Скорость убегания

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент периапсиса Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита ( Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки ( Орбиты гало ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта
v т е

В физике (в частности, в небесной механике ) убегающая скорость - это минимальная скорость, необходимая свободному, не движущемуся объекту, чтобы избежать гравитационного воздействия массивного тела, то есть в конечном итоге достичь бесконечного расстояния от него. Скорость убегания увеличивается с массой тела (тело, которое нужно убежать) и падает с увеличением расстояния убегающего объекта от его центра. Таким образом, скорость убегания зависит от того, как далеко объект уже прошел, и ее расчет на заданном расстоянии принимает во внимание тот факт, что без нового ускорения он будет замедляться по мере движения - из-за гравитации массивного тела - но никогда не будет медленно до остановки.

Ракета, непрерывно ускоряемая выхлопными газами, может улететь, не достигнув космической скорости, так как она продолжает добавлять кинетическую энергию от своих двигателей. Он может совершить побег на любой скорости при наличии достаточного количества топлива, чтобы обеспечить новое ускорение ракете, противодействовать замедлению силы тяжести и, таким образом, сохранить ее скорость.

Ускользающая скорость с поверхности Земли составляет около 11 186 м / с (6,951 миль / с; 40 270 км / ч; 36 700 футов / с; 25 020 миль / ч; 21 744 кН). ^{[1] В} более общем смысле, убегающая скорость - это скорость, при которой сумма кинетической энергии объекта и его гравитационной потенциальной энергии равна нулю; ^{[nb 1]}объект, достигший космической скорости, не находится ни на поверхности, ни на замкнутой орбите (любого радиуса). Со скоростью убегания в направлении, указывающем от земли массивного тела, объект будет удаляться от тела, навсегда замедляясь и приближаясь, но никогда не достигая нулевой скорости. Как только скорость убегания достигнута, дальнейший импульс для продолжения побега не требуется. Другими словами, если задана скорость убегания, объект будет удаляться от другого тела, постоянно замедляясь, и будет асимптотически приближаться к нулевой скорости, когда расстояние объекта приближается к бесконечности , чтобы никогда не вернуться. ^[2]Скорости, превышающие скорость убегания, сохраняют положительную скорость на бесконечном расстоянии. Обратите внимание, что минимальная скорость убегания предполагает отсутствие трения (например, атмосферного сопротивления), которое увеличило бы требуемую мгновенную скорость, чтобы избежать гравитационного воздействия, и что в будущем не будет ускорения или постороннего замедления (например, от тяги или от гравитация других тел), что изменило бы требуемую мгновенную скорость.

Для сферически-симметричного массивного тела, такого как звезда или планета, космическая скорость этого тела на заданном расстоянии рассчитывается по формуле ^[3]

${\ displaystyle v_ {e} = {\ sqrt {\ frac {2GM} {r}}}}$

где G - универсальная гравитационная постоянная ( G ≈ 6,67 × 10 ⁻¹¹ м ³ · кг ⁻¹ · с ⁻² ), M - масса тела, из которого необходимо убежать, а r - расстояние от центра масс тела. к объекту. ^{[nb 2]} Взаимосвязь не зависит от массы объекта, покидающего массивное тело. И наоборот, тело, которое падает под действием силы гравитационного притяжения массы M , из бесконечности, начиная с нулевой скорости, ударит массивный объект со скоростью, равной его космической скорости, определяемой той же формулой.

Если заданная начальная скорость превышает скорость покидания, объект будет асимптотически приближаться к гиперболической избыточной скорости, удовлетворяющей уравнению: ^[4]${\ displaystyle V}$${\ displaystyle v_ {e},}$ ${\ displaystyle v _ {\ infty},}$

${\ displaystyle {v _ {\ infty}} ^ {2} = V ^ {2} - {v_ {e}} ^ {2}.}$

В этих уравнениях не учитывается атмосферное трение ( сопротивление воздуха ).

Обзор [ править ]

Существование космической скорости является следствием сохранения энергии и энергетического поля конечной глубины. Для объекта с заданной полной энергией, который движется под действием консервативных сил (таких как статическое гравитационное поле), объект может достигать только комбинаций местоположений и скоростей, которые имеют эту полную энергию; а места с более высокой потенциальной энергией, чем это, вообще не могут быть достигнуты. Добавляя скорость (кинетическую энергию) к объекту, он расширяет возможные местоположения, которые могут быть достигнуты, до тех пор, пока при достаточном количестве энергии они не станут бесконечными.

Для данной потенциальной гравитационной энергии в данном положении, скорость убегания - это минимальная скорость, с которой объект без движения должен быть в состоянии «ускользнуть» от гравитации (то есть, чтобы гравитация никогда не смогла оттянуть его назад). Скорость убегания на самом деле является скоростью (а не скоростью), потому что она не определяет направление: независимо от направления движения объект может выйти из гравитационного поля (при условии, что его путь не пересекает планету).

Изящный способ вывести формулу для скорости убегания - использовать принцип сохранения энергии (другой способ, основанный на работе, см. Ниже ). Для простоты, если не указано иное, мы предполагаем, что объект выйдет из гравитационного поля однородной сферической планеты, удалившись от нее, и что единственная значимая сила, действующая на движущийся объект, - это гравитация планеты. Представьте, что космический корабль массы m изначально находится на расстоянии r от центра масс планеты, масса которого равна M , а его начальная скорость равна его космической скорости . В конечном состоянии он будет находиться на бесконечном расстоянии от планеты, а его скорость будет пренебрежимо мала. Кинетическая энергия${\ displaystyle v_ {e}}$ K и гравитационная потенциальная энергия U _g - единственные типы энергии, с которыми мы будем иметь дело (мы будем игнорировать сопротивление атмосферы), поэтому, согласно закону сохранения энергии,

${\ Displaystyle (К + U_ {g}) _ {начальный} = (К + U_ {g}) _ {окончательный} \,}$

Мы можем установить K _ƒinal = 0, потому что конечная скорость произвольно мала, и U _gƒinal = 0, потому что конечное расстояние равно бесконечности, поэтому

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Rightarrow {} & {\ frac {1} {2}} mv_ {e} ^ {2} + {\ frac {-GMm} {r}} = 0 + 0 \\ [3pt] \ Rightarrow {} & v_ {e} = {\ sqrt {\ frac {2GM} {r}}} = {\ sqrt {\ frac {2 \ mu} {r}}} \ end {выровнено}}}$

где μ - стандартный гравитационный параметр .

Же результат получаются посредством релятивистского расчета, в этом случае переменный г Представляет радиальную координату или уменьшенной окружность от метрики Шварцшильда . ^{[6] [7]}

Если определить более формально, «убегающая скорость» - это начальная скорость, необходимая для перехода от начальной точки в поле гравитационного потенциала к бесконечности и конца на бесконечности с остаточной скоростью, равной нулю, без какого-либо дополнительного ускорения. ^[8] Все скорости и скорости измеряются относительно поля. Кроме того, космическая скорость в точке пространства равна скорости, которую имел бы объект, если бы он стартовал в состоянии покоя с бесконечного расстояния и был притянут к этой точке под действием силы тяжести.

Обычно начальная точка находится на поверхности планеты или луны . На поверхности Земли убегающая скорость составляет около 11,2 км / с, что примерно в 33 раза больше скорости звука (33 Маха) и в несколько раз превышает начальную скорость винтовочной пули (до 1,7 км / с). Однако на высоте 9000 км в «космосе» это чуть меньше 7,1 км / с. Обратите внимание, что эта космическая скорость относится к невращающейся системе отсчета, а не к движущейся поверхности планеты или луны (см. Ниже).

Скорость убегания не зависит от массы убегающего объекта. Неважно, масса ли 1 кг или 1000 кг; отличается только количество необходимой энергии. Для объекта массы энергия, необходимая для выхода из гравитационного поля Земли, равна GMm / r , функции массы объекта (где r - радиус Земли, G - гравитационная постоянная , а M - масса Земли , M = 5,9736 × 10 ²⁴ кг ). Связанная величина - удельная орбитальная энергия${\ displaystyle m}$который представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергии, деленной на массу. Объект достиг космической скорости, когда удельная орбитальная энергия больше или равна нулю.

Сценарии [ править ]

С поверхности тела [ править ]

Альтернативное выражение для скорости убегания, особенно полезное на поверхности тела:${\ displaystyle v_ {e}}$

${\ displaystyle v_ {e} = {\ sqrt {2gr \,}}}$

где r - расстояние между центром тела и точкой, в которой вычисляется космическая скорость, а g - ускорение свободного падения на этом расстоянии (т. е. сила тяжести на поверхности ). ^[9]

Для тела со сферически-симметричным распределением массы скорость убегания с поверхности пропорциональна радиусу, предполагающему постоянную плотность, и пропорциональна квадратному корню из средней плотности ρ.${\ displaystyle v_ {e}}$

${\ displaystyle v_ {e} = Kr {\ sqrt {\ rho}}}$

куда ${\displaystyle K={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi G}}\approx 2.364\times 10^{-5}{\text{ m}}^{1.5}{\text{ kg}}^{-0.5}{\text{ s}}^{-1}}$

Обратите внимание, что эта космическая скорость относится к невращающейся системе отсчета, а не к движущейся поверхности планеты или луны, как мы сейчас объясняем.

Из вращающегося тела [ править ]

Скорость убегания относительно поверхности вращающегося тела зависит от направления, в котором движется убегающее тело. Например, как скорость вращения Земли составляет 465 м / с на экваторе , ракета запущена тангенциально от экватора Земли на восток требует начальную скорость около 10,735 км / с относительно движущейся поверхности в точке старта , чтобы избежать тогда как для ракеты, запускаемой по касательной от экватора Земли на запад, требуется начальная скорость около 11,665 км / с относительно этой движущейся поверхности . Скорость поверхности уменьшается вместе с косинусом географической широты, поэтому космические пусковые установки часто располагаются настолько близко к экватору, насколько это возможно, например, американскиеМыс Канаверал (28 ° 28 ′ северной широты) и Космический центр Французской Гвианы (5 ° 14 ′ северной широты).

Практические соображения [ править ]

В большинстве ситуаций практически мгновенно достичь космической скорости непрактично из-за предполагаемого ускорения, а также из-за того, что при наличии атмосферы задействованные гиперзвуковые скорости (на Земле скорость 11,2 км / с или 40320 км / ч) будут заставляют большинство объектов сгорать из-за аэродинамического нагрева или разрываются под действием атмосферного сопротивления . Для фактической орбиты ухода космический корабль будет устойчиво ускоряться за пределы атмосферы, пока не достигнет скорости убегания, соответствующей его высоте (которая будет меньше, чем на поверхности). Во многих случаях космический аппарат может быть сначала выведен на парковочную орбиту (например, на низкую околоземную орбиту).на 160–2000 км), а затем разгоняется до космической скорости на этой высоте, которая будет немного ниже (около 11,0 км / с на низкой околоземной орбите 200 км). Однако требуемое дополнительное изменение скорости намного меньше, поскольку космический аппарат уже имеет значительную орбитальную скорость (на низкой околоземной орбите скорость составляет примерно 7,8 км / с, или 28 080 км / ч).

С орбитального тела [ править ]

Скорость убегания на заданной высоте умножена на скорость на круговой орбите на той же высоте (сравните это с уравнением скорости на круговой орбите ). Это соответствует тому факту, что потенциальная энергия относительно бесконечности объекта на такой орбите в минус два раза превышает его кинетическую энергию, в то время как для выхода сумма потенциальной и кинетической энергии должна быть по крайней мере равна нулю. Скорость, соответствующую круговой орбите, иногда называют первой космической скоростью , тогда как в этом контексте убегающую скорость называют второй космической скоростью . ^[10]${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Для тела на эллиптической орбите, желающего ускориться на орбиту ухода, требуемая скорость будет изменяться и будет максимальной в перицентре, когда тело находится ближе всего к центральному телу. Однако орбитальная скорость тела в этот момент также будет максимальной, а требуемое изменение скорости будет минимальным, что объясняется эффектом Оберта .

Барицентрическая космическая скорость [ править ]

Технически космическая скорость может быть измерена либо относительно другого, центрального тела, либо относительно центра масс или барицентра системы тел. Таким образом, для систем из двух тел термин « космическая скорость» может быть неоднозначным, но обычно он означает барицентрическую космическую скорость менее массивного тела. В гравитационных полях убегающая скорость относится к убегающей скорости пробных частиц с нулевой массой относительно центра масс, генерирующих поле. В большинстве ситуаций, связанных с космическими аппаратами, разница незначительна. Для массы, равной ракете Сатурн V, космическая скорость относительно стартовой площадки составляет 253,5 ам./ с (8 нанометров в год) быстрее, чем космическая скорость относительно взаимного центра масс. ^{[ необходима цитата ]}

Высота низкоскоростных траекторий [ править ]

Игнорируя все факторы, кроме силы тяжести между телом и объектом, объект, проецируемый вертикально со скоростью с поверхности сферического тела со скоростью и радиусом убегания , достигнет максимальной высоты, удовлетворяющей уравнению ^[11]${\displaystyle v}$${\displaystyle v_{e}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle v=v_{e}{\sqrt {\frac {h}{R+h}}}\ ,}$

что, решение для h приводит к

${\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ R\ ,}$

где - отношение исходной скорости к скорости убегания${\textstyle x=v/v_{e}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v_{e}.}$

В отличие от скорости убегания, направление (вертикально вверх) важно для достижения максимальной высоты.

Траектория [ править ]

Если объект достигает точно убегающей скорости, но не направлен прямо от планеты, то он будет следовать по кривой пути или траектории. Хотя эта траектория не образует замкнутой формы, ее можно назвать орбитой. Если предположить, что гравитация является единственной значительной силой в системе, скорость этого объекта в любой точке траектории будет равна скорости убегания в этой точке из-за сохранения энергии, его полная энергия всегда должна быть равна 0, что означает, что он всегда имеет убегающую скорость; см. вывод выше. Форма траектории будет параболой.фокус которого находится в центре масс планеты. Фактический побег требует курса с траекторией, которая не пересекается с планетой или ее атмосферой, поскольку это может привести к падению объекта. При удалении от источника этот путь называется орбитой ухода . Орбиты выхода известны как орбиты C3 = 0. C3 - характеристическая энергия , = - GM / 2 a , где a - большая полуось , бесконечная для параболических траекторий.

Если тело имеет скорость, превышающую скорость убегания, то его путь будет формировать гиперболическую траекторию, и у него будет избыточная гиперболическая скорость, эквивалентная дополнительной энергии, которой обладает тело. Относительно небольшая дополнительная дельта- v выше, необходимая для ускорения до аварийной скорости, может привести к относительно большой скорости на бесконечности. Некоторые орбитальные маневры используют этот факт. Например, в месте, где скорость эвакуации составляет 11,2 км / с, прибавление 0,4 км / с дает гиперболическую избыточную скорость 3,02 км / с:

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {V^{2}-{v_{e}}^{2}}}={\sqrt {(11.6{\text{ km/s}})^{2}-(11.2{\text{ km/s}})^{2}}}\approx 3.02{\text{ km/s}}.}$

Если тело на круговой орбите (или в перицентре эллиптической орбиты) ускоряется в направлении своего движения до скорости убегания, точка ускорения будет формировать перицентр траектории ухода. Возможное направление движения будет под углом 90 градусов к направлению точки ускорения. Если тело разгоняется до превышающей скорость убегания, конечное направление движения будет под меньшим углом и обозначено одной из асимптот гиперболической траектории, которую оно сейчас принимает. Это означает, что выбор времени ускорения имеет решающее значение, если вы намерены уйти в определенном направлении.

Если скорость в перицентре равна v , то эксцентриситет траектории определяется как:

${\displaystyle e=2(v/v_{e})^{2}-1}$

Это справедливо для эллиптических, параболических и гиперболических траекторий. Если траектория гиперболическая или параболическая, она будет асимптотически приближаться к углу от направления на перицентр, с${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sin \theta =1/e.}$

Скорость будет асимптотически приближаться

${\displaystyle {\sqrt {v^{2}-v_{e}^{2}}}.}$

Список космических скоростей [ править ]

В этой таблице левая половина дает скорость убегания от видимой поверхности (которая может быть газообразной, как, например, с Юпитером) относительно центра планеты или луны (то есть не относительно ее движущейся поверхности). В правой половине V _e относится к скорости относительно центрального тела (например, Солнца), тогда как V _te - это скорость (на видимой поверхности меньшего тела) относительно меньшего тела (планеты или луны). ).

Последние два столбца будут точно зависеть от того, где на орбите достигается космическая скорость, поскольку орбиты не совсем круговые (особенно Меркурий и Плутон).

Определение скорости убегания с помощью расчетов [ править ]

Пусть G является гравитационной постоянной , и пусть М быть масса земли (или другого тела гравитирующего) и т быть масса тела или отводящей снаряда. На расстоянии r от центра тяжести тело ощущает силу притяжения ^[15]

${\displaystyle F=G{\frac {Mm}{r^{2}}}.}$

Работа, необходимая для перемещения тела на небольшое расстояние dr против этой силы, поэтому определяется выражением

${\displaystyle dW=F\,dr=-G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr,}$

где знак минус указывает, что сила действует в противоположном смысле .${\displaystyle dr}$

Тогда общая работа, необходимая для перемещения тела с поверхности r ₀ гравитирующего тела на бесконечность, равна

${\displaystyle W=\int _{r_{0}}^{\infty }-G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr=-G{\frac {Mm}{r_{0}}}=-mgr_{0}.}$

Это минимальная кинетическая энергия, необходимая для достижения бесконечности, поэтому скорость убегания v ₀ удовлетворяет

${\displaystyle W+K=0\Rightarrow {\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=G{\frac {Mm}{r_{0}}},}$

что приводит к

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r_{0}}}}={\sqrt {2gr_{0}}}.}$

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Роджер Р. Бейт; Дональд Д. Мюллер; Джерри Э. Уайт (1971). Основы астродинамики . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-60061-1.

Внешние ссылки [ править ]

• Калькулятор скорости эвакуации
• Веб-калькулятор числовой скорости убегания