Средняя аномалия

Площадь выметания за единицу времени объектом на эллиптической орбите , и воображаемым объектом на круговой орбите (с тем же периодом обращения). Обе модели охватывают равные площади за одинаковое время, но угловая скорость движения меняется для эллиптической орбиты и постоянна для круговой орбиты. Показаны средняя аномалия и истинная аномалия для двух единиц времени. (Обратите внимание, что для визуальной простоты схематически изображена неперекрывающаяся круговая орбита, таким образом, эта круговая орбита с одинаковым периодом обращения не показана в истинном масштабе с этой эллиптической орбитой: чтобы масштаб был истинным для двух орбит с равным периодом, эти орбиты должен пересекаться.)

Астродинамика
Часть серии по

Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент периапсиса Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита ( Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки ( Орбиты гало ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта
v т е

В небесной механике , то средняя аномалия представляет собой фракция из двух величин эллиптической орбиты периода, прошедшее с момента орбитального тела прошло перицентр , выраженный как угол , который может быть использован при вычислении положения этого тела в классической задаче два тел . Это угловое расстояние от перицентра, которое было бы у фиктивного тела, если бы оно двигалось по круговой орбите с постоянной скоростью за тот же период обращения, что и фактическое тело по своей эллиптической орбите. ^[1]^[2]

Определение [ править ]

Определите T как время, необходимое конкретному телу для завершения одного витка. В время Т , то радиус - вектор заметает 2 $л$ радианов или 360 °. Тогда средняя скорость развертки n равна

{\ displaystyle n = {\ frac {2 \ pi} {T}} = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {T}},}

которое называется средним угловым движением тела с размерами в радианах в единицу времени или градусах в единицу времени.

Определим $τ$ как время, когда тело находится в перицентре. Из приведенных выше определений можно определить новую величину M , среднюю аномалию.

{\ Displaystyle М = N (т- \ тау),}

что дает угловое расстояние от перицентра в произвольный момент времени t , ^[3] с размерами в радианах или градусах.

Поскольку скорость увеличения n является постоянной средней, средняя аномалия увеличивается равномерно (линейно) от 0 до 2 $π$ радиан или от 0 ° до 360 ° на каждой орбите. Он равен 0, когда тело находится в перицентре, $π$ радиан (180 °) в апоцентре и 2 $π$ радиан (360 °) после одного полного оборота. ^[4] Если средняя аномалия известна в любой данный момент, ее можно вычислить в любой более поздний (или предыдущий) момент, просто добавив (или вычтя) n δt, где δt представляет собой разницу во времени.

Средняя аномалия не измеряет угол между какими-либо физическими объектами. Это просто удобная единообразная мера того, как далеко продвинулось тело по своей орбите от перицентра. Средняя аномалия - это один из трех угловых параметров (известных исторически как «аномалии»), которые определяют положение на орбите, два других - эксцентрическая аномалия и истинная аномалия .

Формулы [ править ]

Среднее значение аномалии M может быть вычислено из эксцентрической аномалии E и эксцентриситета e с помощью уравнения Кеплера :

{\ displaystyle M = Ee \ sin E.}

Средняя аномалия также часто рассматривается как

{\ Displaystyle М = М_ {0} + п \ влево (т-т_ {0} \ вправо),}

где M ₀ - средняя аномалия в эпоху, а t ₀ - эпоха , эталонное время, к которому относятся элементы орбиты , которое может совпадать или не совпадать с $τ$ , временем прохождения перицентра. Классический метод определения положения объекта на эллиптической орбите из набора орбитальных элементов состоит в том, чтобы вычислить среднюю аномалию по этому уравнению, а затем решить уравнение Кеплера для эксцентрической аномалии.

Определить π как долготы перицентра , угловое расстояние перицентра от опорного направления. Определите $l$ как среднюю долготу , угловое расстояние от тела до того же исходного направления, предполагая, что оно движется с равномерным угловым движением, как и при средней аномалии. Таким образом, средняя аномалия также ^[5]

{\ displaystyle M = l- \ varpi.}

Среднее угловое движение также может быть выражено,

{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}},}

где μ - гравитационный параметр, который изменяется в зависимости от масс объектов, а a - большая полуось орбиты. Затем средняя аномалия может быть расширена,

{\ displaystyle M = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}} (t- \ tau),}

и здесь средняя аномалия представляет собой равномерное угловое движение по окружности радиуса a . ^[6]

Средняя аномалия может быть выражена в виде разложения в ряд по эксцентриситета е и истинной аномалии $v$ , , ^[7]

{\ displaystyle M = \ nu -2e \ sin \ nu + \ left ({\ frac {3} {4}} e ^ {2} + {\ frac {1} {8}} e ^ {4} \ right ) \ sin 2 \ nu - {\ frac {1} {3}} e ^ {3} \ sin 3 \ nu + {\ frac {5} {32}} e ^ {4} \ sin 4 \ nu + \ cdots}

Аналогичная формула дает истинную аномалию непосредственно в терминах средней аномалии: ^[8]

\nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin M+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin 2M+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin 3M+\cdots

См. Также [ править ]

Законы движения планет Кеплера
Средняя долгота
Среднее движение
Орбитальные элементы

Ссылки [ править ]

^ Монтенбрук, Оливер (1989). Практические расчеты эфемерид . Springer-Verlag . п. 44 . ISBN 0-387-50704-3.
^ Meeus, Жан (1991). Астрономические алгоритмы . Willmann-Bell, Inc., Ричмонд, Вирджиния. п. 182 . ISBN 0-943396-35-2.
^ Смарт, WM (1977). Учебник по сферической астрономии (шестое изд.). Издательство Кембриджского университета, Кембридж. п. 113. ISBN 0-521-29180-1.
^ Meeus (1991), стр. 183
^ Смарт (1977), стр. 122
^ Vallado, David A. (2001). Основы астродинамики и приложений (второе изд.). Эль-Сегундо, Калифорния: Microcosm Press. С. 53–54. ISBN 1-881883-12-4.
^ Смарт, WM (1953). Небесная механика . Longmans, Green and Co., Лондон. п. 38.
^ Рой, AE (1988). Орбитальное движение (1-е изд.). Бристоль, Великобритания; Филадельфия, Пенсильвания: А. Хильгер. ISBN 0852743602.

Внешние ссылки [ править ]

Аномалия ввода в глоссарии , среднее значение в онлайн-астрономическом альманахе Военно-морской обсерватории США

[1] Монтенбрук, Оливер (1989). Практические расчеты эфемерид . Springer-Verlag . п. 44 . ISBN 0-387-50704-3.

[2] Meeus, Жан (1991). Астрономические алгоритмы . Willmann-Bell, Inc., Ричмонд, Вирджиния. п. 182 . ISBN 0-943396-35-2.

[3] Смарт, WM (1977). Учебник по сферической астрономии (шестое изд.). Издательство Кембриджского университета, Кембридж. п. 113. ISBN 0-521-29180-1.

[4] Meeus (1991), стр. 183

[5] Смарт (1977), стр. 122

[6] Vallado, David A. (2001). Основы астродинамики и приложений (второе изд.). Эль-Сегундо, Калифорния: Microcosm Press. С. 53–54. ISBN 1-881883-12-4.

[7] Смарт, WM (1953). Небесная механика . Longmans, Green and Co., Лондон. п. 38.

[8] Рой, AE (1988). Орбитальное движение (1-е изд.). Бристоль, Великобритания; Филадельфия, Пенсильвания: А. Хильгер. ISBN 0852743602.