Биэллиптический перенос

Биэллиптический переход с низкой круговой стартовой орбиты (синий) на более высокую круговую орбиту (красный). Повышение на 1 заставляет корабль двигаться по зеленому полуэллипсу. Еще одно повышение на 2 приводит к оранжевому полуэллипсу. Отрицательное усиление на 3 заставляет его двигаться по красной орбите.

В космонавтике и авиационно - космической техники , то би-эллиптическая передача является орбитальный маневр , который перемещает космический корабль с одной орбиты на другую , и может, в некоторых ситуациях, требуют меньшего количества дельта-V , чем передачи Хохман маневра.

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент перицентра Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита ( Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки ( Орбиты гало ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта
v т е

Биэллиптический переход состоит из двух полуэллиптических орбит . Начиная с начальной орбиты, первый ожог требует delta-v, чтобы вывести космический корабль на первую переходную орбиту с апоапсисом в некоторой точке вдали от центрального тела . В этот момент второй ожог отправляет космический аппарат на вторую эллиптическую орбиту с перицентром на радиусе конечной желаемой орбиты, где выполняется третий ожог, выводящий космический аппарат на желаемую орбиту. ^[1]${\ displaystyle r_ {b}}$

Хотя для них требуется на одно включение двигателя больше, чем для передачи Хомана, и, как правило, требуется большее время в пути, для некоторых биэллиптических передач требуется меньшее значение общего дельта-v, чем для передачи Хомана, когда отношение конечной большой полуоси к начальной составляет 11,94. или больше, в зависимости от выбранной промежуточной большой полуоси. ^[2]

Идея переноса траектории би-эллиптическую был первым ^{[ править ]} опубликованные Ары Sternfeld в 1934 г. ^[3]

Расчет [ править ]

Дельта-v [ править ]

Три требуемых изменения скорости можно получить непосредственно из уравнения vis-viva

${\ displaystyle v ^ {2} = \ mu \ left ({\ frac {2} {r}} - {\ frac {1} {a}} \ right),}$

куда

• ${\displaystyle v}$ скорость движущегося по орбите тела,
• ${\displaystyle \mu =GM}$- стандартный гравитационный параметр основного тела,
• ${\displaystyle r}$ - расстояние орбитального тела от первичной обмотки, т. е. радиус,
• ${\displaystyle a}$- большая полуось орбиты тела.

В дальнейшем

• ${\displaystyle r_{1}}$ - радиус начальной круговой орбиты,
• ${\displaystyle r_{2}}$ - радиус последней круговой орбиты,
• ${\displaystyle r_{b}}$ является общим радиусом апоапсиса двух переносных эллипсов и является свободным параметром маневра,
• ${\displaystyle a_{1}}$и - большие полуоси двух эллиптических переходных орбит, которые задаются${\displaystyle a_{2}}$

  ${\displaystyle a_{1}={\frac {r_{1}+r_{b}}{2}}}$,

  ${\displaystyle a_{2}={\frac {r_{2}+r_{b}}{2}}}$.

Начиная с начальной круговой орбиты с радиусом (темно-синий кружок на рисунке справа), прямой удар (отметка 1 на рисунке) переводит космический аппарат на первую эллиптическую переходную орбиту (морской полуэллипс). Величина требуемой дельта-v для этого ожога составляет${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{1}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}.}$

Когда апоапсис первого переносного эллипса достигается на расстоянии от первичного, второй прямой прорыв (отметка 2) поднимает перицентр до радиуса целевой круговой орбиты, переводя космический аппарат на вторую эллиптическую траекторию (оранжевая половина эллипс). Величина требуемой дельта-v для второго ожога составляет${\displaystyle r_{b}}$

${\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}.}$

Наконец, когда достигается конечная круговая орбита с радиусом , ретроградный прожиг (отметка 3) переводит траекторию в конечную целевую орбиту (красный кружок). Окончательный ретроградный ожог требует дельта-v величины${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle \Delta v_{3}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{2}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}.}$

Если , то маневр сводится к передаче Хомана (в этом случае можно проверить, чтобы он стал нулевым). Таким образом, биэллиптический перенос представляет собой более общий класс орбитальных переходов, из которых передача Хомана является особым случаем с двумя импульсами.${\displaystyle r_{b}=r_{2}}$${\displaystyle \Delta v_{3}}$

Максимально возможную экономию можно рассчитать, предположив, что в этом случае общая сумма упрощается до . В этом случае также говорят о бипараболическом переносе, потому что две переходные траектории больше не эллипсы, а параболы . Время передачи тоже увеличивается до бесконечности.${\displaystyle r_{b}=\infty }$${\displaystyle \Delta v}$${\displaystyle {\sqrt {\mu /r_{1}}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\left(1+{\sqrt {r_{1}/r_{2}}}\right)}$

Время передачи [ править ]

Подобно переносу Хомана, обе переходные орбиты, используемые в биэллиптическом переходе, составляют ровно половину эллиптической орбиты. Это означает, что время, необходимое для выполнения каждой фазы перехода, составляет половину орбитального периода каждого эллипса перехода.

Используя уравнение для периода обращения и обозначения сверху,

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.}$

Общее время перехода - это сумма времени, необходимого для каждого полуоборота. Следовательно:${\displaystyle t}$

${\displaystyle t_{1}=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}\quad {\text{and}}\quad t_{2}=\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}},}$

и наконец:

${\displaystyle t=t_{1}+t_{2}.}$

Сравнение с переводом Хомана [ править ]

Дельта-v [ править ]

На рисунке показано общее количество, необходимое для перехода с круговой орбиты радиуса на другую круговую орбиту радиуса . Показан нормированный на орбитальную скорость в начальной орбите, и строятся в зависимости от соотношения радиусов конечных и начальных орбит, ; это сделано для того, чтобы сравнение было общим (т.е. не зависело от конкретных значений и , а только от их соотношения). ^[2]${\displaystyle \Delta v}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle \Delta v}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle R\equiv r_{2}/r_{1}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$

Толстая черная кривая обозначает переход Хомана, тогда как более тонкие цветные кривые соответствуют биэллиптическим переходам с изменяющимися значениями параметра , определяемого как апоапсисный радиус эллиптической вспомогательной орбиты, нормированного на радиус начальной орбиты, и обозначенного рядом с кривыми. На вставке крупным планом показана область, где биэллиптические кривые впервые пересекают кривую Гомана.${\displaystyle \Delta v}$${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$${\displaystyle r_{b}}$

Видно, что перенос Хомана всегда более эффективен, если отношение радиусов меньше 11,94. С другой стороны, если радиус конечной орбиты более чем в 15,58 раз больше, чем радиус начальной орбиты, то любой биэллиптический перенос, независимо от радиуса апоапсиса (при условии, что он больше, чем радиус конечной орбиты). орбита), требуется меньше, чем передача Хомана. Между соотношениями 11,94 и 15,58, какой перенос лучше всего зависит от расстояния апоапсиса . Для любого значения в этом диапазоне существует значение, выше которого биэллиптический перенос лучше, а ниже которого лучше переносится Хомана. В следующей таблице перечислены значения, которые приводят к тому, что двухэллиптический перенос лучше для некоторых выбранных случаев.${\displaystyle R}$${\displaystyle \Delta v}$${\displaystyle r_{b}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle r_{b}}$${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$^[4]

Минимальная такая, что для биэллиптического переноса требуется меньше ^[5]${\displaystyle \alpha \equiv r_{b}/r_{1}}$${\displaystyle \Delta v}$

Соотношение радиусов, ${\displaystyle {\frac {r_{2}}{r_{1}}}}$	Минимальный ${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {r_{b}}{r_{1}}}}$	Комментарии
<11,94	N / A	Передача Хомана всегда лучше
11,94	${\displaystyle \infty }$	Бипараболическая передача
12	815,81
13	48,90
14	26.10
15	18,19
15.58	15.58
> 15,58	${\displaystyle >{\frac {r_{2}}{r_{1}}}}$	Любая биэллиптическая передача лучше

Время передачи [ править ]

Длительное время передачи биэллиптического переноса,

${\displaystyle t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}},}$

- главный недостаток этого маневра. Оно даже становится бесконечным для предельного случая бипараболического переноса.

Перенос Хомана занимает меньше половины времени, потому что есть только один полуэллипс переноса, если быть точным,

${\displaystyle t=\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.}$

Универсальность в сочетании маневров [ править ]

Хотя биэллиптический перенос имеет небольшое окно параметров, где он строго превосходит передачу Хомана с точки зрения дельты V для плоского перехода между круговыми орбитами, экономия довольно мала, а двухэллиптический перенос намного больше помогает, когда используется в сочетании с некоторыми другими маневрами.

В апоапсисе космический аппарат движется с низкой орбитальной скоростью, и значительные изменения перицентра могут быть достигнуты при малых затратах на дельта V. Переходы, которые напоминают биэллиптические, но которые включают маневр смены плоскости на апоапсисе, могут значительно сэкономить дельта-V в миссиях, где необходимо регулировать самолет, а также высоту, по сравнению с изменением самолета на низкой круговой орбите поверх передача Хомана.

Точно так же сброс периапсиса полностью в атмосферу планетарного тела для аэробиологического разрушения является недорогим по скорости на апоапсисе, но позволяет использовать «свободное» перетаскивание, чтобы помочь в окончательном кольцевом ожоге, чтобы сбросить апоапсис; Хотя он добавляет дополнительный этап миссии по подъему периапсиса обратно из атмосферы, при некоторых параметрах это может стоить значительно меньше дельта V, чем простое падение перицентра за один проход с круговой орбиты.

Пример [ править ]

Для передачи с круговой низкой околоземной орбиты с р ₀ = 6700 км к новой круговой орбите с т ₁ = 93 800 км с использованием передачи орбиты Хоманна требует Д V от 2825.02 + 1308,70 = 4133,72 м / с . Однако, поскольку r ₁ = 14 r ₀ > 11,94 r ₀ , можно добиться большего с помощью биэллиптического переноса. Если космический корабль сначала разогнался до 3061,04 м / с, выйдя на эллиптическую орбиту с апогеем r ₂ = 40, r ₀ = 268 000 км., затем в апогее разогнался еще на 608,825 м / с на новую орбиту с перигеем на r ₁ = 93800 км и, наконец, в перигее этой второй переходной орбиты замедлился на 447,662 м / с, выйдя на последнюю круговую орбиту, затем общее Δv составит всего 4117,53 м / с, что на 16,19 м / с (0,4%) меньше.

Экономию Δ v можно дополнительно улучшить за счет увеличения промежуточного апогея за счет более длительного времени переключения. Например, апогей 75,8 r ₀ = 507 688 км (в 1,3 раза больше расстояния до Луны) приведет к экономии Δ v на 1% по сравнению с перелетом Хомана, но потребует транзитного времени 17 дней. В качестве непрактичного крайнего примера, апогей 1757 r ₀ = 11 770 000 км (30-кратное расстояние до Луны) приведет к 2% Δ v.экономия по сравнению с переносом Хомана, но на перенос потребуется 4,5 года (и на практике он будет нарушен гравитационными эффектами других тел Солнечной системы). Для сравнения, на передачу Хомана требуется 15 часов 34 минуты.

Δ v для различных орбитальных перелетов

Тип		Хоманн	Двухэллиптический
Апогей (км)		93 800	268 000	507 688	11 770 000	∞
Ожог (м / с)	1	2825,02	3061,04	3123,62	3191,79	3194,89
	2	1308,70	608,825	351 836	16,9336	0
	3	0	447,662	616,926	842,322	853,870
Итого (м / с)		4133,72	4117,53	4092,38	4051,04	4048,76
Гомана		100%	99,6%	99,0%	98,0%	97,94%

Очевидно, биэллиптическая орбита тратит больше своей дельта-v на ранней стадии (при первом срабатывании). Это дает более высокий вклад в удельную орбитальную энергию и, благодаря эффекту Оберта , отвечает за чистое уменьшение требуемой дельта-v.

См. Также [ править ]

• Бюджет Delta-v
• Эффект Оберта

Ссылки [ править ]