентр , и эта проблема двух тел может быть решена точно, например, с использованием координат Якоби относительно барицентра.

Доктор Кларенс Клеминшоу вычислил приблизительное положение барицентра Солнечной системы, результат, достигнутый в основном за счет объединения только масс Юпитера и Солнца. В научной программе говорится о его работе:

Солнце содержит 98 процентов массы Солнечной системы, а большая часть остальной массы приходится на высшие планеты за пределами Марса. В среднем центр масс системы Солнце-Юпитер, если рассматривать только два самых массивных объекта, находится в 462 000 миль от центра Солнца или примерно на 30 000 миль над поверхностью Солнца! Однако другие большие планеты также влияют на центр масс Солнечной системы. Например, в 1951 году центр масс системы находился недалеко от центра Солнца, потому что Юпитер находился на противоположной стороне от Сатурна, Урана и Нептуна. В конце 1950-х годов, когда все четыре планеты находились на одной стороне от Солнца, центр масс системы находился на расстоянии более 330 000 миль от поверхности Солнца, подсчитал доктор К. К. Клеминшоу из обсерватории Гриффита в Лос-Анджелесе.^[23]

Солнце колеблется, вращаясь вокруг галактического центра, увлекая за собой Солнечную систему и Землю. Математик Кеплер , придя к своим трем знаменитым уравнениям, построил кривую для видимых движений планет с использованием данных Тихо Браге , а не кривой их истинных круговых движений вокруг Солнца (см. Рисунок). И Роберт Гук, и Ньютон хорошо знали, что закон всемирного тяготения Ньютона не действовал для сил, связанных с эллиптическими орбитами. ^[10] Фактически, Универсальный закон Ньютона не учитывает орбиту Меркурия, гравитационное поведение пояса астероидов или кольца Сатурна . ^[24]Ньютон заявил (в разделе 11 Принципов ), что основная причина, по которой, однако, не удалось предсказать силы для эллиптических орбит, заключалась в том, что его математическая модель была для тела, ограниченного ситуацией, которая едва ли существовала в реальном мире, а именно: движения тел, привлеченных к неподвижному центру. Некоторые нынешние учебники по физике и астрономии не подчеркивают отрицательное значение предположения Ньютона и в конечном итоге учат, что его математическая модель на самом деле реальна. Следует понимать, что решение классической задачи двух тел, приведенное выше, является математической идеализацией. См. Также первый закон движения планет Кеплера .

Задача трех тел [ править ]

В этом разделе описывается исторически важное решение проблемы n- тел после того, как были сделаны упрощающие предположения.

В прошлом о проблеме n тел при n ≥ 3 было известно немного . ^[25] Случай n = 3 является наиболее изученным. Многие ранние попытки понять проблему трех тел были количественными, направленными на поиск явных решений для особых ситуаций.

• В 1687 г. Исаак Ньютон опубликовал в « Началах» первые шаги в изучении проблемы движений трех тел, подверженных их взаимному гравитационному притяжению, но его усилия привели к словесным описаниям и геометрическим наброскам; особенно см. Книгу 1, Предложение 66 и его следствия (Ньютон, 1687 и 1999 (пер.), см. также Тиссеран, 1894).
• В 1767 году Эйлер обнаружил коллинеарные движения, при которых три тела любых масс движутся пропорционально фиксированной прямой. Задача трех тел Эйлера - это частный случай, когда два тела зафиксированы в пространстве (это не следует путать с круговой ограниченной задачей трех тел , в которой два массивных тела описывают круговую орбиту и фиксируются только в синодическая система отсчета).
• В 1772 году Лагранж открыл два класса периодических решений, каждое для трех тел любой массы. В одном классе тела лежат на прямой вращающейся линии. В другом классе тела лежат в вершинах вращающегося равностороннего треугольника. В любом случае пути тел будут коническими сечениями. Эти решения привели к изучению центральных конфигураций , для которых q̈ = kq для некоторой постоянной k > 0 .
• Основное исследование системы Земля-Луна-Солнце было предпринято Шарлем-Эженом Делоне , который опубликовал два тома по этой теме, каждый по 900 страниц, в 1860 и 1867 годах. Среди многих других достижений эта работа уже намекает на хаос. , и наглядно демонстрирует проблему так называемых « малых знаменателей » в теории возмущений .
• В 1917 году Форест Рэй Моултон опубликовал свою ставшую уже классикой «Введение в небесную механику» (см. Ссылки) с графиком решения ограниченной задачи трех тел (см. Рисунок ниже). ^[26] С другой стороны, см. Книгу Мейровича, страницы 413–414, где описано его решение ограниченной задачи трех тел. ^[27]

Решение Моултона может быть легче визуализировать (и определенно легче решить), если рассматривать более массивное тело (например, Солнце ) как стационарное в космосе, а менее массивное тело (например, Юпитер ) вращается вокруг него, при этом точки равновесия ( точки Лагранжа) поддерживая расстояние 60 ° впереди и позади менее массивного тела почти на своей орбите (хотя в действительности ни одно из тел не является действительно неподвижным, поскольку они оба вращаются вокруг центра масс всей системы - вокруг барицентра). Для достаточно малого отношения масс первичных звезд эти треугольные точки равновесия устойчивы, так что (почти) безмассовые частицы будут вращаться вокруг этих точек, когда они вращаются вокруг более крупной первичной звезды (Солнца). Пять точек равновесия круговой задачи известны как точки Лагранжа. См. Рисунок ниже:

На приведенном выше рисунке математической модели ограниченной задачи трех тел (по Моултону) лагранжевые точки L ₄ и L ₅ - это места, где находились троянские планетоиды (см. Лагранжевую точку ); m ₁ - Солнце, m ₂ - Юпитер. L ₂ - точка в поясе астероидов. Это должно быть реализовано для этой модели, вся диаграмма Солнце-Юпитер вращается вокруг своего барицентра. Ограниченное решение задачи трех тел предсказало троянские планетоиды еще до того, как они были впервые обнаружены. ч-круги и замкнутые контуры отражают электромагнитные потоки, исходящие от Солнца и Юпитера. Предполагается, что вопреки гипотезе Ричарда Х. Батина (см. Ссылки), два h ₁ являются гравитационными стоками, в которых и где гравитационные силы равны нулю, и причина, по которой троянские планетоиды застревают там. Общая масса планетоидов неизвестна.

Ограниченная задача трех тел, предполагающая массу одного из тел, ничтожна. ^{[ необходима цитата ]} Для обсуждения случая, когда незначительное тело является спутником тела меньшей массы, см. сферу Хилла ; для двойных систем см. полость Роша . Конкретные решения проблемы трех тел приводят к хаотическому движению без явных признаков повторяющегося пути. ^{[ необходима цитата ]}

Ограниченная задача (как круговая, так и эллиптическая) интенсивно разрабатывалась многими известными математиками и физиками, в первую очередь Пуанкаре в конце XIX века. Работа Пуанкаре над ограниченной проблемой трех тел стала основой детерминированной теории хаоса . ^{[ необходимая цитата ]} В ограниченной задаче существует пять точек равновесия . Три коллинеарны массам (во вращающейся рамке) и неустойчивы. Остальные два расположены в третьей вершине обоих равносторонних треугольников, первой и второй вершинами которых являются два тела.

Проблема четырех тел [ править ]

Вдохновленная круговой ограниченной задачей трех тел, задачу четырех тел можно значительно упростить, если учесть, что меньшее тело имеет небольшую массу по сравнению с тремя другими массивными телами, которые, в свою очередь, аппроксимируются для описания круговых орбит. Это известно как бициркулярная ограниченная проблема четырех тел (также известная как бициркулярная модель), и ее можно проследить до 1960 года в отчете НАСА, написанном Су-Шу Хуангом. ^[28] Эта формулировка очень актуальна в астродинамике.в основном для моделирования траекторий космических аппаратов в системе Земля-Луна с добавлением гравитационного притяжения Солнца. Прежняя формулировка бициркулярной ограниченной задачи четырех тел может быть проблематичной при моделировании других систем, кроме системы Земля-Луна-Солнце, поэтому формулировка была обобщена Негри и Прадо ^[29] для расширения области применения и повышения точности без потерь. простоты.

Планетарная проблема [ править ]

Планетарная проблемой является п -Боди проблемы в том случае, когда одна из масс гораздо больше , чем все остальные. Прототипичный пример планетарной задачи является Солнце - Юпитер - Сатурн система, где масса Солнца примерно в 100 раз больше , чем массы Юпитера или Сатурна. ^[15] Приближенное решение проблемы состоит в том, чтобы разложить ее на n - 1 пару задач звезда – планета Кеплера , рассматривая взаимодействия между планетами как возмущения. Пертурбативное приближение работает хорошо, пока нет орбитальных резонансов.в системе, то есть ни одно из отношений невозмущенных кеплеровских частот не является рациональным числом. Резонансы появляются в расширении как малые знаменатели.

Существование резонансов и малых знаменателей привело к важному вопросу стабильности в планетарной проблеме: остаются ли планеты на почти круговых орбитах вокруг звезды на стабильных или ограниченных орбитах с течением времени? ^{[15] [30]} В 1963 году Владимир Арнольд доказал с помощью теории КАМ своего рода устойчивость планетарной задачи: существует набор положительной меры квазипериодических орбит в случае планетарной задачи, ограниченной плоскостью. ^[30] В теории КАМ хаотические планетные орбиты были бы ограничены квазипериодическими КАМ-торами. Результат Арнольда был расширен до более общей теоремы Фейосом и Херманом в 2004 г. ^[31]

Центральные конфигурации [ править ]

Центральная конфигурация д ₁ (0), ..., Q _N (0) представляет собой исходную конфигурацию таким образом, что , если частицы были освобождены с нулевой скоростью, они бы все свернуть в сторону центра масс C . ^[30] Такое движение называется гомотетическим . Центральные конфигурации могут также вызывать гомографические движения, в которых все массы движутся по кеплеровским траекториям (эллиптическим, круговым, параболическим или гиперболическим), причем все траектории имеют одинаковый эксцентриситет e . Для эллиптических траекторий e = 1 соответствует гомотетическому движению, а e = 0 даетотносительное равновесное движение, при котором конфигурация остается изометрией исходной конфигурации, как если бы конфигурация была твердым телом. ^[32] Центральные конфигурации сыграли важную роль в понимании топологии из инвариантных многообразий , созданных фиксируя первые интегралы системы.

хореография n -body [ править ]

Решения, в которых все массы движутся по одной кривой без столкновений, называются хореографиями. ^[33] Хореография для n = 3 была открыта Лагранжем в 1772 году, в которой три тела расположены в вершинах равностороннего треугольника во вращающейся системе координат. Восьмерка хореография для п = 3 было найдено численно C. Moore в 1993 году и обобщены и доказаны А. Шенсине и Р. Монтгомери в 2000 году ^{[ править ]} С тех пор многие другие хореографиями были найдены п ≥ 3 .

Аналитические подходы [ править ]

Для любого решения проблемы не только применение изометрии или временного сдвига, но и обращение времени (в отличие от случая трения) также дает решение. ^{[ необходима цитата ]}

В физической литературе, посвященной проблеме n тел ( n ≥ 3 ), иногда упоминается невозможность решения задачи n тел (с использованием описанного выше подхода). ^{[ необходимая цитата ]} Однако следует проявлять осторожность при обсуждении «невозможности» решения, поскольку это относится только к методу первых интегралов (сравните теоремы Абеля и Галуа о невозможности решения алгебраических уравнений пятой степени или выше с помощью формул только с корнями).

Решение степенного ряда [ править ]

Одним из способов решения классической проблемы n тел является « задача n тел по ряду Тейлора ».

Начнем с определения системы дифференциальных уравнений : ^{[ ссылка ]}

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{i}(t)}{dt^{2}}}=G\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{n}{\frac {m_{k}\left(\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right)}{\left|\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right|^{3}}},}$

Поскольку x _i ( t ₀ ) ид х _я ( т ₀ )/dt заданы как начальные условия, каждые d ² x _i ( t )/dt ²известен. Дифференцироватьd ² x _i ( t )/dt ² приводит к d ³ x _i ( t )/dt ³которое при t ₀ также известно, и ряд Тейлора строится итеративно. ^{[ требуется разъяснение ]}

Обобщенное глобальное решение Сундмана [ править ]

Чтобы обобщить результат Сундмана для случая n > 3 (или n = 3 и c = 0 ^{[ требуется пояснение ]} ), необходимо столкнуться с двумя препятствиями:

1. Как было показано Сигелем, столкновения, в которых участвует более двух тел, не могут быть регуляризованы аналитически, следовательно, регуляризация Сундмана не может быть обобщена. ^{[ необходима цитата ]}
2. Структура особенностей в этом случае более сложная: могут возникать особенности других типов (см. Ниже ).

Наконец, Цюдун Ван в 1990-х годах обобщил результат Сундмана на случай n > 3 тел . ^[34] Поскольку структура особенностей более сложна, Вангу пришлось полностью исключить вопросы об особенностях. Центральным моментом его подхода является преобразование соответствующим образом уравнений в новую систему, так что интервал существования решений этой новой системы равен [0, ∞) .

Особенности проблемы n тел [ править ]

Возможны два типа особенностей задачи n тел:

• столкновения двух или более тел, но для которых q ( t ) (положение тел) остается конечным. (В этом математическом смысле «столкновение» означает, что два точечных тела имеют одинаковое положение в пространстве.)
• особенности, в которых столкновения не происходит, но q ( t ) не остается конечным. В этом сценарии тела расходятся на бесконечность за конечное время, в то же время стремясь к нулевому разделению (воображаемое столкновение происходит «на бесконечности»).

Последние называются гипотезой Пенлеве (особенности отсутствия столкновений). Их существование было высказано предположение , для п > 3 по Пенлеве (см Пенлеве догадку ). Примеры такого поведения для n = 5 были построены Ся ^[35], а эвристическая модель для n = 4 - Гервером. ^[36] Дональд Г. Саари показал, что для 4 или менее тел набор начальных данных, приводящих к сингулярностям, имеет нулевую меру . ^[37]

Моделирование [ править ]

Хотя существуют аналитические решения для классической (т. Е. Нерелятивистской) задачи двух тел и для выбранных конфигураций с n > 2 , в общем случае задачи с n телами должны решаться или моделироваться с использованием численных методов. ^[18]

Мало тел [ править ]

Для небольшого числа тел проблема n тел может быть решена с помощью прямых методов , также называемых методами частицы-частицы . Эти методы численно интегрируют дифференциальные уравнения движения. Численное интегрирование для этой задачи может быть проблемой по нескольким причинам. Во-первых, гравитационный потенциал сингулярен; он уходит в бесконечность, когда расстояние между двумя частицами стремится к нулю. Гравитационный потенциал можно смягчить, чтобы удалить сингулярность на малых расстояниях: ^[18]

${\displaystyle U_{\varepsilon }=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\sqrt {\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}+\varepsilon ^{2}}}}.}$

Во- вторых, в целом для п > 2 , то п -Боди проблема является хаотичной , ^[38] , что означает , что даже небольшие ошибки в интеграции может расти в геометрической прогрессии во времени. В-третьих, моделирование может занимать большие отрезки модельного времени (например, миллионы лет), и численные ошибки накапливаются по мере увеличения времени интегрирования.

Существует ряд методов уменьшения ошибок численного интегрирования. ^[18] Локальные системы координат используются для решения некоторых задач с сильно различающимися масштабами, например система координат Земля-Луна в контексте моделирования солнечной системы. Вариационные методы и теория возмущений могут дать приближенные аналитические траектории, для которых численное интегрирование может быть поправкой. Использование симплектического интегратора гарантирует, что моделирование подчиняется уравнениям Гамильтона с высокой степенью точности и, в частности, сохраняется энергия.

Многие тела [ править ]

Прямые методы, использующие численное интегрирование, требуют порядка 1/2п ² вычислениячтобы оценить потенциальную энергию по всем парам частиц, итаким образомимеет временную сложность из O ( п ² ) . Для моделирования с большим количеством частицфактор O ( n ² ) делает крупномасштабные вычисления особенно трудоемкими. ^[18]

Был разработан ряд приближенных методов, снижающих временную сложность по сравнению с прямыми методами: ^[18]

• Методы древовидного кода , такие как моделирование Барнса – Хата , представляют собой бесстолкновительные методы, которые используются, когда близкие встречи между парами не важны и вклад удаленных частиц не требует вычисления с высокой точностью. Потенциал удаленной группы частиц вычисляется с использованием мультипольного разложения потенциала. Это приближение позволяет снизить сложность до O ( n log n ) .
• В методах быстрых мультиполей используется тот факт, что силы мультипольного расширения от удаленных частиц одинаковы для частиц, расположенных близко друг к другу. Утверждается, что это дальнейшее приближение снижает сложность до O ( n ) . ^[18]
• Методы сетки частиц делят пространство моделирования на трехмерную сетку, на которую интерполируется массовая плотность частиц. Затем вычисление потенциала становится вопросом решения уравнения Пуассона на сетке, которое может быть вычислено за время O ( n log n ) с использованием методов быстрого преобразования Фурье . Использование адаптивного уточнения сетки или многосеточных методов может еще больше снизить сложность методов.
• Методы P 3 M и PM-tree - это гибридные методы, которые используют приближение сетки частиц для удаленных частиц, но используют более точные методы для близких частиц (в пределах нескольких интервалов сетки). P ³ M означает частица-частица, частица-сетка и использует прямые методы со смягченными потенциалами на близком расстоянии. Вместо этого методы PM-дерева используют древовидные коды с близкого расстояния. Как и в случае с методами сетки частиц, адаптивные сетки могут повысить эффективность вычислений.
• Методы среднего поля аппроксимируют систему частиц с помощью зависящего от времени уравнения Больцмана, представляющего плотность массы, которое соединено с самосогласованным уравнением Пуассона, представляющим потенциал. Это типприближения гидродинамики сглаженных частиц, подходящий для больших систем.

Сильная гравитация [ править ]

В астрофизических системах с сильными гравитационными полями, такими как вблизи горизонта событий в виде черной дыры , п -Боди моделирования необходимо учитывать общую теорию относительность ; такое моделирование является областью численной теории относительности . Численное моделирование уравнений поля Эйнштейна является чрезвычайно сложной задачей ^[18], и, если возможно, используется параметризованный постньютоновский формализм (PPN), такой как уравнения Эйнштейна – Инфельда – Гофмана . Проблема двух тел в общей теории относительностианалитически разрешима только для задачи Кеплера, в которой одна масса предполагается намного больше другой. ^[39]

Другие п -Боди проблемы [ править ]

Большая часть работы, проделанной над проблемой n тел, была связана с проблемой гравитации. Но существуют и другие системы, для которых математика n- тела и методы моделирования оказались полезными.

В крупномасштабных задачах электростатики , таких как моделирование белков и клеточных ансамблей в структурной биологии , кулоновский потенциал имеет ту же форму, что и гравитационный потенциал, за исключением того, что заряды могут быть положительными или отрицательными, что приводит к силам отталкивания и притяжения. ^[40] Быстрые кулоновские решатели являются электростатическим аналогом симуляторов быстрых многополюсных методов. Они часто используются с периодическими граничными условиями в моделируемой области, а методы суммирования Эвальда используются для ускорения вычислений. ^[41]

В статистике и машинном обучении некоторые модели имеют функции потерь, аналогичные функциям гравитационного потенциала: сумма функций ядра по всем парам объектов, где функция ядра зависит от расстояния между объектами в пространстве параметров. ^[42] Примеры задач, которые вписываются в эту форму, включают всех ближайших соседей в обучении многообразию , оценку плотности ядра и ядерные машины . Альтернативные оптимизации для уменьшения временной сложности O ( n ² ) до O ( n )были разработаны, такие как алгоритмы двойного дерева , которые также применимы к гравитационной задаче n- тел.

См. Также [ править ]

• Небесная механика
• Гравитационная задача двух тел
• Интеграл Якоби
• Лунная теория
• Натуральные единицы
• Численная модель Солнечной системы.
• Устойчивость Солнечной системы
• Немногочисленные системы

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Этот раздел для дальнейшего чтения может содержать неуместные или чрезмерные предложения, которые могут не соответствовать рекомендациям Википедии . Пожалуйста , убедитесь , что только разумное количество из сбалансированных , актуальные , надежных и известных дальнейших предложений чтений приведены; удаление менее актуальных или повторяющихся публикаций с той же точкой зрения, где это необходимо. Рассмотрите возможность использования соответствующих текстов в качестве встроенных источников или создания отдельной библиографической статьи . ( Март 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Внешние ссылки [ править ]